高中数学31单调性与最大小值第2课时示范教案新人教A版必修1Word下载.docx
《高中数学31单调性与最大小值第2课时示范教案新人教A版必修1Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学31单调性与最大小值第2课时示范教案新人教A版必修1Word下载.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.
③图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.
④由于点C是函数y=f（x）图象的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意x，都有y≤y0，即f（x）≤f（x0），也就是对函数y=f（x）的定义域内任意x，均有f（x）≤f（x0）成立.
⑤一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；
（2）存在x0∈I，使得f（x0）=M.
那么，称M是函数y=f（x）的最大值.
⑥f（x）≤M反映了函数y=f（x）的所有函数值不大于实数M；
这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M.
⑦函数图象上最高点的纵坐标.
⑧函数y=-2x+1,x∈（-1,+∞）没有最大值，因为函数y=-2x+1,x∈（-1,+∞）的图象没有最高点.
⑨不是，因为该函数的定义域中没有－1.
⑩讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；
函数图象有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点.
①类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.
②类比问题9，你认为讨论函数最小值应注意什么？
活动：
让学生思考函数最大值的定义，利用定义来类比定义.最高点类比最低点，符号不等号“≤”类比不等号“≥”.函数的最大值和最小值统称为函数的最值.
讨论结果：
①函数最小值的定义是:
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；
那么，称M是函数y=f（x）的最小值.
函数最小值的几何意义：
函数图象上最低点的纵坐标.
②讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；
函数图象有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点.
应用示例
思路1
例1求函数y=在区间［2，6］上的最大值和最小值.
先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，才提示：
图象最高点的纵坐标就是函数的最大值，图象最低点的纵坐标就是函数的最小值.根据函数的图象观察其单调性，再利用函数单调性的定义证明，最后利用函数的单调性求得最大值和最小值.利用变换法画出函数y=的图象，只取在区间［2，6］上的部分.观察可得函数的图象是上升的.
解：
设2≤x1<
x2≤6,则有
f（x1）-f（x2）===
∵2≤x1<
x2≤6,∴x2-x1>
0,（x1-1）（x2-1）>
0.
∴f（x1）>
f（x2）,即函数y=在区间［2，6］上是减函数.
所以，当x=2时，函数y=在区间［2，6］上取得最大值f
（2）=2；
当x=6时，函数y=在区间［2，6］上取得最小值f（6）=.
变式训练
1.求函数y=x2-2x（x∈［-3,2］）的最大值和最小值_______.
答案：
最大值是f（-3）=15，最小值是f
（1）=-1.
2.函数f（x）=x4+2x2-1的最小值是.
分析：
（换元法）转化为求二次函数的最小值.
设x2=t，y=t2+2t-1（t≥0），
又当t≥0时，函数y=t2+2t-1是增函数，
则当t=0时，函数y=t2+2t-1（t≥0）取最小值－1.
所以函数f（x）=x4+2x2-1的最小值是－1.
-1
3.画出函数y=－x2＋2|x|＋3的图象，指出函数的单调区间和最大值.
函数的图象关于y轴对称，先画出y轴右侧的图象，再对称到y轴左侧合起来得函数的图象；
借助图象，根据单调性的几何意义写出单调区间.
函数图象如图1-3-1-13所示.
图1-3-1-13
由图象得，函数的图象在区间（－∞，－1）和［0，1］上是上升的，在［－1，0］和（1，＋∞）上是下降的，最高点是（±
1,4），
故函数在（－∞，－1），［0，1］上是增函数；
函数在［－1，0］，（1，＋∞）上是减函数，最大值是4.
点评：
本题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法.求函数的最值时，先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单调性写出最值，这种方法适用于做解答题.
单调法求函数最值：
先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；
常用到下面的结论：
①如果函数y=f（x）在区间（a,b］上单调递增，在区间［b,c）上单调递减，则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）；
②如果函数y=f（x）在区间（a,b］上单调递减，在区间［b,c）上单调递增，则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）.
例2“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为h（t）=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻？
这时距地面的高度是多少（精确到1m）？
可以指定一位学生到黑板上书写，教师在下面巡视，并及时帮助做错的学生改错.并对学生的板书及时评价.将实际问题最终转化为求函数的最值，画出函数的图象，利用函数的图象求出最大值.“烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻”就是当t取什么值时函数h（t）=-4.9t2+14.7t+18取得最大值；
“这时距地面的高度是多少（精确到1m）”就是函数h（t）=-4.9t2+14.7t+18的最大值；
转化为求函数h（t）=-4.9t2+14.7t+18的最大值及此时自变量t的值.
