圆幂定理讲义带答案Word文档下载推荐.docx
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P截得的弦AB的长为〔「，则a的值是（）
A.4
B.討飞、
F8:
—次函数图象上点的坐标特征；
勾股定理.
【专题】11:
计算题；
16:
压轴题.
【分析】PC丄x轴于C,交AB于D,作PE丄AB于E,连结PB,由于OC=3,PC=a,易得D点坐标为（3,3）,则厶OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形.由PE丄AB,根据垂径定理得AE=BE=AB=2匚，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE=1，贝VPD=PE=匚，
所以a=3+
作PC丄x轴于C,交AB于D，作PE丄AB于E，连结PB,如图，
vOP的圆心坐标是（3,a）,・•・OC=3,PC=a,
把x=3代入y=x得y=3,/•D点坐标为（3,3）,
…CD=3,
•••△OCD为等腰直角三角形，•••△PED也为等腰直角三角形，
•/PE丄AB,•AE=BE=2AB=丄X4应=2伍,在
7227
Rt△PBE中,PB=3,
•-PE=_匚_,•-PD=TPE=二，
【点评】本题考查了垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质.
4.（2013?
内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A
（13,0）,直线y=kx-3k+4与。
O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值
为•
【考点】FI:
一次函数综合题.
【专题】16:
【分析】根据直线y=kx-3k+4必过点D（3,4）,求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13,0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案.
•・•直线y=kx-3k+4=k（x-3）+4,
.•・k（x-3）=y-4,•・•k有无数个值，・•・x-3=0?
y-4=0,解得x=3,
y=4,
・•・直线必过点D（3,4）,・••最短的弦CB是
过点D且与该圆直径垂直的弦，
•••点D的坐标是（3,4）,•••OD=5,
•••以原点O为圆心的圆过点A（13,0）,•••圆的半径为13,
•••0B=13,•••BD=12,•••BC的长的最小值为
24;
故答案为：
24.
【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置.
STEP2:
新课讲解
教学目标
1、熟练掌握圆幕定理的基本概念。
2、熟悉有关圆幕定理的相关题型，出题形式与解题思路
3、能够用自己的话叙述圆幕定理的概念。
4、通过课上例题，结合课下练习。
掌握此部分的知识。
学习内容
、相交弦定理
相交弦定理
（1）相交弦定理：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.
（经过圆内
一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）.
一____D
几何语言：
若弦AB、CD交于点P，贝UPA?
PB=PC?
PD（相交弦定理）
（2）推论：
如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成
的两条线段的比例中项.
I
若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC=PA?
PB（相交弦定理推论）.
基本题型：
【例1】（2014秋?
工阴市期中）如图，OO的弦AB、CD相交于点P,若AP=3,
BP=4,CP=2，贝UCD长为（）
R
A.6B.12C.8D.不能确定
【考点】M7:
相交弦定理.
计算题.
【分析】由相交线定理可得出AP?
BP=CP?
DP再根据AP=3,BP=4,CP=2，可得出PD的长,从而得出CD即可.
・・・AP?
DR
・•・PD=AP・BP
CP?
・AP=3,BP=4,CP=2,
・•・PD=6,
・•・CD=PC+PD=2+6=8.
故选C.
【点评】本题考查了相交线定理，圆内两条弦相
交，被交点分成的两条线段的积相等.
【练习1】
（2015?
南长区一模）如图，矩形ABCD为。
O的内接四边形，AB=2,BC=3，点E为BC上一点，且BE=1，延长AE交。
O于点F，则线段AF的长为（）
F
【分析】由矩形的性质和勾股定理求出AE，再由相交弦定理求出EF，即可得出AF的长.
•・•四边形ABCD是矩形，
丄B=90,
••・AE=二甘F宀「=-,
•・•BC=3,BE=1,•CE=2,
由相交弦定理得：
AE?
EF=BE?
CE,
•ef=”「丄-_「=>
‘「
..AE=V5
・•・AF=AE+EF=‘；
故选：
A.
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相交弦定理；
熟练掌握矩形的性质和相交弦定理，并能进行推理计算是解决问题的关键.
综合题型
【例2】（2004?
