四面体外接球的球心半径求法文档格式.docx
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12(33)212
.21
3
【结论】:
空间两点间距离公式:
PQ
,(为X2)2(y1y2)2(乙Z2)2
四、四面体是正四面体
处理球的“内切”
“外接”问题
与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接。
作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点,但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。
解决这类题目时要认真分析图形,明确切点和接点的位置及球心的位置,画好截面图是关键,可使这类问题迎刃而解。
一、棱锥的内切、外接球问题
例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少?
分析:
运用正四面体的二心合一性质,作出截面图,通过点、线、面关系解之。
如图1所示,设点0是内切球的球心,正四面体棱长为称性知,点0也是外接球的球心.设内切球半径为
a.由图形的对r,外接球半径为R.
正四面体的表面积
4-^a2.3a2
4
正四面体的体积Vbcd
AE
.3
a
12
2AB2BE2
32a12
匝3
—a
3s表r
VABCD,
ABCD
ST"
23
..3a2
.6
在RtBEO中,BO2
BE2EO2,即R2
-a,得R
3r
【点评】由于正四面体本身的对称性可知,内切球和外接球的两个球心是重合的,为正四面体高的四
等分点,即内切球的半径为h(h为正四面体的高),且外接球的半径3h,从而可以通过截面图中
44
RtOBE建立棱长与半径之间的关系。
例2•设棱锥MABCD的底面是正方形,且MAMD,MAAB,如果AMD的面积为1,试求能够放入这个棱锥的最大球的半径•
ABAD,ABMA,AB平面MAD,
由此,面MAD面AC.记E是AD的中点,
从而MEAD.ME平面AC,MEEF
设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球•如图2,得截面图MEF及内切圆O
不妨设
O平面MEF,于是O是MEF
的内心.
O的半径为r,则
2SMEF
EFEMMF
ADEF
EM
2,m—
r
12
a—
—
X
2、2
当且仅当
2,即a.2时,等号成立.
•••当AD
ME、、2时,满足条件的球最大半径为..2
1.
练习:
一个正四面体内切球的表面积为3,求正四面体的棱长。
(答案为:
2)
【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置,作出截面图是解题的关键。
二球与棱柱的组合体问题
1•正方体的内切球:
球与正方体的每个面都相切,切点为每个面的中心,显然球心为正方体的中心。
设正方体的棱长为a,球半径为R。
如图3,截面图为正方形
EFGH的内切圆,得Ra;
球与正方体的各棱相切,切点为各棱的中点,如图
4作截面图,圆0为
正方形
EFGH的外接圆,易得
正方体的外接球:
正方体的八个顶点都在球面上,如图
5,以对角面AA1作截面图得,圆0为矩
.0
形AA1C1C的外接圆,易得RA,0—a。
例3.在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直,那么这个球的表面积是.
且PAPBPCa,
由已知可得PA、PB、PC实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱,
正方体的对角线长
就是球的直径,连结过点
C的一条对角线CD,则CD过球心0,对角线CD
■:
:
3a
与正方体各棱相切的球:
3a2
<
S球表面积4a
一棱长为2a的框架型正方体,内放一能充气吹胀的气球,求当球与正方体棱适好接触但又不
至于变形时的球的体积。
(答案为V—3.2a3—a3)
42
4.构造直三角形,巧解正棱柱与球的组合问题
正棱柱的外接球,其球心定在上下底面中心连线的中点处,由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。
例4.已知三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点在球0^,上,又知球02与此正三棱柱的5个面都相切,求
球01与球02的体积之比与表面积之比。
先画出过球心的截面图,再来探求半径之间的关系。
如图6,由题意得两球心
。
1、。
2是重合的,过正三棱柱的一条侧棱AA和它们的球心作截面,
设正三棱柱底面边长为
a,则R2
-a,正三棱柱的高为
6
h2R2
RtADQ中,得
R12
R1
12a
Sr:
S2
5:
1,V1:
V2551
52
a,
4...2R2)
【点评】“内切”和“外接”等有关问题,首先要弄清几何体之间的相互关系,主要是指特殊的点、线、面之间关系,然后把相关的元素放到这些关系中解决问题,作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系,是解决这类问题的最佳途径。
勾股定理知,假设正四面体的边长为a时,它的外接球半径为—6a。
平面向量
重点知识回顾
1.向量的概念:
既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素:
大小、方向•
2.向量的表示方法:
①用有向线段表示;
②用字母a、bb等表示;
③平面向量的坐标表示:
分别取与
x轴、y轴方向相同的两个单位向量ir、:
作为基底。
任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只
rr一r
有一对实数x、y,使得axiyj,(x,y)叫做向量a的(直角)坐标,记作a(x,y),其中x叫做a
在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,特别地,i(1,0),j(0,1),0(0,0)。
a.x2y2;
若佩花」。
,B(X2,y2),则ABx?