画出函数h（t）=-4.9t2+14.7t+18的图象，如图1-3-1-14所示，
显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆炸的最佳时刻，纵坐标就是这时距离地面的高度.
图1-3-1-14
由二次函数的知识，对于函数h（t）=-4.9t2+14.7t+18，我们有：
当t==1.5时，函数有最大值,
即烟花冲出去后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29m.
本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是①审清题意读懂题；
②将实际问题转化为数学问题来解决；
③归纳结论.
注意：
要坚持定义域优先的原则；
求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.
1.xx山东菏泽二模，文10把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（）
A.cm2B.4cm2C.3cm2D.2cm2
解析：
设一个三角形的边长为xcm，则另一个三角形的边长为（4-x）cm，两个三角形的面积和为S，则S=x2+（4-x）2=（x-2）2+2≥2.
当x=2时，S取最小值2m2.故选D.
D
2.某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚取利润最大，并求出最大利润.
设未知数，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出回答.利润＝（售价－进价）×
销售量.
设商品售价定为x元时，利润为y元，则
y=（x-8）［60-（x-10）·
10］
=-10［（x-12）2-16］=-10（x-12）2+160（10＜x＜16）.
当且仅当x=12时，y有最大值160元，
即售价定为12元时可获最大利润160元.
思路2
例1已知函数f（x）=x+,x>
0，
（1）证明当0<
x<
1时，函数f（x）是减函数；
当x≥1时，函数f（x）是增函数.
（2）求函数f（x）=x+,x>
0的最小值.
学生思考判断函数单调性的方法，以及函数最小值的含义.
（1）利用定义法证明函数的单调性；
（2）应用函数的单调性得函数的最小值.
（1）解：
任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则
f（x1）－f（x2）=（x1＋）－（x2+）=（x1－x2）+=，
∵x1＜x2，∴x1－x2<
0，x1x2>
当0＜x1＜x2＜1时，x1x2-1<
∴f（x1）－f（x2）＞0.
∴f（x1）＞f（x2），即当0<
1时，函数f（x）是减函数.
当1≤x1＜x2时，x1x2-1>
∴f（x1）－f（x2）＜0.
∴f（x1）＜f（x2）,即当x≥1时，函数f（x）是增函数.
（2）解法一：
由
（1）得当x=1时，函数f（x）=x+,x>
0取最小值.
又f
（1）=2，则函数f（x）=x+,x>
0取最小值是2.
解法二：
借助于计算机软件画出函数f（x）=x+,x>
0的图象，如图1-3-1-15所示，
图1-3-1-15
由图象知，当x=1时，函数f（x）=x+,x>
0取最小值f
（1）=2.
本题主要考查函数的单调性和最值.定义法证明函数的单调性的步骤是“去比赛”；
三个步骤缺一不可.
利用函数的单调性求函数的最值的步骤：
①先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；
②如果函数y=f（x）在区间（a,b］上单调递减，在区间［b,c）上单调递增，则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）.这种求函数最值的方法称为单调法.
图象法求函数的最值的步骤：
画出函数的图象，依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值.
1.求函数y=（x≥0）的最大值.
解析:
可证明函数y=（x≥0）是减函数，
∴函数y=（x≥0）的最大值是f（0）=3.
2.求函数y=|x+1|+|x-1|的最大值和最小值.
解法一：
（图象法）y＝|x+1|+|x-1|=
其图象如图1-3-1-16所示.
图1-3-1-16
由图象得，函数的最小值是2，无最大值.
（数形结合）函数的解析式y=|x+1|+|x-1|的几何意义是：
y是数轴上任意一点P到±
1的对应点A、B的距离的和，即y=|PA|+|PB|,如图1-3-1-17所示，
图1-3-1-17
观察数轴,可得|PA|+|PB|≥|AB|=2，即函数有最小值2，无最大值.
3.xx天利高考第一次全国大联考（江苏卷），11设0<
1,则函数y=+的最小值是.
y=,当0<
1时，x（1-x）=-（x）2+≤,
∴y≥4.
4
例2将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？
让学生思考利润的意义，以及利润和售价之间的函数关系.设出一般情况，转化为求二次函数的最值.解决此类应用题，通常是建立函数模型，这是解题的关键.