畐州）如图，AB是。
O的直径，M是。
O上一点，MN丄AB,
垂足为N.P、Q分别是丁、［上一点（不与端点重合），如果/MNP=/
MNQ，下面结论：
①/1=/2;
②/P+ZQ=180;
③/Q=/PMN;
®
PM=QM:
⑤MN2=PN?
QN.其中正确的是（）
A\y
'
0B
A.①②③B.①③⑤C•④⑤D•①②⑤
相交弦定理；
M2:
M4:
圆心角、弧、弦的关系；
M5:
圆周角定理；
S9:
相似三角形的判定与性质.
【分析】根据圆周角定理及已知对各个结论进行分析，从而得到答案.
延长MN交圆于点W，延长QN交圆于点E，延长PN交圆于点F，连接PE,QF
•••/PNM=/QNM，MN丄AB，
•••/仁/2（故①正确），
•••/2与/ANE是对顶角，
•••/1=ZANE，
•••AB是直径，
•可得PN=EN，
同理NQ=NF,
•••点N是MW的中点，
MN?
NW=MN2=PN?
NF=EN?
NQ=PN?
QN（故⑤
正确）,
・•・MN:
NQ=PN:
MN,
•・•/PNM=/QNM,
・•・△NPMs\NMQ,
•••/Q=/PMN（故③正确）.
故选B.
【点评】本题利用了相交弦定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理求解.
与代数结合的综合题
【例3】
（2016?
中山市模拟）如图，正方形ABCD内接于。
0,点P在劣弧
AB上，连接DP，交AC于点Q•若QP=QO，则I的值为（）
D
P
A.加$=；
B.「C.心7丁D.
KQ:
【分析】设。
O的半径为r,QO=m，则QP=m,QC=r+m,QA=r-m.利用相交弦定理，求出m与r的关系，即用r表示出m,即可表示出所求比值.
【解答】解:
如图，设OO的半径为r,QO=m,则QP=m,QC=r+m,
QA=r-m.
在OO中,根据相交弦定理，得QA?
QC=QP?
QD.
2J
即（r-m）（r+m）=m?
QD,所以QD=「「.
7in
连接DO,由勾股定理，得QD2=DO2+QO2,
口rt22
即—：
：
-J
D7
解得
所以，A:
1:
故选D.
【点评】本题考查了相交弦定理，即圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”.熟记并灵活应用定理是解题的关键.
需要做辅助线的综合题
【例4】
（2008秋?
苏州期末）如图O过M点M交。
O于A，延长。
O的直径AB交。
M于C,若AB=8，BC=1，则AM=.
M5:
圆周角定理.
【分析】根据相交弦定理可证AB?
BC=EB?
BF=（EM+MB）（MF-MB）=AM2—MB2=8,又由直径对的圆周角是直角，用勾股定理即可求解AM=6.
作过点M、B的直径EF，交圆于点E、F,
则EM=MA=MF,
由相交弦定理知，AB?
BF=（EM+MB）
（MF-MB）=AM2-MB2=8,
tAB是圆O的直径，
・•・/AMB=9°
，
由勾股定理得，AM2+MB2=AB2=64，
・•・AM=6.
【点评】本题利用了相交弦定理，直径对的圆周角是直角，勾股定理求解.
割线定理
割线定理:
从圆外一点引圆的两条割线，
这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积
相等.
几何语言:
•/PBA，
PDC是OO的割线
•••PD?
PC=PA?
PB（割线定理）
由上可知:
pt2=pa?
pb=pc?
pd.
H
、割线定理
基本题型
【例5】
（佃98?
召兴）如图，过点P作。
O的两条割线分别交。
O于点A、B和点C、D，已知PA=3,AB=PC=2，则PD的长是（）
A.3B.7.5C.5D.5.5
【考点】MH:
切割线定理.
【分析】由已知可得PB的长，再根据割线定理得PA?
PD即可求得PD的长.
・・・PA=3，AB=PC=2，
PB=5，
・PA?
PD
・•・PD=7.5,
【点评】主要是考查了割线定理的运用.
【练习2】
（2003茯津）如图，Rt△ABC中，/C=90,AC=3,BC=4，以点C为圆心、CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E.求AB、AD的长.
