毕业论文数学归纳法及其在中学数学中的应用文档格式.docx
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com归纳法和演绎法2
com数学归纳法3
com数学归纳法与归纳法的关系312数学归纳法的基本原理及其其它形式4com数学归纳法的基本原理4
com数学归纳法的其它形式5
13数学归纳法的步骤8
com数学归纳法的步骤8
com三者缺一不可8
2数学归纳法在中学数学中的应用1121数学归纳法在中学数学中的具体应用11com运用数学归纳法解决整除问题11com运用数学归纳法证明恒等式11com运用数学归纳法解决不等式问题13com数学归纳法在排列和组合中的应用15
com运用数学归纳法解决几何领域问题1522毕业实习中的案例16
com到时的变化16
com忽略时的假设条件17总结19
致谢20
参考文献21
绪论
01问题的提出与课题意义
com问题的提出
高中数学教科书中我们已经学习过数学归纳法在高中阶段学生主要是通过了解数学归纳法的证明三步骤来模仿证明其他表达式的成立学生也往往满足于时命题成立那么时命题也成立的证明方法数学归纳法是一种重要且独特的证明方法对与自然数有关的命题证明是可行有效的它使学生了解一种化无限为有限的辩证思维方法而且它又不是那么直观易懂的学生在学习数学归纳法的过程中总会产生一个这样的疑问在用数学归纳法证明表达式中证明三步骤是不是真的完整呢真仅是纯粹的假设一旦不真用它去推真岂不是无稽之谈即使推出真能保证真吗如果让学生带着这种疑问去学习数学归纳法肯定会影响他们的学习情感的当然老师会说这是非常完整的那么他们又是根据什么原理来说明自己是正确的呢我想如果能够对学生们讲清楚数学归纳法的本质和由来可以使学生更好的理解数学归纳法和它的运用在用数学归纳法证明恒等式时当然我们会知道这个恒等式肯定是正确的那么它又是如何被前人计算出来的呢数学归纳法只是证明这个等式的正确性而不能求解可见数学归纳法也有着自己的限制和适用范围那么在这个等式的成立过程中数学归纳法到底扮演一个什么样的角色呢要解决这些问题都要求我们对数学归纳法有着深刻的理解
com课题的研究意义
数学归纳法学好了学透了对进一步学好高等数学有所帮助甚至对认识数学的性质也会有所裨益[1]数学归纳法应用比较广泛可以说是关系到自然数的结论都可以用它来验证弄懂数学归纳法的本质可以使学生更好地掌握数学归纳
法学习和应用数学归纳法能够培养学生的运算能力观察能力数学化能力逻辑思
维能力和解决综合性问题的能力另外它也是初等数学与高等数学衔接的一个纽
带是初等数学中非常重要的一部分了
1数学归纳法概述
11数学归纳法的相关概念
com归纳法和演绎法
归纳法是以考察特殊个别的情况后作出的论断作为基础再从这些个别情况的论断归纳出一般的结论也可以说它是从特殊到一般的推理方法一般的说归纳法可分为两种一种是不完全归纳法另一种是完全归纳法
1不完全归纳法它是只验证了部分特殊情况而推测出一般情况也成立的归纳法不完全归纳法的推理模式是
设是研究对象的所有情况的集合
若具有属性
则集合中任一元素都具有属性注意在对研究对象的考察是不完全的
归纳法中的不完全归纳法只能提供一种推测这时可能猜对也可能猜错例如法国数学家费马曾考察如的数他发现当时的值分别为是质数于是归纳法结论所有形如这样的数都是质数然而欧拉发现当时是个合数这就证明费马的猜测是错误的
尽管不完全归纳法提供的猜测可能出错但它却是发现真理的强有力手段德国数学家高斯就说过他的许多定理就是靠归纳法发现的作为一种创造思维方法它在数学真理概括方面有着很重要的作用
2完全归纳法它是验证了全部特殊情况从而断言结论成立的归纳法它的推理模式是
设是研究对象的全面几种情况的集合
则集合中的任一元素都具有属性
显然完全归纳法得到的结论是可靠的它可以比作为数学严格推理论证方法初中平面教材中的圆周角定理的证明就是利用完全归纳法证明分三种情况1圆心在圆周角一边上2圆心在圆周的内部3圆心在圆周的外部因为只有三种情况因此把每种情况证明以后就可归纳出圆周角定理
演绎法它主要是从一般的定义公理和已经被证明了的定理基础上推理导出特殊的判断也可以说它是一般到特殊的推理方法如在初中教材中下面的一个例子就是运用了演绎法
com已知直线与相交求证证明因为
所以同位角相等
又因为对顶角相等所以等量代换图1平行相交
com数学归纳法