设每个售价为x元时，获得利润为y元，
则每个涨（x-50）元，从而销售量减少10（x-50）个,共售出500-10（x-50）=1000-10x（个）.
∴y=（x-40）（1000-10x）=-10（x-70）2+9000（50≤x＜100）.
∴当x=70时,ymax=9000,
即为了赚取最大利润，售价应定为70元.
本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是：
①审清题意读懂题；
1.已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少mx%，其中m为正常数.当m=时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？
设商品现在定价a元，卖出的数量为b个,当价格上涨x%时，销售总额为y元.
由题意得y=a（1+x%）·
b（1-mx%）,
即y=［-mx2+100（1-m）x+10000］.
当m=时,y=［-（x-50）2+22500］，
则当x=50时，ymax=ab.
即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大.
2.xx天利第一次全国大联考江苏卷，18某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
R（x）=
其中x是仪器的月产量.
（1）将利润表示为月产量的函数.
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？
最大利润是多少元？
（总收益＝总成本＋利润）.
本题主要考查二次函数及其最值，以及应用二次函数解决实际问题的能力.
（1）利润＝总收益－总成本；
（2）转化为求函数的最值，由于此函数是分段函数，则要求出各段上的最大值，再从中找出函数的最大值.
（1）设月产量为x台，则总成本为20000+100x，
从而f（x）=
（2）当0≤x≤400时，f（x）=（x-300）2+25000;
当x=300时，有最大值25000；
当x>
400时，f（x）=60000-100x是减函数;
又f（x）<
60000-100×
400<
25000,
所以，当x=300时，有最大值25000,
即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元.
知能训练
课本P32练习5.
［补充练习］
xx上海市闵行五校联合调研，20某厂xx年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与去年促销费m（万元）（m≥0）满足x=3.已知xx年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.
（1）将xx年该产品的利润y万元表示为年促销费m（万元）的函数；
（2）求xx年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？
（1）年利润＝销售价格×
年销售量－固定投入－促销费－再投入，销售价格＝1.5×
每件产品平均成本；
（2）利用单调法求函数的最大值.
（1）每件产品的成本为元，故xx年的利润
y=1.5×
×
x-（8+16x+m）=4+8x-m=4+8（3）-m=28-m（万元）（m≥0）.
（2）可以证明当0≤m≤3时，函数y=28-m是增函数，当m>
3时，函数y=28-m是减函数，所以当m=3时，函数y=28-m取最大值21（万元）.
拓展提升
问题：
求函数y=的最大值.
探究：
（方法一）利用计算机软件画出函数的图象，如图1-3-1-18所示，
图1-3-1-18
故图象最高点是（,）.
则函数y=的最大值是.
（方法二）函数的定义域是R，
可以证明当x<
时，函数y=是增函数；
当x≥时，函数y=是减函数.
则当x=时，函数y=取最大值,
即函数y=的最大值是.
（方法三）函数的定义域是R，
由y=,得yx2+yx+y-1=0.
∵x∈R，∴关于x的方程yx2+yx+y-1=0必有实数根，
当y=0时，关于x的方程yx2+yx+y-1=0无实数根，即y=0不属于函数的值域.
当y≠0时，则关于x的方程yx2+yx+y-1=0是一元二次方程，
则有Δ=（-y）2-4×
y（y-1）≥0.∴0<
y≤.
∴函数y=的最大值是.
方法三称为判别式法，形如函数y=（d≠0），当函数的定义域是R（此时e2-4df<
0）时，常用判别式法求最值，其步骤是①把y看成常数，将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx2+nx+k=0；
②分类讨论m=0是否符合题意；
③当m≠0时，关于x的方程mx2+nx+k=0中有x∈R，则此一元二次方程必有实数根，得n2-4mk≥0,即关于y的不等式，解不等式组
m≠0.此不等式组的解集与②中y的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值.
课堂小结
本节课学习了：
（1）函数的最值；
（2）求函数最值的方法：
①图象法，②单调法，③判别式法；
（3）求函数最值时，要注意函数的定义域.
作业
课本P39习题1.3A组5、6.
设计感想
为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：
（1）在探索概念阶段,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对函数最值定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入.
（2）在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用图象和单调法求函数最值的方法和步骤.
