六年级下册数学试题小升初数学专题之鸡兔同笼盈亏平均数问题全国通用含答案Word文档格式.docx
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1=15（人），共有15×
4+9=69（粒）。
2.“盈盈”型
明明过生日，同学们给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；
每人出7元，就多出了4元。
那么有多少个同学？
蛋糕的价钱是多少？
为什么第一次多8元，第二次就只多4元了呢？
因为两次分配数量不一样，第二次分配时每人少出1元，也就是在第一次分配的基础上给每个人退了1元钱，总共退回了8-4=4（元），所以共有4÷
1=4（人），蛋糕价钱是8×
4－8＝24（元）。
3.“亏亏”型
学而思学校新近一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差2本，请问有多少老师？
多少本书？
为什么第一次差9本，第二次就只差2本了呢？
因为两次分配数量不一样，第二次分配时每人少发1本，也就是在第一次分配的基础上从每个人那里拿回了1本书，总共拿回了9-2=7（本）书，所以共有7÷
1=7（人），书有7×
10－9＝61（本）。
（三）平均数问题
（1）平均数=总数÷
参与平均的事物个数
平均数增量=总数增量÷
平均数减量=总数减量÷
（2）平均数问题最基本的原理是“移多补少”
几个数的平均数一定比其中最大的一个小且比其中最小的一个大
三、经典透析
【例1】从前有座山，山里有个庙，庙里有许多小和尚，两个小和尚用一根扁担一个桶抬水，一个小和尚用一根扁担两个桶挑水，共用了38根扁担和58个桶，那么有多少个小和尚抬水？
多少个挑水？
[审题要点]鸡兔同笼问题，假设法
[详解过程]假设全是抬水，38根扁担应担38个桶，而实际上是58个桶，为什么少了58-38=20（个）桶呢？
因为当我们把一个挑水的当作抬水的就会少算2－1＝1（个）桶，所以有20÷
1=20（人）在挑水，抬水的扁担数是38－20＝18（根），抬水的人数是18×
2＝36人。
专家点评：
可以结合分析工具矩形图，来看鸡兔同笼问题：
左图假设全是抬水：
（58-38×
1）÷
（2-1）=20（根）……20（人）挑水
（38-20）×
2=36（人）……36（人）抬水
右图假设全是挑水：
（38×
2-58）÷
（2-1）=18（根）……18×
2=36（人）抬水
38-18=20（根）……20（人）挑水
【例２】某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖，儿童票的价格为30元，成人票的价格为40元，如果是团体还可以买平均32元一位的团体票，一个由8个家庭组成的旅游团（每个家庭由两位大人，或两个大人、一个小孩组成）来景点旅游，如果他们买团体票可以比他们各买各的少花120元，问这个旅游团一共有多少人？
[审题要点]鸡兔同笼问题的变形题
[详解过程]每个三口之家可以少花30+40+40-32×
3=14元，每个二口之家可以少花40+40-64=16元，如果这8个家庭都是三口之家，那么一共少花14×
8=112元，所以这8个家庭中有（120-112）÷
（16-14）=4个家庭是二口之家，所以这个旅游团一共有4×
2+（8-4）×
3=20人。
这道题，首先要考虑的是，怎么理解“少花120元”？
跟单位少花情况有关，这里的单位：
可以不同家庭为单位，也可以成人与小孩为单位。
一方面，我们可以对两种家庭的“少花”情况进行计算并比较，可以如题所解；
另一方面，我们不妨以成人与孩子的“少花”情况进行计算并比较，可以另解如下：
8个家庭，成人必有16人，则每个成人将“少花”40-32=8元。
所以应该总共少花16×
8=128（元）
而实际少花相差128-120=8（元）
是因为每个小孩多花了32-30=2（元）
所以，8÷
2=4（人）……小孩人数
16+4=20（人）……旅游团一共人数
还有一点值得强调的是，我们在使用假设法的过程中，所采用的比较思想非常重要，在一种证明方法——反证法中，假设法会又一次充当主角。
【例３】蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。
现有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种小虫16只，共有110条腿和14对翅膀，每种小虫各有几只？
[审题要点]经典鸡兔同笼问题，用两次假设法
[详解过程]因为有三种动物，没有办法直接用鸡兔同笼解，所以我们想转化为两种动物就可以直接用了。
我们先来看腿，发现蜻蜓和蝉有个共同点——都是6条腿，那我们就把蜻蜓和蝉合并在一起，分为两种动物：
一种是6条腿，一种是8条腿。