数学归纳法是数学中最基本也是最重要的方法之一它在数学各个分支里都有广泛应用该方法早期叫逐次归纳法始见于英国数学家得摩根1806-1871或完全归纳法始见于德国数学家戴德金1831-1916但后来人们更喜欢用数学归纳法的名称因为它更能体现论证的严格性和科学性而不与逻辑学中的归纳法混淆数学上最早使用数学归纳法的人首推法国数学家帕斯卡1623-1662但他并未确立方法的理论依据直到意大利数学家皮亚诺Peano1855-1932[2]
在高中阶段我们把这样的一种证明方法定义为数学归纳法即时成立假设当时成立能够推出当时也成立
数学归纳法其实还有着它的变着后面我们将对数学归纳法的其它形式进行探讨
com数学归纳法与归纳法的关系
归纳法通过观察和组合特殊的例子来发现普遍规律的过程的方法在所有学科中都有应用其结论往往超出前提控制的范围所以人们称它是开拓性的思维方法也正因为结论超出了前提的管辖范围前提就无法保证结论为真所以归纳法只能是或必然性的真理和归纳法不同数学归纳法所证明的结论是完全可靠的所得的结论完全蕴含于前提中所以人们称它为封闭式或收敛性的推理方法只要前提真实逻辑形式正确结论必然真实但数学归纳法只用于数学用来证明某种定理属于论证的范畴是一种演绎法因此把数学归纳法称为归纳法实在是不适宜的因为在这两种过程之间没有什么逻辑联系然而在数学中两种方法常常结合使用归纳法由于所考察的对象不完备性它所得的结论不一定可靠这就需要数学归纳法对其进行证明从而保证结论的正确可以说归纳法与数学归纳法是相互联系互为补
充的两种推理方法归纳法是数学归纳法的基础数学归纳法是归纳法的前导归纳法为数学归纳法准备条件数学归纳法为归纳法提供理论依据
恩格斯指出归纳和演绎正如分析和综合一样是必然相互联系着的不应该牺牲一个而把另一个捧到天上去应当把每一个都用到该用的地方而要做到这一点就只有注意它们的相互联系和相互补充[3]
12数学归纳法的基本原理及其其它形式
com数学归纳法的基本原理
在了解数学归纳法的基本原理前我们不妨先来回想一下小时候对正整数的认识过程首先父母叫我们数后来数有必有每一个正整数后面都有一个正整数于是我们说会数数了事实上数学归纳法正是基于这样一个简单原理
数学归纳法来源于皮亚诺自然公理自然数有以下性质
1是自然数
2每一个确定的自然数都有一个确定的随从也是自然数
3非随从即
4一个数只能是某一个数的随从或者根本不是随从即由
一定能推得
5任意一个自然数的集合如果包含并且假设包含也一定包含的随从那么这个集合包含所有的自然数
后来因为把也作为自然数所以公理中的要换成
其中的性质5是数学归纳法的根据有了这一原理就有了数学归纳法
设是与正整数有关的数学命题如果
1命题当时正确即正确
2在假设正确的前提下可以证明命题也正确那么命题对任意正整数都是正确的
数学归纳法的正确性验证是根据数学归纳法的原理能否完成对与自然数有关命题的无限次论证即数学归纳法是否可靠下面我将结合正整数最小原理即任何非空正整数集合一定含有最小数来验证数学归纳法是否正确
命题任何非空正整数集合一定含有最小数
证明在这集合里任意取一个数大于的不必讨论了我们需要讨论的是那些不大于n的自然数里一定有一个最小的数
应用归纳法如果它本身就是自然数里的最小的数如果这集合里没有小于的自然数存在那么就是最小的也不必讨论了如果有一个那么由数学归纳法的假设知道集合里不大于的自然数一定有一个最小的数存在这个数也就是原集合里最小的数即得证
反过来也可以用这个性质来推出数学归纳法
假设对于某些自然数是不正确的那么一定有一个最小的自然数使这个命题不正确也就是当的时候命题正确而当的时候这个命题也不正确这与归纳法的假定是矛盾的
也许从理论上来看我们有可能还不是很懂得数学归纳法原理的正确性我们可以从我们生活上的例子比较直观的理解它
com从袋子里摸球问题
如果袋子里的东西是有限的总可以把它摸完而得出一个确定的结论但是当东西是无穷的怎么办如果有这样一个论证当你这一次摸出红玻璃球的时候下一次摸出的也一定是红玻璃球那么在这样的保证下只要第一次摸出的确定是
红玻璃球就可以不再检查地作出正确的结论袋里的东西全部是红玻璃球
上面的道理采用形式上的讲法也就是有一批编了号码的数学命题能够证明第号命题正确如果能够证明在第号命题正确的时候第号命题也正确那么这一批命题就全部正确
com数学归纳法的其它形式