备课资料
基本初等函数的最值
1.正比例函数：
y=kx（k≠0）在定义域R上不存在最值.在闭区间［a,b］上存在最值，当k>
0时，函数y=kx的最大值为f（b）＝kb，最小值为f（a）＝ka；
当k<
0时，函数y=kx的最大值为f（a）＝ka，最小值为f（b）＝kb.
2.反比例函数：
y=（k≠0）在定义域（-∞,0）∪（0,+∞）上不存在最值.在闭区间［a,b］（ab>
0）上存在最值，当k>
0时，函数y=的最大值为f（a）＝，最小值为f（b）＝；
0时，函数y=的最大值为f（b）＝，最小值为f（a）＝.
3.一次函数：
y=kx+b（k≠0）在定义域R上不存在最值.在闭区间［m,n］上存在最值，当k>
0时，函数y=kx+b的最大值为f（n）=kn+b，最小值为f（m）＝km+b；
0时，函数y=kx+b的最大值为f（m）＝km+b，最小值为f（n）＝kn+b.
4.二次函数：
y=ax2+bx+c（a≠0）:
当a>
0时，函数y=ax2+bx+c在定义域R上有最小值f（）=，无最大值；
当a<
0时，函数y=ax2+bx+c在定义域R上有最大值f（）=，无最小值.
二次函数在闭区间上的最值问题是高考考查的重点和热点内容之一.二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）在闭区间［p，q］上的最值可能出现以下三种情况：
（1）若＜p，则f（x）在区间［p，q］上是增函数，则f（x）min=f（p），f（x）max=f（q）.
（2）若p≤≤q，则f（x）min=f（）,此时f（x）的最大值视对称轴与区间端点的远近而定：
①当p≤＜时，则f（x）max=f（q）;
②当＝时，则f（x）max=f（p）＝f（q）;
③当＜＜q时，则f（x）max=f（p）.
（3）若≥q，则f（x）在区间［p，q］上是减函数，则f（x）min=f（q），f（x）max=f（p）.
由此可见,当∈［p,q］时,二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）在闭区间［p，q］上的最大值是f（p）和f（q）中的最大值,最小值是f（）；
当［p,q］时,二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）在闭区间［p，q］上的最大值是f（p）和f（q）中的最大值,最小值是f（p）和f（q）中的最小值.
（设计者：
方诚心）
2019-2020年高中数学（3.2奇偶性）备课资料新人教A版必修1
（1）奇偶函数的定义域关于原点对称；
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.
（2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立.
（3）f（-x）=f（x）f（x）是偶函数，f（-x）=-f（x）f（x）是奇函数.
（4）f（-x）=f（x）f（x）-f（-x）=0,f（-x）=-f（x）f（x）+f（-x）=0.
（5）两个奇函数的和（差）仍是奇函数，两个偶函数的和（差）仍是偶函数.
奇偶性相同的两个函数的积（商、分母不为零）为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积（商、分母不为零）为奇函数；
如果函数y=f（x）和y=g（x）的奇偶性相同，那么复合函数y=f［g（x）］是偶函数，如果函数y=f（x）和y=g（x）的奇偶性相反，那么复合函数y=f［g（x）］是奇函数，简称为“同偶异奇”.
（6）如果函数y=f（x）是奇函数，那么f（x）在区间（a,b）和（-b,-a）上具有相同的单调性；
如果函数y=f（x）是偶函数，那么f（x）在区间（a,b）和（-b,-a）上具有相反的单调性.
（7）定义域关于原点对称的任意函数f（x）可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即
f（x）=
.
（8）若f（x）是（-a,a）（a＞0）上的奇函数，则f（0）＝0；
若函数f（x）是偶函数，则f（x）=f（-x）=f（|x|）=f（-|x|）.
若函数y=f（x）既是奇函数又是偶函数，则有f（x）=0.
韩双影）
本章复习
整体设计
教学分析
本节课是对第一章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化.本章三部分内容是独立的，但是又相互联系，集合是基础，用集合定义函数，将函数拓展为映射，层层深入，环环相扣，组成了一个完整的整体.
三维目标
通过总结和归纳集合与函数的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力.
重点难点
教学重点：
①集合与函数的基本知识.
②含有字母问题的研究.
③抽象函数的理解.
教学难点：
①分类讨论的标准划分.
②抽象函数的理解.
课时安排
1课时
教学过程
思路1.建设高楼大厦的过程中，每建一层，都有质量检查人员验收，合
升级会员 