假设全是6条腿的，共有腿6×
16=96（条），而实际上是110条，为什么少了110-96=14（条）腿呢？
因为当我们把8条腿的蜘蛛当作6条腿算的，有一只蜘蛛就少算2条腿，所以有蜘蛛14÷
2=7（只），所以蜻蜓和蝉有16-7=9（只）；
我们再来看翅膀：
假设这9只全是蜻蜓，则应该有9×
2=18（对）翅膀，比实际多了18-14=4（对），所以有蝉4÷
1=4（只），则蜻蜓9-4=5（只）。
如果我们感觉这样的算术解法有点烦，不妨看看美丽的方程：
设：
蜘蛛有
只，蜻蜓有y只，蝉有z只，得：
（1）×
6：
（2）-（4）：
2
=14
=7
代入
（1）式：
y+z=9…（5）
（3）-（5）：
y=5。
代入（5）式：
z=4。
很多时候，我们发现清晰的等量关系，一定要用，从而可以减少“算理”的思考量，把这种思考量转嫁给方程演算。
对于方程演算，不需要掌握太多的技巧，就能轻松把握。
请参见本书第十九讲《方程》。
【例４】老师给同学们分苹果，每人分10个，就多出8个，每人分11个则正好分完，那么一共有多少名学生？
多少个苹果？
[审题要点]盈亏问题
[详解过程]为什么第一次多8个，第二次不多也不少了呢？
因为第二次每人多分了1个，所以有8÷
1=8（人），苹果8×
10+8=88（个）。
请注意体会差量分析的应用。
这是两种方案之间的差异，而假设法是实际与假设之间的差异，两者有着异曲同工之妙。
【例５】皮皮从家到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；
如果每分钟60米，就可以比上课时间提前2分钟到校，那么皮皮家距离学校多远？
[审题要点]需要转化条件的盈亏问题
[详解过程]根据题意，每分钟走50米，迟到3分钟，实际上就是还差50×
3=150（米）到校；
如果每分钟60米，提前2分钟到校，即到校后还可以多走60×
2=120（米），第一次与第二次相差150+120＝270（米），也就是第二次比第一次多走了270米，所以皮皮从家到学校所用时间是270÷
（60-50）=27（分钟），皮皮家到学校的距离是50×
（27+3）=50×
30=1500（米）。
两种方案，除了速度差，更要感受到路程差，从而看到，这里的数量关系，竟然就是追及关系。
从中体会一下“柳暗花明又一村”的数学美感吧。
数学是好玩的！
【例６】国庆节快到了，学而思学校的少先队员去摆花盆。
如果每人摆5盆花，还有3盆没人摆；
如果其中2人各摆4盆，其余的人各摆6盆，这些花盆正好摆完。
问有多少少先队员参加摆花盆活动，一共摆多少花盆？
[详解过程]我们可以把第二个条件转化为如果每人摆6盆花，还缺4盆，那么就是简单的“一盈一亏”。
人数：
[3＋（6－4）×
2]÷
（6－5）＝7（人），盆数：
5×
7＋3＝38（盆）或6×
7－4＝38（盆）。
转化思想似乎有点玄，为什么我一定会想到：
“把第二个条件转化为如果每人摆6盆花，还缺4盆”？
答案在于，我们应该在大方向上有感觉，这道题“每人摆5盆，还有3盆没人摆；
每人摆6盆，还……”，“还”字后面的下文怎么接？
接上了，转化成功！
记住：
转化的关键在于我需要什么样的条件！
现有条件能否转化为我要的条件？
【例７】有四个数，每次去掉一个数，将其余三个数求平均数，这样算了四次，得下面四个数：
36.4，47.8，46.2，41.6，那么原来四个数的平均数是多少？
[审题要点]平均数问题
[详解过程]设这四个数分别为A、B、C、D，根据条件则有：
所以
[专家点评]实际上，本题的情境可以换成“小明语文、数学、英语等几门功课的平均分”，也可以换成“某四个小朋友称体重，每三个人称一次”，数量关系不变。
这里要注意所求问题，不一定最后求平均数，也可能求这四个数各是多少。
只要用四数总和与三数之和求差就行。
【例８】某次数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人，现在将一等奖中最后4人调整为二等奖，这样得二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3分，那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多________分。
[审题要点]平均数增量
[详解过程]第一眼看这样的图，可能有点不够清楚。
别急，我们来慢慢欣
赏！
首先从总体来看，矩形横向长度表示人数，竖向长度表示平均分，面积
表示总分。
请注意一下：
d与e分别表示调整前的一等奖与二等奖的平均分；
而a表示一等奖后4名同学的平均分。
b与c表示调整后一等奖与二等奖的平
均分。
我们要求的量是de之间的平均分之差！
我们要想一想，为什么这么一调整，一等奖的平均分高上去了，同时二等奖的平均分也高上去了呢？
原因在于：
前6名的cd之间的面积移补到一等奖后4名da之间的面积部分了。