数学归纳法原理本质上来看由两个重要步骤构成首先是奠基步这往往比较容易但却是必须的然后需要一个一般意义的演绎规则按照这个演绎规则反复应用从奠基步开始在有限步之内达到任意指定的情形通常这个一般的演绎规则是从所谓的归纳法假设开始从较少规模成立的假设推导出较大规模的情形成立从而建立一个一般的演绎规则因此从这一本质出发数学归纳法可演绎出丰富的变着概括起来有两个方面一是奠基点的前提或后推增多或减少二是递推跨度和递推途径的变通而正是因为是变着的多样性和应用技巧的灵活性才使数学归纳法显示出广泛的应用性
1不一定从开始也就是数学归纳法里的两句话可以改成如果当的时候这个命题是正确的又从假设当时这个命题是正确的可以推出当时这个命题也是正确的那么这个命题时都正确这是第一数学归纳法的变着也叫做跳跃数学归纳法
com求证边形个内角的和等于
这里就要假定
证明当时我们知道三角形三个内角的和是所以当时命题是正确的假设当时命题也是正确的设是边形的顶点做线段它把这个边形分成两个图形一个是边形另一个是三角形并且边形内角的和等于后面两个图形的内角和的和就是
也就是说当时这个命题也是正确的因此定理得证
2第二句话也可以改为如果当适合于时命题正确那么当时命题也正确由此同样可以证明对于所有命题都正确这种属于第二数学归纳法的变着
com我们知道对于任意自然数有反之若且有成立吗
证明当时由及得命题成立
假设当时命题成立即
当时因为
又
于是
因为所以
又因为故
解得
或
所以时命题也成立从而对任意自然数命题成立
3设是关于自然数的命题若对无限多个自然数成立假设成立可推出成立则命题一切自然数都成立
com已知是定义在上又在上取值的函数并且2对于任何有当时有求证在上恒成立
证明先证有无限多个自然数使得取是任意自然数对用第一数学归纳法证明
1由条件可知当时公式成立
2考虑情形时由可见公式对成立这就证明了有无限多个自然数使得
再证若则
由得
另一方面由条件3可得
比较公式得
这便完成了反向归纳法从而对一切自然数都成立
总之数学归纳法原理还隐含着许多变着这便使得数学归纳法在证题中发挥
着重要的作用除此之外还有其它其实的数学归纳法如跷跷板数学归纳法双重数
学归纳法
13数学归纳法的步骤
com数学归纳法的步骤
在高中阶段我们把数学归纳法的步骤分为三步但是从实质上来说数学
归纳法也可以分为两个步骤
1当时这个命题是正确的
2假设当时这个命题是正确的
3证明当时这个命题也是正确的
从而推出这个命题在自然数中都是成立的
com对任意正自然数有
证明1当时所以等式成立
2假设当时等式也成立则有
3当时
时等式也成立
综上所述等式对一切正自然数都成立
在实际的教学过程中重点在于如何利用假设时命题的结论来推出时命题也
成立因为之前的两部相当于第三步而言比较简单因此学生做题时往往会在第三步感到困难然而即使学生经过一段时间的训练能够一步不漏正确的做下来学生多半仍处于知其然不知所以然的处境有不少学生心中疑问为什么要有三步尤其第一步看上去很傻只不是是代个最简单的数字进去看看命题对不对这一步会有多少作用为什么非要不可并且用的假设命题去推的必要性
以上问题都涉及到数学归纳法的原理本质也是它能够成为一种重要的数学证明方法的巧妙之处其实数学归纳法的三个步骤有着十分密切的关系三个步骤缺一不可
com三者缺一不可
首先我们来讨论如果在一个表达式中如果我们不考虑时命题的正确性会发生什么情况
com所有的正整数都相等
这个命题显然是荒谬的但是如果我们丢开当的时候这个命题是正确的不管那么可以用数学归纳法来证明它
这里第号命题是第个正整数等于第个正整数就是
两边都加上就得
这就是说第个正整数等于第个正整数这不是说明了所有的正整数都相等了吗
错误就在于我们没有考虑的情况
com如果我们不考虑的情况可以证明
这里是任何的数
事实上假设第号命题
正确com一样那么
也就正确
可当我们将代进去而是可取任何数的明显知道这个命题是不正确的
用假设时命题的正确性推出的正确性是为了保证命题在正自然数的正确性这样的证明步骤才表现出它的正确性和完整性有些命题即使在前几个自然数中是正确的但是代入后面的自然数后这个命题就错了
com在正自然数上都是素数
分析当的时候式子
的值都是素数但是当的时候它的值就不是素数
分析当的时候式子的值都是素数即使如此我们还不能确立是任何正整数的时候这个式子的值都是素数事实上只要的时候它的值就不是素数
这也就是说即使我们试了次式子的值都是素数我们仍旧不能断定这个命题一般的正确性
