算法设计与分析第二版课后习题及解答Word下载.docx
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该算法在处理这种输入的过程中,上述情况最多会发生几次?
对于任何形如0mn的一对数字,Euclid算法在第一次叠代时交换m和n,即
gcdm,ngcdn,m
并且这种交换处理只发生一次.
8.a.对于所有1≤m,n≤10的输入,Euclid算法最少要做几次除法?
1次b.对于所有1≤m,n≤10的输入,Euclid算法最多要做几次除法?
5次gcd5,8
习题1.2
1.农夫过河
P?
农夫W?
狼G?
山羊C?
白菜
2.过桥问题
1,2,5,10---分别代表4个人,f?
手电筒
4.对于任意实系数a,b,c,某个算法能求方程ax^2+bx+c0的实根,写出上述算法的伪代码可以假设sqrtx是求平方根的函数
算法Quadratica,b,c
//求方程ax^2+bx+c0的实根的算法
//输入:
实系数a,b,c
//输出:
实根或者无解信息
Ifa≠0
D←b*b-4*a*c
IfD0
temp←2*a
x1←-b+sqrtD/temp
x2←-b-sqrtD/temp
returnx1,x2
elseifD0return?
b/2*a
elsereturn“norealroots”
else//a0
ifb≠0return?
c/b
else//ab0
ifc0return“norealnumbers”
5.描述将十进制整数表达为二进制整数的标准算法
a.用文字描述
b.用伪代码描述
解答:
a.将十进制整数转换为二进制整数的算法
输入:
一个正整数n
输出:
正整数n相应的二进制数
第一步:
用n除以2,余数赋给Kii0,1,2,商赋给n
第二步:
如果n0,则到第三步,否则重复第一步
第三步:
将Ki按照i从高到低的顺序输出
b.伪代码
算法DectoBinn
//将十进制整数n转换为二进制整数的算法
正整数n
该正整数相应的二进制数,该数存放于数组Bin[1n]中
i1
whilen!
0do
Bin[i]n%2;
nintn/2;
i++;
whilei!
0do
printBin[i];
i--;
9.考虑下面这个算法,它求的是数组中大小相差最小的两个元素的差.算法略
对这个算法做尽可能多的改进.
算法MinDistanceA[0..n-1]
数组A[0..n-1]
thesmallestdistancedbetweentwoofitselements
习题1.3考虑这样一个排序算法,该算法对于待排序的数组中的每一个元素,计算比它小的元素个数,然后利用这个信息,将各个元素放到有序数组的相应位置上去.
a.应用该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序
b.该算法稳定吗?
c.该算法在位吗?
解:
a.该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序的过程如下所示:
b.该算法不稳定.比如对列表”2,2*”排序
c.该算法不在位.额外空间forSandCount[]
4.古老的七桥问题
第2章
习题2.1
7.对下列断言进行证明:
如果是错误的,请举例
a.如果tn∈Ogn,则gn∈Ωtn
b.α0时,ΘαgnΘgn
a这个断言是正确的。
它指出如果tn的增长率小于或等于gn的增长率,那么gn的增长率大于或等于tn的增长率由tn≤c?
gnforalln≥n0,wherec0则:
foralln≥n0
b.这个断言是正确的。
只需证明。
设fn∈Θαgn,则有:
forallnn0,c0
forallnn0,c1cα0
即:
fn∈Θgn
又设fn∈Θgn,则有:
forallnn0,c0
forallnn0,c1c/α0
fn∈Θαgn
8.证明本节定理对于下列符号也成立:
a.Ω符号
b.Θ符号
证明:
a。
weneedtoproofthatift1n∈Ωg1nandt2n∈Ωg2n,thent1n+t2n∈Ωg1n,g2n。
由t1n∈Ωg1n,t1n≥c1g1nforallnn1,wherec10
由t2n∈Ωg2n,T2n≥c2g2nforallnn2,wherec20
那么,取cminc1,c2,当nn1,n2时:
t1n+t2n≥c1g1n+c2g2n≥cg1n+cg2n≥c[g1n+g2n]≥cg1n,g2n
所以以命题成立。
b.t1n+t2n∈Θ
由大?
