人教版最新高中数学高考总复习椭圆习题及详解及参考答案Word文件下载.docx
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=|F1F2|2.
又|PF1|+|PF2|=20,代入化简得|PF1|·
|PF2|=,
∴S△F1PF2=|PF1|·
sin60
5.(20xx·
×
市模拟)若椭圆+=1(a>
b>
0)的离心率为,则双曲线-=1的渐近线方程为()
A.y=±
xB.y=±
2x
C.y=±
4xD.y=±
x
[解析]∵由椭圆的离心率e==,∴==,∴=,故双曲线的渐近线方程为y=±
x,选A.
6.(文)(20xx·
市模考)已知椭圆E的短轴长为6,焦点F到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆E的离心率等于()
A.B.
C.D.45
5
[解析]设椭圆的长半轴长,短半轴长,半焦距分别为a、b、c,则由条件知,b=6,a+c=9或a-c=9,
又b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=36,
故,∴,∴e==.
(理)(20xx·
北京崇文区)已知点F,A分别是椭圆+=1(a>
0)
的左焦点、右顶点,B(0,b)满足·
=0,则椭圆的离心率等于(
A.
[答案]B
[解析]∵=(c,b),=(-a,b),·
=0,∴-ac+b2=0,∵b2=a2-c2,
∴a2-ac-c2=0,∴e2+e-1=0,
∵e>
0,∴e=.
7.(20xx·
浙江金华)若点P为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点,F1、F2分别是它们的左、右焦点.设椭圆离心率为e1,双曲线离心率为e2,若·
=0,则+=()
A.2B.
C.D.3
[解析]设椭圆的长半轴长为a,双曲线的实半轴长为a′,焦距为2c,则由条件知||PF1|-|PF2||=2a′,|PF1|+|PF2|=2a,将两式两边平方相加得:
|PF1|2+|PF2|2=2(a2+a′2),
又|PF1|2+|PF2|2=4c2,∴a2+a′2=2c2,
∴+=+==2.
8.(20xx·
重庆南开中学)已知椭圆+=1的左右焦点分别为F1、F2,过F2且倾角为45°
的直线l交椭圆于A、B两点,以下结论中:
①△ABF1的周长为8;
②原点到l的距离为1;
③|AB|=;
正确结论的个数为()
A.3B.2
C.1D.0
[解析]∵a=2,∴△ABF1的周长为|AB|+|AF1|+|BF1|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8,故①正确;
∵F2(,0),∴l:
y=x-,原点到l的距离d==1,故②正确;
将y=x-代入+=1中得3x2-4x=0,∴x1=0,x2=,∴|AB|==,故③正确.
9.(文)(20xx·
北京西×
区)已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是()
A.圆B.椭圆
C.双曲线D.抛物线
[解析]点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|,又AM是圆的半径,
∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>
|MN|,由椭圆定义知,P的轨迹是椭圆.
(理)F1、F2是椭圆+=1(a>
0)的两焦点,P是椭圆上任一点,过一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线,则垂足Q的轨迹为()
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
[解析]∵PQ平分∠F1PA,且PQ⊥AF1,
∴Q为AF1的中点,且|PF1|=|PA|,
∴|OQ|=|AF2|=(|PA|+|PF2|)=a,
∴Q点轨迹是以O为圆心,a为半径的圆.
10.(文)(20xx·
辽宁沈阳)过椭圆C:
+=1(a>
0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F,若<
k<
,则椭圆离心率的取值范围是()
A.B.23,1
1
D.0,12
[答案]C
[解析]点B的横坐标是c,故B的坐标,已知k∈,∴B.斜率k====.
由<
,解得<
e<
.
宁波余姚)如果AB是椭圆+=1的任意一条与x轴不垂直的弦,O为椭圆的中心,e为椭圆的离心率,M为AB的中点,则kAB·
kOM的值为()
A.e-1B.1-e
C.e2-1D.1-e2
[解析]设A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),由点差法,+=1,+=1,作差得=,∴kAB·
kOM=·
===e2-1.故选C.
二、填空题
11.(文)过椭圆C:
0)的一个顶点作圆x2+y2=b2的两条切线,切点分别为A,B,若∠AOB=90°
(O为坐标原点),则椭圆C的离心率为.
[答案]2
[解析]因为∠AOB=90°
,所以∠AOF=45°
,所以=,所以e2===1-=,即e=.