y1,ab..(X2—xj—®
—yj2
3.零向量、单位向量:
①长度为0的向量叫零向量,记为0;
②长度为1个单位长度的向量,叫单
—►
位向量.(注:
就是单位向量)
|a|
rr
4.平行向量:
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;
②我们规定0与任一向量平行.向量a、b、
c平行,记作a〃b〃c.共线向量与平行向量关系:
平行向量就是共线向量
5.相等向量:
长度相等且方向相同的向量叫相等向量
6.向量的基本运算
(1)向量的加减运算
几何运算:
向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。
坐标运算:
设a=(x1,y1),b=(x2,y2)则a+b=(x1+X2,y1+y2)a_b=(X1_X2,y1_y2)
(2)平面向量的数量积:
a?
b=abcos
设a=(x1,y1),b=(x2,y2)则a?
b=X1X2+y1y2
(3)两个向量平行的充要条件//=入
若=(x1,y1),=(x2,y2),贝U//X1y2-X2y1=0
(4).两个非零向量垂直的充要条件是丄•=0
设=(x1,y1),=(x2,y2),贝U丄x1X2+y1y2=0
.向量的加法、减法:
①求两个向量和的运算,叫做向量的加法。
向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
②向量的减法向量
rrrr
a加上的b相反向量,叫做a与b的差。
ab=a+(b);
r—■-r
差向量的意义:
OA=a,OB=b,则BA=ab
3平面向量的坐标运算:
若a(x1,y1),b(x2,y2),则ab(x1x2,y1y2),
r[r
ab(xiX2,yiy?
),a(x,y)。
4向量加法的交换律:
a+b=b+a;
向量加法的结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
7.实数与向量的积:
实数入与向量a的积是一个向量,记作:
入a
(1)|入a|=|入||a|;
(2)入>0时入a与a方向相同;
入<0时入a与a方向相反;
入=0时入a=0;
(3)
运算定律入(a)=(入u)a,(入+^)a=入a+口a,入(a+b)=入a+入b
(x>o)
8向量共线定理向量b与非零向量a共线(也是平行)的充要条件是:
有且只有一个非零实数入,使b=入a。
9.平面向量基本定理:
如果ei,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向
量a,有且只有一对实数入1,入2使a=^1e1+入2e2。
(1)不共线向量q、e2叫做表示这一平面内所有向
量的一组基底;
(2)基底不惟一,关键是不共线;
(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进
*■*■
行分解;
(4)基底给定时,分解形式惟一.入1,入2是被a,e,e2唯一确定的数量。
—r—r—fc-—tr—fc-—*—fe-—fc-—r
10.向量a和b的数量积:
①a•b=|a|・|b|cos,其中€[0,n]为a和b的夹角。
②|b|cos
称为b在a的方向上的投影。
③a•b的几何意义是:
b的长度|b|在a的方向上的投影的乘积,是一个实数(可正、可负、也可是零),而不是向量。
④若a=(X1,y1),b=(x2,y),则a?
bX1X2y°
⑤运算律:
a•b=b•a,(入a)•b=a•(入b)=入(a•b),(a+b)•c=a•c+b•c。
b
⑥a和b的夹角公式:
cos'
X1X2y”2
...x12y1工
y2
a2|a12=x2+y2,或|a|=x2y2a⑧|
两向量平行、垂直的充要条件设a=(x1,y1),
a•b=0,aba?
b=x1x2+y1y2=0;
②a〃b
(a丰0)充要条件是:
有且只有一个非零实数入,使
a//b
x』2X2Y!