的定义知,必须确定常数c1、c2和n0,使得对于所有nn0,有:
由t1n∈Θg1n知,存在非负整数a1,a2和n1使:
a1*g1nt1na2*g1n-----1
由t2n∈Θg2n知,存在非负整数b1,b2和n2使:
b1*g2nt2nb2*g2n-----2
1+2:
a1*g1n+b1*g2nt1n+t2na2*g1n+b2*g2n
令c1mina1,b1,c2a2,b2,则C1*g1+g2t1n+t2nc2g1+g2-----3
不失一般性假设g1n,g2ng1n.
显然,g1n+g2n2g1n,即g1+g22g1,g2
又g2n0,g1n+g2ng1n,即g1+g2g1,g2。
则（3）式转换为:
C1*g1,g2t1n+t2nc2*2g1,g2
所以当c1=mina1,b1,c2=2c22c1,c2,n0=n1,n2时,当nn0时上述不等式成立。
证毕。
习题2.2
请用的非正式定义来判断下列断言是真还是假。
a.nn+1/2∈On3b.nn+1/2∈On2
c.nn+1/2∈Θn3d.nn+1/2∈Ωn
答:
c假,其它真。
5.按照下列函数的增长次数对它们进行排列（按照从低到高的顺序）
n?
2!
5lgn+10010,22n,0.001n4+3n3+1,ln2n,,3n.
习题2.3
计算下列求和表达式的值。
考虑下面的算法。
该算法求的是什么?
它的基本操作是什么?
该基本操作执行了多少次?
该算法的效率类型是什么?
对该算法进行改进,或者设计一个更好的算法,然后指出它们的效率类型。
如果做不到这一点,请试着证明这是不可能做到的。
9.证明下面的公式:
可以使用数学归纳法,也可以像10岁的高斯一样,用洞察力来解决该问题。
这个小学生长大以后成为有史以来最伟大的数学家之一。
数学归纳法:
高斯的方法:
习题2.4
解下列递推关系（做a,b）
a.
解:
b.
对于计算n!
的递归算法Fn,建立其递归调用次数的递推关系并求解。
考虑下列递归算法,该算法用来计算前n个立方的和:
Sn13+23+…+n3。
算法Sn//输入:
正整数n
//输出:
前n个立方的和
ifn1return1
elsereturnSn-1+n*n*n
a.建立该算法的基本操作次数的递推关系并求解
b.如果将这个算法和直截了当的非递归算法比,你做何评价?
7.a.请基于公式2n2n-1+2n-1,设计一个递归算法。
当n是任意非负整数的时候,该算法能够计算2n的值。
b.建立该算法所做的加法运算次数的递推关系并求解c.为该算法构造一棵递归调用树,然后计算它所做的递归调用次数。
d对于该问题的求解来说,这是一个好的算法吗?
a.算法powern
//基于公式2n2n-1+2n-1,计算2n
非负整数n
2n的值
Ifn0return1
Elsereturnpowern-1+powern-1
c.
8.考虑下面的算法算法Min1A[0..n-1]//输入:
包含n个实数的数组A[0..n-1]Ifn1returnA[0]Elsetemp←Min1A[0..n-2]Iftemp≤A[n-1]returntempElsereturnA[n-1]
a.该算法计算的是什么?
b.建立该算法所做的基本操作次数的递推关系并求解
a.计算的给定数组的最小值
b.
9.考虑用于解决第8题问题的另一个算法,该算法递归地将数组分成两半.我们将它称为Min2A[0..n-1]
算法MinA[r..l]IflrreturnA[l]Elsetemp1←Min2A[l..l+r/2]Temp2←Min2A[l..l+r/2]+1..rIftemp1≤temp2returntemp1Elsereturntemp2
a.建立该算法所做的的操作次数的递推关系并求解
b.算法Min1和Min2哪个更快?
有其他更好的算法吗?