切割线定理；
【分析】Rt△ABC中，由勾股定理可直接求得
AB的长；
延长BC交OC于点F，根据割线定理，得
BE?
BF=BD?
BA由此可求出BD的长，进而可求得AD的长.
法1：
在Rt△ABC中，AC=3,BC=4;
根据勾股定理，得AB=5.
延长BC交OC于点F，则有：
EC=CF=AC=3（OC的半径）,
BE=BC-EC=1,BF=BC+CF=7;
由割线定理得，BE?
BA于是BD=所以AD=AB-BD=;
5
法2:
过C作CM丄AB,交AB于点M，如图所示，
由垂径定理可得M为AD的中点，
•・•Saabc=AC?
BC=AB?
CM，且AC=3,BC=4,
AB=5,
・•・CM=,
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：
AC2=AM2+CM2,即9=AM2+（）2,
解得：
AM=；
【点评】此题主要考查学生对勾股定理及割线定理的理解及运用.
16n过小
【例6】（2015武汉校级模拟）如图，两同心圆间的圆环的面积为
圆上任意一点P作大圆的弦AB,则PA?
PB的值是（）
A.16B.16冗C.4D.4n
【分析】过P点作大圆的直径CD，如图，设大圆半径为R，小圆半径为r，根据相交弦定理得到PA?
PB=（OC-OP）?
（OP+0D）=R2-r2,再利用nR2-n2=16n得到R2-r2=16，所以
PA?
PB=16
过P点作大圆的直径CD，如图，设大圆半径为R，小圆半径为r,
•••PA?
.PA?
（OP+OD）
=（R-r）（R+r）
=R2-r2,
•••两同心圆间的圆环（即图中阴影部分）的面积为16n,
22
•:
nR-n2=16n
R2-r2=16,
・：
故选A.
平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了相交弦定理.
【思考】观察讲义课后练习最后一道题，是否有思路?
三、切割线定理
切割线定理
切割线定理：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的
积相等.
•••PBA,PDC是OO的割线
由上可知：
PT=PA?
PD..［〕
【例7】
（2013?
长清区二模）如图，PA为OO的切线，A为切点，OO的割线
PBC过点0与OO分别交于B、C，PA=8cm,PB=4cm,求OO的半径.
【分析】连接OA，设OO的半径为rem，由勾股定理，列式计算即可.
连接OA，设OO的半径为rem，（2分）
则r2+82=（r+4）2,（4分）
解得r=6,AOO的半径为6cm.（2分）
【点评】本题考查的是切割线定理，勾股定理，是基础知识要熟练掌握.
【练习3】
（2013秋?
东台市期中）如图，点P是OO直径AB的延长线上一点,
PC切OO于点C,已知OB=3,PB=2.则PC等于（）
A.2B.3C.4D.5
【分析】根据题意可得出PC2=PB?
PA,再由
OB=3,PB=2,贝VPA=8,代入可求出PC.
•••PC、PB分别为OO的切线和割
线，・•・PC2=PB?
PA
・•・PA=8,・・・PC2=PB?
PA=2X
•・•0B=3,PB=2,
8=16,二PC=4.
【点评】本题考查了切割线定理，熟记切割线定理的公式pc2=pb?
pa
四、切线长定理
（1）圆的切线长定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
（2）切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连
线，平分两条切线的夹角.
（3）注意：
切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；
切线长是线段的
IV
长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
1垂直关系三处；
2全等关系三对；
3弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到.
【例8]（2015篠皇岛校级模拟）如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10,
AD=7，贝U四边形的周长为（）
A.32B.34C.36D.38
【考点】MG:
切线长定理.
【分析】根据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：
圆外切四边形的两组对边和相等，从而可求得四边形的周长.
由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，
所以四边形的周长=2X（7+10）=34.
B.
【点评】此题主要考查了切线长定理，熟悉圆外切四边形的性质：
圆外切四边形的两组对边和相等是解题关键.
【练习4】
岳池县模拟）如图，PA，PB切＜3O于A，B两点，CD切＜3O于点E交PA，PB于C，D，若3O的半径为r，△PCD的周长为3r，连接OA，OP,则二的值是（）
X眾'
C-D-
【考点】MG:
切线长定理；
MC:
切线的性质.
