学年高考数学理科一模测试题及答案解析Word格式.docx
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二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知集合A={x∈R|x2﹣2x﹣3<
0}，B={x∈R|﹣1<
x<
m}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，
则实数m的取值范围为．
14．在等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，d为数列{an}的公差，若对任意n∈N*，都有Sn
>
0，且a2a4=9，则d的取值范围为．
15．设椭圆C：
+=1与函数y=tan的图象相交于A1，A2两点，若点P在椭圆C上，且直
线PA2的斜率的取值范围[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是．
16．已知kCnk=nCn﹣1k﹣1（1≤k≤n，且k，n∈N*）可以得到几种重要的变式，如：
Cnk，
将n+1赋给n，就得到kCn+1k=（n+1）Cnk﹣1，⋯，进一步能得到：
1Cn1+2Cn2?
21+⋯+nCnn?
2n﹣1=nCn﹣10+nCn
﹣11?
21+nCn﹣12?
22+⋯+nCn﹣1n﹣1?
2n﹣1=n（1+2）n﹣1=n?
3n﹣1．
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：
Cn0×
+Cn1×
（）2+Cn2×
（）3+⋯+Cnn
×
（）n+1=．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，，求△
ABC的面积．
18．《环境空气质量指标（AQI）技术规定（试行）》如表1：
表1：
空气质量指标AQI分组表
AQI
0～50
51～
100101～150
151～200
201～300
300
级别
Ⅰ级
Ⅱ级
Ⅲ级
Ⅳ级
Ⅴ级
Ⅵ级
类别
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（km）
的情况．
表2：
2016年1月1日至1月30日AQI指数频数统计表．
（801，1000]3
表3：
AQI指数[0，200]（201，400]（401，（601，800]
600]
频数36126
（1）设x=，根据表2的数据，求出y关于x的回归方程；
2）小李在长沙市开了一家小洗车店，经小李统计：
AQI指数不高于200时，洗车店平均每天亏
损约200元；
AQI指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元；
AQI指数大于400时，洗
车店平均每天收入约700元．
（ⅰ）计算小李的洗车店在当年1月份每天收入的数学期望．
（ⅱ）若将频率看成概率，求小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率．
（用最小二乘法求线性回归方程系数公式=，=﹣x）
19．如图所示，异面直线AB，CD互相垂直，AB=，BC=，CD=1，BD=2，AC=3，截面EFGH
分别与BD，AD，AC，BC相交于点E，F，G，H，且AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH．
（1）求证：
BC⊥平面EFGH；
（2）求二面角B﹣AD﹣C的正弦值．
20．如图，抛物线C：
x2=2py（p>
0）的焦点为F（0，1），取垂直于y轴的直线与抛物线交于不同
P1，P2，过P1，P2作圆心为Q的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且P1Q⊥P2Q．
1）求抛物线C和圆Q的方程；
（2）过点F作倾斜角为θ（≤θ≤）的直线l，且直线l与抛物线C和圆Q依次交于M，A，
B，N，求|MN||AB|的最小值．
21．已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，
（I）求证：
；
（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
选修4-4：
坐标系与参数方程
23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半
轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．
选修4-5：
不等式选讲
24．关于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m．
（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；
（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？
参考答案与试题解析
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．
【解答】解：
复数a﹣=a﹣=a﹣（4+i）=（a﹣4）﹣i是纯虚数，
∴a﹣4=0，解得a=4．
故选：
D．
④对于两分类变量X与Y，求出其统计量K2，K2越小，我们认为“X与Y有关系”的把握程度越
小．
【考点】两个变量的线性相关；
线性回归方程．
【分析】①抽样是间隔相同，故①应是系统抽样；
②根据相关系数的公式可判断；
③由回归方程的定义可判断；
④k越小，“X与Y有关系”的把握程度越小．