习题2.5
3.java的基本数据类型int和long的最大值分别是当n最小为多少的时候,第n个斐波那契数能够使下面的类型溢出。
a.int类型b.long类型
4.爬梯子假设每一步可以爬一个或两格梯子,爬一部n格梯子一共可以用几种的不同方法?
（例如,一部3格的梯子可以用三种不同的方法爬:
1-1-1,1-2和2-1）。
6.改进算法Fib,使它只需要?
（1）的额外空间。
7.证明等式:
数学归纳法证明
习题2.6考虑下面的排序算法,其中插入了一个计数器来对关键比较次数进行计数.
算法SortAnalysisA[0..n-1]
//input:
包含n个可排序元素的一个数组A[0..n-1]
//output:
所做的关键比较的总次数
count←0
fori←1ton-1dov←A[i]j←i-1whilej0andA[j]vdocount←count+1A[j+1]←A[j]j←j+1A[j+1]←v
returncount
比较计数器是否插在了正确的位置?
如果不对,请改正.
应改为:
fori←1ton-1dov←A[i]j←i-1whilej0andA[j]vdocount←count+1A[j+1]←A[j]j←j+1ifj0countcount+1A[j+1]←v
习题3.1
4.a.设计一个蛮力算法,对于给定的x0,计算下面多项式的值:
Pxanxn+an-1xn-1+…+a1x+a0
并确定该算法的最差效率类型.
b.如果你设计的算法属于Θn2,请你为该算法设计一个线性的算法.
C.对于该问题来说,能不能设计一个比线性效率还要好的算法呢?
AlgorithmsBruteForcePolynomialEvaluationP[0..n],x
//由高幂到低幂用蛮力法计算多项式p在给定点x的值
P[0..n]是多项式按低幂到高幂的常系数,以及定值x
多项式p在给定点x的值
p0.0
forinto0dopower1forj1toidopowerpower*xpp+P[i]*power
returnp
算法效率分析:
基本操作:
两个数相乘,且Mn仅依赖于多项式的阶n
thaabovealgorithmsisveryinefficient,becausewerecomputepowersofxagainandagainasiftherewerenorelationshipamongthem.Infact,wecanmovefromthelowesttermtothehighestandcomputexibyusingxi-1.
AlgorithmsBetterBruteForcePolynomialEvaluationP[0..n],x
多项式p在给定点x的值PP[0]power1fori←1tondopower←power*xp←p+P[i]*powerreturnp
基本操作乘法运算总次数Mn:
c.不行.因为计算任意一个多项式在任意点x的值,都必须处理它的n+1个系数.例如:
x1,pxan+an-1+..+a1+a0,至少要做n次加法运算
5.应用选择排序对序列E,X,A,M,P,L,E按照字母顺序排序.
6.选择排序是稳定的吗?
不稳定
7.用链表实现选择排序的话,能不能获得和数组版相同的Θn2效率?
Yes.Bothoperation?
findingthesmallestelementandswappingit?
canbedoneasefficientlywiththelinkedlistaswithanarray8.应用冒泡排序对序列E,X,A,M,P,L,E按照字母顺序排序.
9.a.请证明,如果对列表比较一遍之后没有交换元素的位置,那么这个表已经排好序了,算法可以停止了.
b.结合所做的改进,为冒泡排序写一段伪代码.
c.请证明改进的算法最差效率也是平方级的.
Hints:
第i趟冒泡可以表示为:
如果没有发生交换位置,那么:
b.AlgorithmsBetterBubblesortA[0..n-1]
//用改进的冒泡算法对数组A[0..n-1]排序
//输入:
升序排列的数组A[0..n-1]
count←n-1//进行比较的相邻元素对的数目
flag←true//交换标志
whileflagdo
flag←false
fori0tocount-1do
ifA[i+1]A[i]
swapA[i],A[i+1]
flag←true
count←count-1
c最差情况是数组是严格递减的,那么此时改进的冒泡排序会蜕化为原来的冒泡排序.
10.冒泡排序是稳定的吗?