市模拟)若椭圆+=1(a>
0)与曲线x2+y2=a2-b2无公共点,则椭圆的离心率e的取值范围是.
[答案]0,2
[解析]易知以半焦距c为半径的圆在椭圆内部,故b>
c,
∴b2>
c2,即a2>
2c2,
∴<
12.(20xx·
市)已知△ABC顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆+=1上,则=.
[答案]54
[解析]易知A,C为椭圆的焦点,故|BA|+|BC|=2×
5=10,又AC=8,由正弦定理知,
sinA+sinCsinB==.
13.(文)若右顶点为A的椭圆+=1(a>
0)上存在点P(x,y),使得·
=0,则椭圆离心率的范围是.
[答案]<
[解析]在椭圆+=1上存在点P,使·
=0,即以OA为直径的圆与椭圆有异于A的公共点.
以OA为直径的圆的方程为x2-ax+y2=0与椭圆方程b2x2+a2y2=a2b2联立消去y得
(a2-b2)x2-a3x+a2b2=0,
将a2-b2=c2代入化为(x-a)(c2x-ab2)=0,
∵x≠a,∴x=,由题设<
a,∴<
1.
即e>
,∵0<
1,∴<
(理)已知A(4,0),B(2,2)是椭圆+=1内的点,M是椭圆上的动点,则|MA|+|MB|的最大值是.
[答案]10+210
[解析]如图,直线BF与椭圆交于M1、M2.
任取椭圆上一点M,则|MB|+|BF|+|MA|≥|MF|+|MA|=2a
=|M1A|+|M1F|=|M1A|+|M1B|+|BF|∴|MB|+|MA|≥|M1B|+|M1A|=2a-|BF|.
同理可证|MB|+|MA|≤|M2B|+|M2A|=2a+|BF|,10-2≤|MB|+|MA|≤10+2.
14.(文)已知实数k使函数y=coskx的周期不小于2,则方程+=1表示椭圆的概率为.
[答案]12
[解析]由条件≥2,∴-π≤k≤π,
当0<
k≤π且k≠3时,方程+=1表示椭圆,
∴概率P=.
市调研)已知椭圆M:
0,b>
0)的面积为πab,M包含于平面区域Ω:
内,向Ω内随机投一点Q,点Q落在椭圆M内的概率为,则椭圆M的方程为.
[答案]+=1
[解析]平面区域Ω:
是一个矩形区域,如图所示,依题意及几何概型,可得=,
即ab=2.
因为0<
a≤2,0<
b≤,
所以a=2,b=.
所以,椭圆M的方程为+=1.
三、解答题
15.(文)(20xx·
山东×
市模拟)已知椭圆C:
0)的长轴长为4.
(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切,求椭圆C的焦点坐标;
(2)若点P是椭圆C上的任意一点,过焦点的直线l与椭圆相交于M,N两点,记直线PM,PN的斜率分别为kPM、kPN,当kPM·
kPN=-时,求椭圆的方程.
[解析]
(1)∵圆x2+y2=b2与直线y=x+2相切,∴b=,得b=.
又2a=4,∴a=2,a2=4,b2=2,c2=a2-b2=2,∴两个焦点坐标为(,0),(-,0).
(2)由于过原点的直线l与椭圆相交的两点M,N关于坐标原点对称,
不妨设:
M(x0,y0),N(-x0,-y0),P(x,y),由于M,N,P在椭圆上,则它们满足椭圆方程,即有+=1,+=1.
两式相减得:
=-.由题意可知直线PM、PN的斜率存在,则kPM=,kPN=,kPM·
kPN=·
==-,则-=-,由a=2得b=1,故所求椭圆的方程为+y2=1.
(理)(20xx·
北京东×
区)已知椭圆C的中心在原点,一个焦点F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点.当||最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.
[解析]
(1)设椭圆C的方程为+=1(a>
0)由题意,解得a2=16,b2=12.
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)设P(x,y)为椭圆上的动点,由于椭圆方程为+=1,故-4≤x≤4.
因为=(x-m,y),所以||2=(x-m)2+y2=(x-m)2+12×
=x2-2mx+m2+12=(x-4m)2+12-3m2.
因为当||最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,即当x=4时,||2取得最小值.而x∈[-4,4],故有4m≥4,解得m≥1.
又点M在椭圆的长轴上,即-4≤m≤4.
故实数m的取值范围是m∈[1,4].