根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；
两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；
两个随机变量相关性越弱，则相关
系数的绝对值越接近于0；
故②为真命题；
在回归直线方程=0.2x+12中，当变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位，故③
为假命题相，
若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小，故④为
真命题．
∴正确的是②④，
A．48B．64C．96D．128
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，计算出底面的周长和高，进而可得几何
体的侧面积．
由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，
∵它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，O1A1=6，O1C1=2，
∴它的俯视图的直观图面积为12，
∴它的俯视图的面积为：
24，
∴它的俯视图
的俯视图是边长为：
6的菱形，
棱柱的高为4
故该几何体的侧面积为：
4×
6×
4=96，
C．
5．将函数f（x）的图象向左平移φ（0<
φ<
）个单位后得到函数g（x）=sin2x的图象，若对
满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）
A．B．C．D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
x1，x2的值，然后判断选项即可．
g（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0<
）个单
位后得到函数f（x）=sin（2x﹣2φ）的图象．
2，有|x1﹣x2|min
sin（2×
﹣2φ）=﹣1，此时φ
若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为
不妨设：
x2=，x1=，即f（x）在x1=，取得最小值，
=+kπ，k∈Z，由于0<
，不合题意，
时φ=﹣kπ，k∈Z，当k=0时，φ=满足题意．
6．长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方匀在早上
该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早
x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部
结果所构成的区域为Ω=｛（x，y|40≤x≤60，40≤y≤60｝是一个矩形区域，则小张比小王至少早5
分钟到校事件A=｛（x，y）|y﹣x≥5｝作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．
设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．
（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|40≤x≤60，40≤y≤60}
是一个矩形区域，
对应的面积S=20×
20=400，
则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，
则符合题意的区域为△ABC，联立得C（55，60），
由得B（40，45），
则S△ABC=×
15×
15，由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为
=，
A．
7．已知函数f（x）=klnx+1（k∈R），函数g（x）=f（x2﹣4x+5），若存在实数k使得关于x的方程
g（x）+sinx=0有且只有6个实数根，则这6个根的和为（）
A．3πB．6C．12D．12π
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】根据条件，先判断g（x）关于x=2对称，然后利用函数与方程之间的关系转化为两个函
数的交点问题进行求解即可．
∵y=x2﹣4x+5的对称轴为x=2，
∴由g（x）=f（x2﹣4x+5），得g（x）关于x=2对称，
由g（x）+sinx=0得g（x）=﹣sinx，
作出函数y=﹣sinx的图象，
若程g（x）+sinx=0只有6个根，
则六个根两两关于x=2对称，
则关于对称的根分别为x1和x2，x3和x4，x5和x6，
则x1+x2=4，x3+x4=4，x5+x6=4
PE=CE=，
则CF==1，
9．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的
左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的离心率为（）
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，可得|BF1|=2a，
求出B的坐标，代入双曲线方程，可得a，b的关系，再由a，b，c的关系可得a，c的关系．由
离心率公式计算即可得到．
∵过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，
∴|BF1|=2a，
设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得==