【分析】利用切线长定理得出CA=CF,DF=DB,
PA=PB,进而得出PA=r，求出即可.
•••PA,PB切。
O于A,B两点，
CD切OO于点E交PA,PB于C,D,・•・CA=CF,DF=DB,PA=PB,・•・PC+CF+DF+PD=PA=PB=2PA=3r,
二PA=r,
则「的值是：
=.
Tr
【点评】此题主要考查了切线长定理，得出PA
的长是解题关键.
【例9】
（2014秋?
夏津县校级期末）如图，P为。
O外一点，PA,PB分别切
OO于A,B,CD切。
O于点E，分别交PA,PB于点C,D.若PA=5,则厶PCD的周长和/COD分别为（）
A.5,丄（90°
/P）B.7,90°
丄C.10,90°
—丄/PD.10,90°
丄/P
2222
【分析】根据切线长定理，即可得到PA=PB,
ED=AD,CE=BC,从而求得三角形的周长=2PA;
连接0A、OE、OB根据切线性质，/P+/AOB=180,再根据CD为切线可知/COD=*/AOB.
・・・pa、PB切O0于A、B,CD切O0于E,
・・・PA=PB=10,ED=AD,CE=BC;
・•・△PCD的周长=PD+DE+PC+CE=2PA，即△PCD的周长=2PA=10,;
如图，连接OA、OE、OB.
由切线性质得，OA丄PA,OB丄PB,OE丄CD,
DB=DE,AC=CE,
・・・AO=OE=OB,
易证△AOC◎△EOC（SAS）,△EOD◎△BOD（SAS）,
丄AOC=/EOC，/EOD=/BOD,
・•・/COD=1/AOB,
丄AOB=18°
-ZP,
・•・/COD=90-1ZP.
C.
【点评】本题考查了切线的性质，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题，是基础题型.
五、圆幕定理
请尝试解出下列例题：
【例10]（2005旷州）如图，在直径为6的半圆汁上有两动点M、N，弦AM、
BN相交于点P，贝UAP?
AM+BP?
BN的值为
A：
勾股定理；
压轴题；
25:
动点型.
【分析】连接AN、BM，根据圆周角定理，由AB是直径，可证/AMB=90，由勾股定理知，bp2=mp2+bm2，由相交弦定理知，AP?
PM=BP?
PN，原式=AP（AP+PM）+BP
（bp+pn）
=ap2+ap?
pm+bp2+bp?
pn=aP2+bp2+2ap?
pm=
AP2+MP2+BM2+2AP?
PM=AP2+（AP+PM）
2=AP2+AM2=AB2=36.
连接AN、BM，
.
・•・bp2=mp2+bm2
•・•AP?
PN
原式=AP（AP+PM）+BP（BP+PN）
pn
=AP2+BP2+2AP?
PM
=ap2+mp2+bm2+2ap?
pm
=BM2+（AP+PM）2=BM2+AM2=AB2=36.
【点评】本题利用了圆周角定理和相交弦定理，勾股定理求解.
以上四条定理统称为圆幕定理。
（部分参考书以前三条为圆幕定理）
nmiv
圆幕定理：
过平面内任一点P（P与圆心0不重合）做。
O的（切）割线,
交。
0与点A、B,则恒有PAPB=
OP2-r2
。
（“
OP2-r2
”被称为点P到O0
的幂。
）
Practice
STEP3:
落实巩固
查漏补缺
找到自己本节课的薄弱环节
STEP4:
总结
本结课复习了什么？
学到了什么?
方法：
学生口述+笔记记录。
STEP5:
课后练习
一•选择题（共5小题）
AP=6,BP=2,CP=4,贝U
1•如图所示，已知。
O中，弦AB,CD相交于点P,
PD的长是（）
A.6B.5
【分析】可运用相交弦定理求解,
圆内的弦AB,
CD相交于P,因此AP?
PB=CP?
PD代入已知
数值计算即可.
由相交弦定理得AP?
•/AP=6，BP=2,CP=4,
•••PD=AP?
PB*CP=6x2-4=3.
【点评】本题主要考查的是相交弦定理圆内两
弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”.
2.OO的两条弦AB与CD相交于点P,PA=3cmPB=4cmPC=2cm则CD=（）
A.12cmB.
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