根据面积相等，长与宽成反比关系，可知：
cd之间的高度差︰da之间的高度差=4︰6=2︰3即3︰da之间的平均分之差=2︰3。
所以da之间的平均分之差=4.5（分），也就是说，这是后4名现在从原来的d降了4.5分。
同理，后4人ab之间的面积=20人be之间的面积；
所以ab之间的高度差︰be之间的高度差=20︰4=5︰1所以ab之间的平均分之差︰1=5︰1，ab之间的平均分之差=5（分）
所以de之间的平均分之差为4.5+5+1=10.5（分）
[专家点评]对于平均数增量问题，用矩形图，数形结合去分析，应该很舒服！
要注意平均数问题最基本的原理是“移多补少”，另外要注意所要移补的是总量，而不是平均量。
也就是平均分差量与人数的乘积。
这段话请结合上面的图形和分析理解，重要！
！
【例９】设四个不同的正整数构成的数组中，最小的数与其余三数的平均值之和为17，而最大的数与其余三数的平均值之和为29。
在满足上述条件的所有数组中，其最大数的最大值是多少？
[审题要点]平均数与最值问题
[详解过程]设这四个数从大到小依次为a、b、c、d，根据题意有
。
①
， ②
用②式减去①式，得
，
即a-d=18，a=18+d。
因为b、c分别至少比d大2和1，由①式得
7+2d≤17，
d≤5。
由此得a=18+d≤23。
所以a的最大值23，且当a、b、c、d依次为23，7，6，5时符合题意。
这里的所谓平均数，直接应用为表示3个数的总和。
这是平均数关系中知道几个数时最常用的思路。
另外，对于不等式的求解，建议大家在理解了方程的恒等关系后，一并了解方程的恒不等关系。
不等式两边同时加上相同的数或者同时减去相同的数，或者同时乘以相同的正整数或者同时除以相同的正整数，其不等关系不变。
（原来是什么符号，不用变号）
如果是乘以或者除以一个相同的负数，则符号正好变反。
这到初中会常用到。
7+2d≤17，
两边同减7，得：
2d≤10，
两边同除以2，得：
d≤5。
四、拓展训练
1.鸡、兔共笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只？
[初级点拨]鸡兔同笼问题，假设法
[深度提示]设鸡与兔只数一样多
[全解过程]设鸡与兔只数一样多：
274-2×
26=222（只），每一对鸡、兔共有足：
2+4=6（只），
鸡兔共有对数（也就是兔子的只数）：
222÷
6=37（对），则鸡有37+26=63（只）。
2.100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。
问：
大、小和尚各有多少人？
[深度提示]将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿
[全解过程]本题即中国古算名题“百僧分馍问题”。
如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。
假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300—140=160（个）。
现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3—1=2（个），因为160÷
2=80，故小和尚有80人，大和尚有100—80=20（人）。
3.有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣1分；
第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？
[初级点拨]需要转化的鸡兔同笼问题，找相同点转化
[深度提示]如果小明第一次测验24题全对
[全解过程]如果小明第一次测验24题全对，得5×
24=120（分）。
那么第二次只做对30-24=6（题）得分是8×
6-2×
（15-6）=30（分）。
两次相差120-30=90（分）。
比题目中条件相差10分，多了80分。
说明假设的第一次答对题数多了，要减少。
第一次答对减少一题，少得5+1=6（分），而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分。
两者两差数就可减少6+10=16（分）。
（90-10）÷
（6+10）=5（题）。
因此，第一次答对题数要比假设（全对）减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对30-19=11（题）。
第一次得分5×
19-1×
（24-19）=90。
第二次得分8×
11-2×
（15-11）=80。
4.学而思学校提高班的同学去划船。
他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；