x=
∴B（，）
代入双曲线方程，整理可得b=（+1）a，
则c==a，
即有e==．
故选C．
10．已知点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D由所有满足（1<
μ≤b）的点P（x，y）组成．若区域D的面积为8，则a+b的最小值为（）
A．B．2C．4D．8
【考点】简单线性规划．
【分析】如图所示，以AB，AC为邻边作平行四边形ABCD．分别作=，
=，则由所有满足（1<
λ≤a，1<
μ≤b）表示的平面区域D为平行四边
形DEQF.=，=，由于=（3，1），=（1，3），=6．可
=．
S平行四边形DEQF==8（λ﹣1）（μ﹣1）=8，化为λμ=λ+μ，利
用基本不等式的性质可得λ+μ≥4．由（1<
μ≤b），可得
，于是
x+y=4（λ+μ）≤4（a+b）．即可得出．
如图所示，以AB，AC为邻边作平行四边形ABCD．
分别作=，=，
则由所有满足（1<
λ≤a，1<
μ≤b）表示的平面区域
=，=，
D为平行四边形DEQF．
=（3，1），=（1，3），=6．
=，∴
==
==．
S平行四边形DEQF=
=（λ﹣1）（μ﹣1）×
=8（λ﹣1）（μ﹣1）=8，
化为（λ﹣1）（μ﹣1）=1，
∴λμ=λ+μ≥，可得λμ≥4，
∴λ+μ≥4，当且仅当λ=μ=2时取等号．
∵（1<
μ≤b），
∴==（1，﹣1）+λ（3，1）+μ（1，3），
∴，
∵1<
μ≤b，
∴x+y=4（λ+μ）≤4（a+b）．
∴a+b≥λ+μ≥4，
∴a+b的最小值为4．
【考点】基本不等式．
【分析】由已知递推式得到：
a3+a2=3，a5+a4=﹣5，⋯a2017+a2016=﹣2017，累加可求S2017﹣a1，结合
S2017=﹣1007﹣b，求得a1+b=1，代入+，展开后利用基本不等式求最值．
由已知得：
a3+a2=3，a5+a4=﹣5，⋯a2017+a2016=﹣2017，
把以上各式相加得：
S2017﹣a1=﹣1008，
即：
a1﹣1008=﹣1007﹣b，
a1+b=1，
关于函数g（x）=x﹣x+（b+2）x+（c﹣b+η）lnx+d在区间（η+1，ξ+1）内的零点个数的
【考点】函数零点的判定定理．
f（x）=x3+bx+c=（x﹣η）（x﹣ξ）2，进一步得到η+2ξ=0，2ηξ+ξ2=b，
2
=c，且x∈（﹣2ξ，ξ），把函数g（x）求导，用η，ξ表示b，c，二次求导可得在区间
+1，ξ+1）内h′（x）<
0，则答案可求．
f（x）=0的根，且f′（ξ）=0，
f（x）=x3+bx+c=（x﹣η）（x﹣ξ）2，
即得η+2ξ=0，2ηξ+ξ2=b，﹣ηξ2=c，且x∈（﹣2ξ，ξ），
令h（x）=x3﹣3x2+（b+2）x+c﹣b+η=x3﹣3x2+（2﹣3ξ2）x+2ξ3+3ξ2﹣2ξ
=（x﹣1）3﹣（1+3ξ2）（x﹣1）+2ξ2﹣2ξ，
则h′（x）=3（x﹣1）2﹣（3ξ2+1），当x∈（﹣2ξ+1，ξ+1）时，h′（x）<
h′（﹣2ξ+1）=
（3ξ+1）（3ξ﹣1）<
0．
∴h（x）在（η+1，ξ+1）上为减函数，
而h（﹣2ξ+1）=﹣8ξ3+2ξ（3ξ2+1）+（2ξ3﹣2ξ）=0，当x∈（﹣2ξ+1，ξ+1）时，h′（x）
△h′（﹣2ξ+1）=0，
即当x∈（﹣2ξ+1，ξ+1）时，h′（x）<
∴g（x）在（η+1，ξ+1）上为减函数，至多有一个零点．
B．
则实数m的取值范围为（3，+∞）．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可求出m的取值范围．
A={x∈R|x2﹣2x﹣3<
0}={x|﹣1<
3}，
若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，
则A?
B，
则m>
3，
故答案为：
（3，+∞）
△0，且a2a4=9，则d的取值范围为．
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】对任意n∈N*，都有Sn>
0，可得：
a1>
0，d≥0．由于a2a4=9，化为3d2+4a1d+﹣9=0，
△>
0，而且两根之和=﹣4d<
0，而必须至少有一个正实数根．可得3d2﹣9≤0，d≥0，解出即可
得出．
对任意n∈N*，都有Sn>
0，∴a1>
0，d≥0．
∵a2a4=9，
∴（a1+d）（a1+3d）=9，
化为+4a1d+3d﹣9=0，
△=16d2﹣4（3d2﹣9）=4d2+36>
∴方程有两个不相等的实数根，
并且两根之和为﹣4d<
0，而必须至少有一个正实数根．
d=时，a1=0，舍去．
则d的取值范围为．
．
点对称，设A1（x1，y1），A2（﹣x1，﹣y1），P（x0，y0），分别代入椭圆方程可得：
k1k2=
1，
A1，A2两点，若点P在椭圆C上，且直
那么直线PA1斜率的取值范围是
11?
3n﹣1
5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
f（x）的单调递增区间；
ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，，求△
【考点】两角和与差的正弦函数；
正弦函数的单调性；
正弦定理．
≤2kπ+
k∈z，求得x的范围，即可求得f（x）的单调递增区间．
b的值，由
（Ⅱ）由已知，可得sin（2A+）=，求得A=，再利用正弦定理求得
三角形内角和公式求得C的值，再由S=ab?
sinC，运算求得结果．
cos2x）=sin（
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