北师大版八年级数学下册 12 直角三角形 同步练习Word格式文档下载.docx

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D.

5.

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，∠A=60°

，AC=6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'

B'

C，此时点A'

恰好在AB边上，则点B'

与点B之间的距离为（　　）

A.12

B.6

D.

6.在直角三角形中，如果有一个角是30°

，这个直角三角形的三边之比最有可能的是（　　）

A.3：

4：

5B.1：

1：

C.5：

12：

13D.1：

：

2

7.

在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（　　）

8.如图，△ABC是直角三角形，AB⊥CD，图中与∠CAB互余的角有（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

二、填空题

9.如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB=10，则CE=______．

10.

如图，Rt△ABC中，∠C=90°

，AB=10，AC=6，D是BC上一点，BD=5，DE⊥AB，垂足为E，则线段DE的长为______．

11.在一个直角三角形中，斜边上的中线长为5，一条直角边长为8，则另一条直角边的长为______．

12.在下列条件中：

①∠A+∠B=∠C，②∠A：

∠B：

∠C=1：

3，③∠A=90°

-∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有______（填序号）

13.在△ABC中，∠A：

3，CD⊥AB于点D，若AB=10，则BD=______．

三、解答题

14.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°

，AB=AC，D是BC的中点，AE=BF．求证：

（1）DE=DF；

（2）△DEF为等腰直角三角形．

15.

如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ=3，PE=1．

（1）求证：

AD=BE；

（2）求AD的长．

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

解：

∵AC=4cm，BC=3，

∴AB=

=5，

∵D为斜边AB的中点，

∴CD=

AB=

×

5=

．

故选：

C．

2.【答案】C

①三角形三个内角的比是1：

3，

设三个内角的度数分别为x、2x、3x，

由题意得，x+2x+3x=180°

，

解得，x=30°

则3x=90°

这个三角形是直角三角形，①正确；

②三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，又三角形的一个外角与与它相邻的一个内角互补，

∴这个角为90°

这个三角形是直角三角形，②正确；

③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形，③正确；

④如果∠A=∠B=∠C，那么△ABC是等边三角形，④错误；

⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形，⑤正确；

⑥在△ABC中，若∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°

则此三角形是直角三角形，⑥正确，

C．

3.【答案】A

∵CF⊥AB，M为BC的中点，

∴MF是Rt△BFC斜边上的中线，

∴FM=

BC=

10=5，

同理可得，ME=

又∵EF=7，

∴△EFM的周长=EF+ME+FM=7+5+5=17．

故选A．

4.【答案】C

A、因为D、E分别为AC、AB的中点，所以ED∥BC．故正确；

B、因为∠ACB=90°

，ED∥BC，所以ED⊥AC．故正确；

C、只有在△ABC是等腰直角三角形时才成立，故错误；

D、CE为Rt△ABC斜边上的中线，所以CE=BE=AE，故正确．

故选C．

5.【答案】D

连接B'

B，

∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'

C，

∴AC=A'

C，AB=A'

B，∠A=∠CA'

=60°

，

∴△AA'

C是等边三角形，

∴∠AA'

C=60°

∴∠B'

A'

B=180°

-60°

∴∠ACA'

=∠BAB'

，BC=B'

C，∠CB'

=∠CBA=90°

=30°

∴△BCB'

是等边三角形，

∴∠CB'

B=60°

∵∠CB'

∴∠A'

B=30°

BA'

=180°

-30°

=90°

∵∠ACB=90°

，AC=6，

∴AB=12，

∴A'

B=AB-AA'

=AB-AC=6，

∴B'

B=6

D．

6.【答案】D

如图，设30°

角所对的直角边BC=a，

则AB=2BC=2a，

∴AC=

=

a，

∴三边之比为a：

a：

2a=1：

2．

故选D．

7.【答案】C

，CD⊥AB，

∴∠ACD+∠BCD=90°

，∠ACD+∠A=90°

∴∠BCD=∠A．

∵CE平分∠ACD，

∴∠ACE=∠DCE．

又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，

∴∠BEC=∠BCE，

∴BC=BE．

8.【答案】B

∵CD是Rt△ABC斜边上的高，

∴∠A+∠B=90°

，∠A+∠ACD=90°

∴与∠A互余的角有∠B和∠ACD共2个．

故选B．

9.【答案】5

由直角三角形的性质，得

CE=

AB=5，

故答案为：

5．

10.【答案】3

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°

∴∠C=∠DEB，

∵∠B=∠B，

∴△BED∽△BCA，

∴

即

∴DE=3，

3．

11.【答案】6

∵直角三角形斜边上的中线长为5，

∴直角三角形斜边为10，

∴另一条直角边的长=

=6，

6．

12.【答案】①②③

①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°

，∴2∠C=180°

，∠C=90°

，则该三角形是直角三角形；

②∠A：

3，∠A+∠B+∠C=180°

，∴∠C=90°

③∠A=90°

-∠B，则∠A+∠B=90°

．则该三角形是直角三角形；

④∠A=∠B=∠C，则该三角形是等边三角形．

故能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③．

13.【答案】2.5

根据题意，设∠A、∠B、∠C为k、2k、3k，

则k+2k+3k=180°

解得k=30°

2k=60°

3k=90°

∵AB=10，

∴BC=

AB=5，

∵CD⊥AB，

∴∠BCD=∠A=30°

∴BD=

BC=2.5．

2.5．

14.【答案】证明：

（1）连接AD，

∵Rt△ABC中，∠BAC=90°

，AB=AC，

∴∠B=∠C=45°

∵AB=AC，DB=CD，

∴∠DAE=∠BAD=45°

∴∠BAD=∠B=45°

∴AD=BD，∠ADB=90°

在△DAE和△DBF中，

.

​ 

∴△DAE≌△DBF（SAS）．

∴DE=DF；

（2）∵△DAE≌△DBF

∴∠ADE=∠BDF，DE=DF，

∵∠BDF+∠ADF=∠ADB=90°

∴∠ADE+∠ADF=90°

∴△DEF为等腰直角三角形

​

15.【答案】

（1）证明：

∵△ABC为等边三角形，

∴AB=CA=BC，∠BAE=∠ACD=60°

；

在△ABE和△CAD中，

∴△ABE≌△CAD（SAS），

∴AD=BE；

（2）解：

∵△ABE≌△CAD，

∴∠CAD=∠ABE，

∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°

∵BQ⊥AD，

∴∠AQB=90°

∴∠PBQ=90°

∵PQ=3，

∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6，

又∵PE=1，

∴AD=BE=BP+PE=6+1=7．