如果减少一条船，正好每条船坐9人。
这个班共有多少同学？
[初级点拨]盈亏问题，先增加一条船
[深度提示]先增加一条船，那么正好每条船坐6人。
然后去掉两条船，就会余下6×
2＝12（名）同学。
[全解过程]先增加一条船，那么正好每条船坐6人。
改为每条船9人，也就是说，每条船增加9－6＝3（人），正好可以把余下的12名同学全部安排上去，所以现在还有12÷
3＝4（条）船，而全班同学的人数是9×
4＝36（人）。
5.学而思学校给参加秋游的同学租了几辆大轿车，若每辆车乘28人则有13名同学上不了车，若每辆车乘32人则还有3个空座。
有多少名同学？
多少辆车？
[初级点拨]需要转化的盈亏问题，“每辆车乘28人则有13名同学上不了车”转化为盈还是亏呢？
[深度提示]已知若每辆车乘28人则有13名同学上不了车，可转化为：
每辆车乘28人多出13名同学；
若每辆车乘32人则还有3个空座，可转化为：
每辆车乘32人少3人。
[全解过程]这种类型的题目要将其中的一个条件转化，使之转化为基本的盈亏问题。
已知若每辆车乘28人则有13名同学上不了车，可转化为：
每辆车乘32人少3人，问有多少名学生多少辆车？
所以，车数：
（13+3）÷
（32-28）=4（辆），学生有：
28×
4+13=125（人）。
6.钢笔与圆珠笔每支相差1元2角，小明带的钱买5支钢笔差1元5角，买8支圆珠笔多6角。
问小明带了多少钱？
[初级点拨]需要转化的盈亏问题，要么都转换成钢笔，要么都转换成圆珠笔。
[深度提示]都转换成钢笔；
买5支钢笔差15角，买8支钢笔差（12×
8－6）=90角，这是双亏：
分差是8-5=3支，总差是90-15=75角，就是说多买3支，就多差75角；
[全解过程]此题的关键在于条件的转换，要么都转换成钢笔，要么都转换成圆珠笔。
（法一）都转换成钢笔；
这样就可求出1支钢笔多少钱；
继而求出小明带了多少钱。
钢笔的价钱：
［（12×
8－6）－15］÷
（8－5）＝75÷
3＝25（角）
小明带的钱数：
25×
5－15＝125－15＝110（角）＝11（元）
（法二）都转换成圆珠笔；
买5支圆珠笔多12×
5－15=45角，买8支圆珠笔多6角。
圆珠笔的价钱［（12×
5－15）－6］÷
（8－5）＝39÷
3＝13（角）
小明带的钱数13×
8＋6＝104＋6＝110（角）＝11（元）。
7.某一筐水果中有苹果和梨若干个。
若每次拿出1个苹果和1个梨，则拿到没有苹果时，还剩下50个梨；
若每次拿走1个苹果和3个梨，则拿到没有梨时，苹果还剩下50个。
那么这筐水果共有个。
[初级点拨]需要转化的盈亏问题
[深度提示]若每次拿走1个苹果和3个梨，则拿到没有梨时，苹果还剩下50个。
由这个条件可以转化为如果要苹果全部拿走，梨还差50×
3=150个，所以梨的个数比苹果多50个，比苹果的3倍少150个。
[全解过程]若每次拿走1个苹果和3个梨，则拿到没有梨时，苹果还剩下50个。
3=150个，所以梨的个数比苹果多50个，比苹果的3倍少150个，所以苹果的两倍是150+50=200个，所以苹果有100个，那么梨的个数是150个，所以苹果和梨的总个数为250个。
8.从5开始的一串连续的自然数5，6，7，8，…，拿走其中一个数，余下的数的平均数是10.75，那么拿走的数是_______。
[初级点拨]平均数问题
[深度提示]5至17这十三个连续自然数的平均数是11
[全解过程]因为（5+17）÷
2=11，所以5至17这十三个连续自然数的平均数是11。
还有12个数，拿走的数是（11一10.75）×
12+11=14。
9.A、B、C、D、E是五个不同的自然数，从小到大依次排列，它们的平均数是23，前四个数的平均数是21，后四个数的平均数是24，C是偶数，求D是多少？
[初级点拨]平均数问题与不定方程
[深度提示]A=23×
5-24×
4=19，
E=23×
5-21×
4=31，
B+C+D=21×
4-19=65。
[全解过程]依题意得
A=23×
因为
＞21，所以D应大于21。
而A<
B<
C，A=19，故C>
20。
又C为偶数，因此若C=22，此时D至少为23。
若D=23，此时则B=65-22-23=20。
若D>
23，则B<
19，不符合题意。
故D=23。
10.马小哈同学使用计算器计算2000个数的平均数之后，不小心把所求出的平均数与原先的2000个数混在一起。
有趣的是，这2001个数的平均数恰好是2001。
原来这2000个数的平均数是多少？
[初级点拨]平均数与方程法
[深度提示]我们可以设这2000个数的和是S，平均数为
[全解过程]设2000个数的和是S，平均数为
，则
，这2001个数的平均数为
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