16.(20xx·
辽宁文,20)设F1,F2分别为椭圆C:
+=1(a>
b>
0)的左、右焦点,过F2的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°
,F1到直线l的距离为2.
(1)求椭圆C的焦距;
(2)如果=2,求椭圆C的方程.
[解析]
(1)设焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0)
∵kl=tan60°
=3
∴l的方程为y=(x-c)
即:
x-y-c=0
∵F1到直线l的距离为23
∴=c=23
∴c=2
∴椭圆C的焦距为4
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)由题可知y1<
0,y2>
0直线l的方程为y=(x-2)
由消去x得,
(3a2+b2)y2+4b2y-3b2(a2-4)=0由韦达定理可得错误!
∵=2,∴-y1=2y2,代入①②得
③④2得=·
错误!
又a2=b2+4⑥
由⑤⑥解得a2=9b2=5∴椭圆C的方程为+=1.
17.(文)(20xx·
安徽文)椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率e=.
(1)求椭圆E的方程;
(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程.
[解析]
(1)由题意可设椭圆方程为+=1(a>
∵e=,即=,∴a=2c
又b2=a2-c2=3c2
∴椭圆方程为+=1.又∵椭圆过点A(2,3)∴+=1,解得c2=4,∴椭圆方程为+=1.
(2)法一:
由
(1)知F1(-2,0),F2(2,0),∴直线AF1的方程y=(x+2),即3x-4y+6=0,
直线AF2的方程为x=2.
设P(x,y)为角平分线上任意一点,则点P到两直线的距离相等.即=|x-2|
∴3x-4y+6=5(x-2)或3x-4y+6=5(2-x)
即x+2y-8=0或2x-y-1=0.
由图形知,角平分线的斜率为正数,故所求∠F1AF2的平分线所在直线方程为2x-y-1=0.
法二:
设AM平分∠F1AF2,则直线AF1与直线AF2关于直线AM对称.
由题意知直线AM的斜率存在且不为0,设为k.则直线AM方程y-3=k(x-2).
由
(1)知F1(-2,0),F2(2,0),
∴直线AF1方程为y=(x+2),即3x-4y+6=0设点F2(2,0)关于直线AM的对称点F2′(x0,y0),则错误!
解之得F2′(,).
∵直线AF1与直线AF2关于直线AM对称,
∴点F2′在直线AF1上.
即3×
-4×
+6=0.
解得k=-或k=2.由图形知,角平分线所在直线方程斜率为正,
∴k=-(舍去).
故∠F1AF2的角平分线所在直线方程为2x-y-1=0.法三:
∵A(2,3),F1(-2,0),F2(2,0),
∴=(-4,-3),=(0,-3),
∴+=(-4,-3)+(0,-3)
=-(1,2),
∴kl=2,∴l:
y-3=2(x-2),即2x-y-1=0.
[点评]因为l为∠F1AF2的平分线,∴与的单位向量的和与l共线.从而可由、的单位向量求得直线l的一个方向向量,进而求出其斜率.
湖北黄冈)已知点A(1,1)是椭圆+=1(a>
0)上一点,F1,F2是椭圆的两焦点,且满足|AF1|+|AF2|=4.
(1)求椭圆的两焦点坐标;
(2)设点B是椭圆上任意一点,如果|AB|最大时,求证A、B两点关于原点O不对称;
(3)设点C、D是椭圆上两点,直线AC、AD的倾斜角互补,试判断直线CD的斜率是否为定值?
若是定值,求出定值;
若不是定值,说明理由.
[解析]
(1)由椭圆定义知:
2a=4,
∴a=2,∴+=1
把(1,1)代入得+=1
∴b2=,则椭圆方程为+=1
∴c2=a2-b2=4-=,∴c=236故两焦点坐标为,.
(2)用反证法:
假设A、B两点关于原点O对称,则B点坐标为(-1,-1),此时|AB|=2,取椭圆上一点M(-2,0),则|AM|=10
∴|AM|>
|AB|.
从而此时|AB|不是最大,这与|AB|最大矛盾,所以命题成立.
(3)设AC方程为:
y=k(x-1)+1
联立消去y得
(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0
∵点A(1,1)在椭圆上
xC=
3k2-6k-1
3k2+1
∵直线AC、AD倾斜角互补
∴AD的方程为y=-k(x-1)+1
又yC=k(xC-1)+1,yD=-k(xD-1)+1yC-yD=k(xC+xD)-2k
所以kCD==13
即直线CD的斜率为定值.