函数定义域值域求法以及分段函数Word文件下载.docx
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（1）解析法；
（2）图象法；
（3）列表法.
三、典例解析
1、定义域问题
例1求下列函数的定义域：
1
①f（x）——：
②
x2
f（x）.3x2:
③f（x）
..x1
解：
①x-2=0，即x=2时,
分式无意义,
而x2时，分式—
x
②•••3x+2<
0，即x<
-
而3x20，即x
—有意义，•这个函数的定义域是
2
2
时，根式＜3x2无意义，
3
-时
3时，
根式.3x2才有意义,
•••这个函数的定义域是
{x|x
2}.
③•••当x10且2
1和分式同时有
2x
意义，
•这个函数的定义域是
2}
另解：
要使函数有意义，必须:
例2求下列函数的定义域:
①f（x）
②f（x）
-x23x4
③f（x）
④f（x）
（x1）0
33x7
①要使函数有意义，必须:
x21
即:
、3
•函数f（x）<
4
x1的定义域为:
3,3]
②要使函数有意义，必须:
x23x4
x12
x3或3x1或x4
•定义域为：
{x|x3或3x1或x4}
A
-0
—
1-
R且x
0,1,1}
10
x0
1x
30
R
7
3x
70
3要使函数有意义，必须：
•••函数的定义域为：
｛x|x
4要使函数有意义，必须：
x|x1或
5要使函数有意义，必须：
即x<
—或x>
—•'
33
{x|x7}
•••定义域是R,•ax2ax0恒成立,
a
•等价于
a0
a24a-0
x|
•函数yf（x丄）f（x丄）的定义域为:
44
例5已知f（x）的定义域为［—1,1］，求f（2x—1）的定义域。
分析：
法则f要求自变量在［—1,1］内取值，则法则作用在2x—1上必也要求2x—1在［—1,1］内取值，即一1<
2x—1<
1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；
或者从位置上思考f（2x—1）中2x—1
与f（x）中的x位置相同，范围也应一样，•一1<
1,解出x
的取值范围就是复合函数的定义域。
（注意：
f（x）中的x与f（2x—1）中的x不是同一个x，即它们意义不同。
）解：
：
f（x）的定义域为［—1,1］,
•••—1<
1，解之0<
x<
1,
•••f（2x—1）的定义域为［0，1］。
例6已知已知f（x）的定义域为［—1,1］，求f（x2）的定义域。
答案：
—1<
x2<
1x2<
1—1<
x<
1
练习：
设f（x）的定义域是［3,.2］，求函数fC_x2）的定义域.
.x>
00x2、20x642
•函数f（•-x2）的定域义为：
x|0x64-2
例7已知f（2x—1）的定义域为［0，1］，求f（x）的定义域
因为2x—1是R上的单调递增函数，因此由2x—1，x€［0,1］求得的值域［—1，1］是f（x）的定义域。
5已知f（3x—1）的定义域为［—1，2），求f（2x+1）的定义域。
—,2）
（提示：
定义域是自变量x的取值范围）
已知f（x2）的定义域为［—1，1］，求f（x）的定义域
若yfx的定义域是0,2，则函数fx1f2x1的定义域是
已知函数fx的定义域为A，函数yffX的定义域为B，贝y
（）
A.AUBBB.BAC.AlBBD.AB
2.值域问题
利用常见函数的值域来求（直接法）
k
反比例函数y（k0）的定义域为｛x|x0｝，值域为｛y|y0｝;
二次函数f（x）ax2bx
c（a0）的定义域为R,
当a>
0时，值域为｛y|y
（4acb）}；
当a<
4a
时,
值域为
{y|y^^}.
例1求下列函数的值域
③yx1（记住图像）
②略
二次函数在区间上的值域（最值）:
例2求下列函数的最大值、最小值与值域:
①y
x24x
1;
②；
yx24x1,x[3,4]
③y
1,x[0,1]；
④y
x24x1,x[0,5]；
••
.2yx
4x1（x2）23,
•顶点为（2,-3），顶点横坐标为2
①T抛物线的开口向上，函数的定义域R,
•x=2时，ymin=-3,无最大值；
函数的值域是
{y|y-3}.
②•••顶点横坐标2［3,4］，
当x=3时，y=-2；
x=4时，y=1；
l'
/
J
-2-1O
23456x
-1
-2
-3
lx
••在[3,4]上，ymin=-2,ymax=1；
值域为[-2,1].
③T顶点横坐标
[0,1]
•••在[0,1]上，
ymin
=-2,
④T顶点横坐标
[0,5]
•••在[0,1]上,
ymax=1；
值域为[-2，1].
，当x=0时，y=1;
x=1时，y=-2.
当x=0时，y=1;
x=2时，y=-3,x=5时，y=6,
ymin=-3，ymax=6；
[-3,
6].