稳定
习题3.2
对限位器版的顺序查找算法的比较次数:
在最差情况下
在平均情况下.假设成功查找的概率是p0p1
Cworstnn+1
在成功查找下,对于任意的I,第一次匹配发生在第i个位置的可能性是p/n,比较次数是i.在查找不成功时,比较次数是n+1,可能性是1-p.
6.给出一个长度为n的文本和长度为m的模式构成的实例,它是蛮力字符串匹配算法的一个最差输入.并指出,对于这样的输入需要做多少次字符比较运算.
文本:
由n个0组成的文本
模式:
前m-1个是0,最后一个字符是1
比较次数:
mn-m+1
7.为蛮力字符匹配算法写一个伪代码,对于给定的模式,它能够返回给定的文本中所有匹配子串的数量.
AlgorithmsBFStringmatchT[0..n-1],P[0..m-1]
//蛮力字符匹配
数组T[0..n-1]?
长度为n的文本,数组P[0..m-1]?
长度为m的模式
在文本中匹配成功的子串数量
fori←0ton-mdoj←0whilejmandP[j]T[i+j]j←j+1ifjmcount←count+1
8.如果所要搜索的模式包含一些英语中较少见的字符,我们应该如何修改该蛮力算法来利用这个信息.
每次都从这些少见字符开始比较,如果匹配,则向左边和右边进行其它字符的比较.
习题3.4
8.解释一下如何对排序问题应用穷举查找,并确定这种算法的效率类型。
生成给定元素的一个排列,通过连续比较它们之间的元素,检查他们是否符合排序的要求。
如果符合就停止,否则重新生成新的排列。
最差情况生成排列的个数是n!
每趟连续元素比较次数为n-1次。
所以效率类型为O（n!
（n-1））。
9.幻方一个n阶幻方是把从1到n2的整数填入一个n阶方阵,每个整数只出现一次,使得每一行,每一列,每一条主对角线的和都相等。
a.证明:
如果一个n阶幻方存在的话,所讨论的和一定等于nn2+1/2。
令s为n阶幻方的每一行的和。
则把从1到n2的整数求和可得如下式子
由上式可得:
习题4.1
1.a.为一个分治算法编写伪代码,该算法求一个n个元素数组中最大元素的位置b.如果数组中的若干个元素都具有最大值,该算法的输出是怎样的呢c.建立该算法的键值比较次数的递推关系式并求解d.请拿该算法与解同样问题的蛮力算法做一个比较
AlgorithmsIndexA[l..r]
Input:
AportionofarrayA[0..n-1]betweenindiceslandrl≤r
Output:
TheindexofthelargestelementinA[l..r]
iflrreturnl
elsetemp1←IndexA[l..l+r/2]
temp2←IndexA[l+r/2..r]
ifA[temp1]≥A[temp2]returntemp1
elsereturntemp2
b.返回数组中位于最左边的最大元素的序号.
c.键值比较次数的递推关系式:
CnCn/2+Cn/2+1forn1C10设n2k,C2k2C2k-1+1
2[2C2k-2+1]+122C2k-2+2+1
2[22C2k-3+1]+2+123C2k-3+22+2+1
2iC2k-i+2i-1+2i-2++2+1
2kC2k-k+2k-1+2k-2++2+12k-1n-1
可以证明Cnn-1对所有n1的情况都成立（n是偶数或奇数）
d.比较的次数相同,但蛮力算法不用递归调用。
2、a.为一个分治算法编写伪代码,该算法同时求出一个n元数组的最大元素和最小元素的值。
b.请拿该算法与解同样问题的蛮力算法做一个比较。
c.请拿该算法与解同样问题的蛮力算法做一个比较。
a.同时求出最大值和最小值,只需要将原数组一分为二,再使用相同的方法找出这两个部分中的最大值和最小值,然后经过比较就可以得到整个问题的最大值和最小值。
算法MinA[l..r],,Min
//该算法利用分治技术得到数组A中的最大值和最小值
数值数组
升级会员 