函数定义域值域求法以及分段函数Word文件下载.docx

1、 （1）解析法；（ 2 ）图象法；（ 3）列表法.三、典例解析1、定义域问题例1求下列函数的定义域：1f （x）：x 2f（x） . 3x 2 : f（x）.x 1解：x-2=0，即 x=2 时,分式无意义,而x 2时，分式x 3x+20，即 x-而3x 2 0，即x有意义，这个函数的定义域是22 时，根式3x 2无意义，3-时3时，根式.3x 2才有意义,这个函数的定义域是x| x2.当 x 1 0且21和分式同时有2 x意义，这个函数的定义域是2另解：要使函数有意义，必须:例2求下列函数的定义域: f （x） f （x）-x2 3x 4f（x） f （x）（x 1）03 3x 7要使函数有

2、意义，必须:x2 1即: 、3函数f（x） 4x 1的定义域为:3, 3要使函数有意义，必须:x2 3x 4x 1 2x 3或 3 x 1 或 x 4定义域为： x| x 3或 3 x 1或x 4A-01 -R且x0, 1, 11 0x 01 x3 0R73x7 03要使函数有意义，必须：函数的定义域为：x|x4要使函数有意义，必须：x|x 1或5要使函数有意义，必须：即 x 3 3x|x 7定义域是 R, ax2 ax 0恒成立,a等价于a 0a2 4a - 0x|函数y f（x丄）f （x丄）的定义域为:4 4例5已知f（x）的定义域为1 , 1，求f（2x 1）的定义域。分析：法则f要求

3、自变量在1 , 1内取值，则法则作用在2x 1上必也 要求2x 1在1 , 1内取值，即一1 2x 1 1,解出x的取值 范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考 f（2x 1）中2x 1与f（x）中的x位置相同，范围也应一样，一 1 1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。（注意：f（x）中的x与f（2x 1）中的x不是同一个x，即它们意义不同。） 解：f（x）的定义域为1 , 1, 1 1，解之 0 x 1 , f（2x 1）的定义域为0，1。例6已知已知f（x）的定义域为1 , 1，求f（x2）的定义域。答案：1 x2 1 x2 1 1 x 0 0 x 2 、2 0 x 6 4 2函

4、数f （ - x 2）的定域义为： x|0 x 6 4 - 2例7已知f（2x 1）的定义域为0，1，求f（x）的定义域因为2x 1是R上的单调递增函数，因此由2x 1， x 0,1求得的值 域1，1是f（x）的定义域。5 已知f（3x 1）的定义域为1，2），求f（2x+1）的定义域。 ,2 ）（提示：定义域是自变量x的取值范围）已知f（x2）的定义域为1，1，求f（x）的定义域若y f x的定义域是 0,2，则函数f x 1 f 2x 1的定义域是已知函数f x 的定义域为A，函数 y f f X 的定义域为B，贝y（ ）A. AU B B B. B A C. Al B B D. AB2.

5、值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）k反比例函数y （k 0）的定义域为x|x 0，值域为y|y 0;二次函数 f（x） ax2 bxc（a 0）的定义域为R ,当a0时，值域为y|y（4ac b ）；当 a 0,故 3+ V （2 3x） 3。函数的值域为 3,2、求函数y x2 2x 5 , x 0,5的值域x 1 时,ymin 4x 5时,max 20 值域为 4,20例3 求函数y=4x V 1-3x（x 1/3）的值域。法一：（单调性法）设f（x）=4x,g（x）= V 1-3x ,（x 3）法二：换元法例4 求函数y x 2 . 1 x的值域（换元法）设J x t ,则y t2

6、 2t 1 （t 0）对称轴t 1 0,，且开口向下当 t 1 时，ymax 2值域为 ,2点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十 分广泛。求函数y= Vx-1 - x的值域。y|y w 3/4 例6 求y x 3 x 1 的值域4 , x 1解法一：（图象法）可化为 y 2 2x , 1 x 3 如图，4 , x 3观察得值域 y 4 y 4解法二：（零点法）画数轴 利用|a b表示实数a,b在数轴上的距离 可得。-1X0 3y x x 1的值域呢？ （ 1, ）（三种方法均可）例7 求