注：
对于二次函数f（x）ax2
bxc（a0）,
⑴若定义域为R时,
再比较f（a）,f（b）的大小决定函数的最大（小）值
②若X。
[a,b],则[a,b]是在f（x）的单调区间内，只需比较f（a）,f（b）的大小即可
决定函数的最大（小）值•
①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
1、求函数y=3+V（2—3x）的值域
由算术平方根的性质，知"
（2—3x）>
0,
故3+V（2—3x）>
3。
•函数的值域为3,
2、求函数yx22x5,x0,5的值域
x1时,ymin4
x5时,『max20值域为4,20
例3求函数y=4x—V1-3x（x<
1/3）的值域。
法一：
（单调性法）设f（x）=4x,g（x）=—V1-3x,（x<
1/3）,易知它们在定义域内为
增函数，从而y=f（x）+g（x）=4x—V1-3x
在定义域为xw1/3上也为增函数，而且ywf（1/3）+g（1/3）=4/3,因此，
所求的函数值域为｛y|yw4/3
小结：
禾U用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结
合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
求函数y=3+V4-x的值域。
（答案：
｛y|y>
3｝）
法二：
换元法
例4求函数yx2•.1x的值域
（换元法）设Jxt,则yt22t1（t0）
对称轴t10,，且开口向下
当t1时，ymax2
值域为,2
点评：
将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而
确定出原函数的值域。
这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。
它的应用十分广泛。
求函数y=Vx-1-x的值域。
｛y|yw—3/4｝
例6求yx3x1的值域
4,x1
解法一：
（图象法）可化为y22x,1x3如图，
4,x3
观察得值域y4y4
解法二：
（零点法）画数轴利用|ab表示实数a,b在数轴上的距离可得。
-1X03
yxx1的值域呢？
（1,）（三种
方法均可）
例7求函数y9x3x2（x0,1）的值域
（换元法）设3xt，则1t3原函数可化为
yt2t2,对称轴t
t1时,ymin2；
t
值域为2,8
21,3
3时,ymax
例8求函数y
x22x
的值域
（换元法）令t
x22x（x
1）21，则
t
3（t1）
由指数函数的单调性知,
原函数的值域为
例9求函数y2（x
0）的值域
（图象法）如图，值域为
0,1
x1
例10求函数y
（逆求法）解出x,x
12y
观察得原函数值域为yy
1y
（分离常数法）
已知分式函数y
x233.
11，可得值域
x2x2
axb
yy
cx
d（C
0），如果在其自然定义域（代数式自身对变量
的要求）内，值域为
如果是条件定义域（对自变量有附加条件），
采用部分分式法将原函数化为
求值域。
ad
b
c（adbe），用复合函数法来
exd
例11求函数y•厂的值域
3x1
原函数的值域为01
例13求函数y厂V的值域
2x24x3
25
解令2x4x3t，则y7
t2（x1）11
0y5
所以，值域｛y|0
y5}
1、
21yx2x
9（x0）;
x0,y
x29（x
-）211,
•••y11.
另外,
此题利用基本不等式解更简捷：
yx-
[929
11（或利用对勾函数图
像法）
5
0<
y5.
3、求函数的值域
1yx.2x；
②y2..4xx2
①令u.2x0,则x2u,
2129
原式可化为y2uu（u—）—,
——
u0,「.y—，-函数的值域是（-，一]•
2解：
令t=4xx0得0x4
22
在此区间内（4xx）max=4,（4xx）min=0
函数y2..4xx2的值域是{y|0y2}
4、求函数y=|x+—|+|x-2|的值域.
2x1（x1）
解法1
:
将函数化为分段函数形式:
y3（1x
2），画出它的图象（下图）
2x1（x
2）
由图象可知，
函数的值域是{y|y3}.
解法2:
•••函数y=|x+1|+|x-2|
表示数轴上的动点x
到两定点-1,2的距离之和,
易见y的最小值是3，•函数的值域是
[3,+].如图
x-1O
——
-1Ox12--1O12x
5、求函数
y
2x
4,1
x的值域
设t
则t
2
0x=1t
代入得y
f
（t）
2（1
t2）4t2t24t22（t1）24
■/1
•••y
3.分段函数
分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法则的函数
它是一个函数，却又常常被学生误认为是几个函数；
它的定义域是各段函数定义域的并
集，其值域也是各段函数值域的并集.由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知
•求分段函数的定义域和值域
[1,）,值域为（1,3].
•求分段函数的函数值
【解析】
3•求分段函数的最值
x5154,综上有fmax（x）4.
4•求分段函数的解析式
例4.在同一平面直角坐标系中
函数yf（x）和yg（x）的图象关于直线yx对
称，现将yg（x）的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移1个单位，所得
得f（x）
2x2（1x0）,故选A.
22（0x2）
9•解分段函数的不等式
2x1（x0）
例11•设函数f（x）1，若
x2（x0）
f（X。
）1,则X。
得取值范围是（）
A.（1,1）B.（1,）
C-（,2）（0,）
D.（,1）（1,）
【解析1】
首先画出yf（x）和y1的大致图像，易知f（x））1时,所对应的x0的取值范围
是（,1）（1,）.
【解析2】
因为f（Xo）1,当Xo0时,2X011,解得Xo1,当Xo0时,X。
至1
解得Xo1,综上Xo的取值范围是（，1）（1,）•故选D.
（X1）（X1）
例12•设函数f（x）—,贝y使得f（x）1的自变量X的取值范围为
4VX1（X1）
（
）
A•（,2]
[o,1o]
B.（
C.（,2]
[1,1o]
D.[
当X1时，
f（x）1
（x
1）2
1X
X
1时,f（X）
14
X1
述,
x2或o
x1o,
故选
A项
【点评：
】
2][o,1]
2,o][1,1o]
2或xo,所以X2或ox1,当
13x1o,所以1x1o,综上所
以上分段函数性质的考查中，不难得到一种解题的重要途径，若能画出其大致图像
定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解，方程、不等式等可用数形结合
思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解，使问题得到大大简化，效果明显.
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