这就足够说明了是递推的基础二三两步相互循环论证关系是递推的过程它解决了从特殊值到一般的过渡这三个步骤密切相关缺一不可如果只有奠基步骤而无归纳步骤那就属于不完全归纳法因而论断的普遍性是不可靠的反之如果只有归纳步骤而无奠基步骤那么归纳步骤的假设就失去了依据从而使归纳法步骤的证明失去意义这一步即使得以证出其结果也是建立在不可靠的基础上所以仍然不能断定原命题是否正确
用数学归纳法证题时关键在归纳步骤而归纳步骤的关键在于合理应用假设因此熟悉归纳步骤的证明思路是十分必要的就中学教材而论应用数学归纳法证
明命题大概有两种类型
能直接应用归纳假设来证明的证明这类问题时通常在归纳假设的两边同加或同减某项通过适当变换完成证明对于这种类型的题目在中学的课本中比较常见
不能直接应用归纳假设来证明的这类命题解题时一般通过下面的两种途径为应用归纳假设创造条件先将代入原式然后将所得表达式作适当的变换从而得到结论利用其它数学知识建立与的联系从而得到结论成立对于这种类型题目在中学数学的学习中出现的概率也是很大的
2数学归纳法在中学数学中的应用
21数学归纳法在中学数学中的具体应用com运用数学归纳法解决整除问题运用数学归纳法来证明整除问题是充分运用整除的性质即能被整除能被整
除则能被整除
com证明能被整除
证明1时能被整除
2假设时能被整除
3则当时有
由于能被整除能被整除
所以时命题成立
即证
com运用数学归纳法证明恒等式com
证明1时
2假设时等式成立
3则当时有
则有时等式也成立
同时在数列中的等式问题也可以用数学归纳法证明
com等差数列的第项可以用公式
表示这里是它的首项是公差
证明1当的时候等式是成立的
2假设时候成立
则当时等式也成立
所以等式在正自然数上都是成立的com等差数列前项的和可以用公式表示这里是它的首项是公差
证明1当的时候等式成立
2假设成立
则时等式也是成立的所以等式在正自然数都是成立的
等比数列的通项公式和求和公式都可以用数学归纳法证明它的正确性
com数列满足是自然数试用和表示解因为
猜想
运用数学归纳法证明以上的假设猜想
1当时等式成立
2假设当时等式成立
3则当时则有
由此可知
com运用数学归纳法解决不等式问题
com
证明1当时式成立
2假设时原式成立
则当时原式也成立
则不等式成立
com若不等式对一切正整数都成立求正整数的最大值并证明你的结论
解取
令得而
所以取下面用数学归纳法证明
1时已证结论正确
2假设时不等式成立
因为
所以
所以即时结论成立
由12可知对一切都有
故的最大值为
com数学归纳法在排列和组合中的应用com定理
证明首先这是显然成立的如果再能证明当时
那么式子也就可用数学归纳法证明
我们假定有个不同的元素每次取出个元素的组合里可以分为两类一类含有一类不含有含有的组合数就等于从里取个元素的组合数它等于不含有的组合数就等于从里取个的组合数它等于所以
下面我们证明式子
1当的时候这个定理是正确的
2假设的时候这个定理是正确的
3则当的时候有
所以时这个定理也是正确的
所以公式是成立的
com运用数学归纳法解决几何领域问题
com平面内有个圆其中每两个圆都相交于两点且每三个圆都不相交于同一点求证这个圆把平面分成个部分
证明1当时一个圆把平面分成两部分命题成立
2假设当时命题成立即个圆把平面分成个部分
3则当时这个圆中的个圆把平面分成个部分第个圆被前个圆分成条弧每条弧把它所在部分分成了两个部分这是共增加了个部分即个圆把平面分成
即命题成立
22毕业实习中的案例
在我的毕业教学实习中在教授数学归纳法时发现学生在运用数学归纳法证明恒等式的过程中一般会出现两个比较重大的错误一个是弄不清第二步到第三步的具体变化另一个是在证明时根本没有运用到第二步的假设这说明学生对数
学归纳法的三步骤还没有深刻理解也没有掌握数学归纳法的概念对于这两个问
题下面我给出了实例
com到时的变化
com用数学归纳法证明
时从到左端需增乘的代数式为错误解法时式子左端为
当式子左端为
故选B
分析时左端第一个因式也有所变化不能简单地看后面的因式
正确解法时式子左端为
当时式子左端为
所以需增乘的应该是故选A
com忽略时的假设条件
com时
错误解法1当时等式成立
2假设等式成立
3当时有
所以时等式成立
综上所述当时等式成立
分析在证明等式成立时没有用到归纳假设正确解法1当时等式成立
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