7、函数y 9x 3x 2 （x 0,1 ）的值域（换元法）设3x t ，则1 t 3原函数可化为y t2 t 2, 对称轴tt 1 时,ymin 2 ； t值域为2,82 1,33 时,ymax例8求函数yx2 2x的值域（换元法）令tx2 2x （x1）2 1 ，则t3 （t 1）由指数函数的单调性知,原函数的值域为例9 求函数y 2 （x0）的值域（图象法）如图，值域为0,1x 1例10 求函数y（逆求法）解出x, x1 2y观察得 原函数值域为yy1 y（分离常数法）已知分式函数yx 2 3 3 .1 1 ，可得值域x 2 x 2ax byycxd（C0），如果在其自然定义域（代数式自身对

8、变量的要求）内，值域为如果是条件定义域（对自变量有附加条件） ，采用部分分式法将原函数化为求值域。,adb c （ad be），用复合函数法来ex d例11求函数y 厂的值域3x 1原函数的值域为 01例13 求函数y 厂V 的值域2x2 4x 32 5解令2x 4x 3 t，则y 7t 2（ x 1） 1 10 y 5所以，值域y |0y 51、2 1 y x 2 x9（x 0）;x 0, yx 2 9 （x-）2 11 , y 11.另外,此题利用基本不等式解更简捷：y x -9 2 911 （或利用对勾函数图像法）50y 5.3 、求函数的值域1y x . 2 x ； y 2 . 4x

9、x2令u . 2 x 0,则x 2 u , 2 1 2 9原式可化为y 2 u u （u ）, u 0,.y ，-函数的值域是（-，一2解：令t=4x x 0得0x42 2在此区间内 （4x x ） max=4 , （4x x ）min =0函数y 2 . 4x x2的值域是 y| 0 y 24、求函数y=|x+|+|x-2| 的值域.2x 1（x 1）解法1:将函数化为分段函数形式:y 3（ 1 x2），画出它的图象（下图）2x 1（x2）由图象可知，函数的值域是 y|y 3.解法2 :函数 y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点 x到两定点-1 , 2的距离之和,易见y的最小值是3，函

10、数的值域是3 , + .如图x -1 O-1 Ox 1 2 - -1 O 1 2 x5、求函数y2x4,1x的值域设t则t,20 x=1 t代入得yf（t）2 （1t2） 4t 2t2 4t 2 2（t 1）2 4/1 y3.分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内 ，有不同的对应法则的函数它是一个函数，却又常常被学生误认为是几个函数 ；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集 .由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知求分段函数的定义域和值域1,）,值域为（1,3.求分段函数的函数值【解析】3求分段函数的最值x 5 15 4,综上有 fmax（x） 4

11、 .4 求分段函数的解析式例4.在同一平面直角坐标系中函数y f （x）和y g（x）的图象关于直线 y x对称，现将y g（x）的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移1个单位，所得得 f （x）2x 2 （1 x 0）,故选A.2 2 （0 x 2）9 解分段函数的不等式2 x 1 （x 0）例11 设函数f （x） 1 ，若x2 （x 0）f（X。） 1,则X。得取值范围是（ ）A.（ 1,1） B.（ 1,）C- （ , 2） （0,）D. （ , 1） （1,）【解析1】首先画出y f（x）和y 1的大致图像，易知f（x） 1时,所对应的x0的取值范围是（,1） （1,）.【解

12、析2】因为 f （Xo） 1,当 Xo 0 时,2 X0 1 1,解得 Xo 1 ,当 Xo 0 时,X。至 1解得Xo 1 ,综上Xo的取值范围是（，1） （1, ） 故选D.（X 1） （X 1）例12 设函数f（x） ,贝y使得f（x） 1的自变量X的取值范围为4 VX1 （X 1）（）A （ , 2o,1oB.（C. （ , 21,1oD.当X 1时，f（x） 1（x1）21 XX1 时,f （X）1 4X 1述,x 2或ox 1o,故选A项【点评：】,2 o,12,o 1,1o2或x o,所以X 2或o x 1,当1 3 x 1o,所以1 x 1o,综上所以上分段函数性质的考查中 ，不难得到一种解题的重要途径 ，若能画出其大致图像定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解 ，方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解 ，使问题得到大大简化，效果明显.