向量的平行与垂直的坐标运算注意区别,在解题时容易混淆。
12•点P分有向线段P1P2所成的比的
RP
PP2,
P内分线段rp2时,
0;
P
外分线段
PP2时,
0.定比分点坐标公式、中点坐标公式、三角形重心公式:
为X2
x
y%y2
X1X2
y
X2X3y1目2y)
四:
考点举例及配套课堂练习
(一)基础知识训练
1.下列命题正确的是
(例题讲解)
(A)单位向量都相等
(B)任一向量与它的相反向量不相等
2.
(C)平行向量不一定是共线向量(D)模为0的向量与任意向量共线
已知正六边形ABCDEF中,若ABa,FAb,则BC()
3.
4.
11
(A)尹b)(B)2(a
b)(C)ab(D』ab
已知向量e1
(A)0
若向量a(
0,R,a
(B)e20
e1
e2,b=2e1若向量a与b共线,则下列关系一定成立是
(C)e1//e2
(D)e1//e2或0
1,x),b(x,2)共线且方向相同,x=
(二)•典例分析
例1:
(1)设a与b为非零向量,下列命题:
①若a与b平行,则a与b向量的方向相同或相反;
(A)1个
(B)
2个
(C)3个
(D)4个
(2)
下列结论正确的是
()
r
rrrrrr
(A)
(B)<
a1:
(C)若(agD)c(cga)b0
(D)若a与b都是非零向量,则a
b的充要条件为aba
③若a与b共线,则ab
其中正确命题的个数有
ab;
④若a与b反向,贝Ua
错解:
(1)有学生认为①②③④全正确,答案为4;
也有学生认为①或④是错的,答案为2或3;
(2)A或
B或Co
学生对向量基础知识理解不正确、与实数有关性质运算相混淆,致使选择错误。
第(i)小题中,正确的应该是①④,答案为2。
共线向量(a与b共线)的充要条件中所存在的常数
可看作为向量b作伸缩变换成为另一个向量a所作的伸缩量;
若a,b为非零向量,则共线的a与b满
足a与b同向时a
ra-
r,a与b反向时a
rba-r-
第
(2)小题中,正确答案为(D)。
学生的错误多为与实数运算相混淆所致。
选择支D同时要求学生
明确向量垂直、两个向量的数量积、向量的模之间互化方法,并进行正确互化。
例2设a、b是两个不共线向量。
AB=2a+kbBC=a+bCD=a-2b
AB、D共线则k=(k€R)
BD=BC+CDr+b+a-2b=2a-b2a+kb=入(2a-b)=2入a-入b2=2入且k=-入k=-1
例3梯形ABCD且|AB|=2|DC|,M、N分别为DCAB中点。
AB=aAD=b用a,b来标DCBCMN
解:
DC=丄AB=-aBC=BD+DC=(AD-AB)+DCb-a+-a=b--MN=DN-DM=a-b--a=-a-b
22
244
例4
|a|=10b=(3,-4)且a//b求
设a=(x,y)则x+y=100
(1)由a/b得
-4x-3y=0
解
(1)
(2)得x=6y=-8
o或x=-6y=8/■
a=(6,-8)
或(-6,8)
五.归纳小结
1.向量有代数与几何两种形式,要理解两者的内在联系,善于从图形中发现向量间的关系。
2.对于相等向量,平行向量,共线向量等概念要区分清楚,特别注意零向量与任何向量共线这一情况。
要善于运用待定系数法。
课堂练习
1、下列命题正确的是()
A若|a|0,则a
B
.若|a||b|,则a
b或a
C.若a||b,则|a|
|b|
D
.若a0,则a
f
2、已知平行四边形ABCD勺三个顶点A(2,1)、B(1,3)、C(3,4),则顶点D的坐标为()
A(1,2)
(2,2)C.(2,1)D.(2,2)
3、设|a|m(m0),与a反向的单位向量是b0,则a用b0表示为
A.amb0b.amb0c.ab0d.ab0
mm
4、DE、F分别为ABC的边BCCAAB上的中点,且BCa,CAb,下列命题中正确命题的个数是()
①AD
1-a
b;
②BE
-1.ab
占③CF
1■1.ab;
④AD
BE
CF
0。
A.1个
.
C.
3个D
.4个
5、化简:
CE
AC
DE
aD=
o
6、已知向量a3,b(1,2),且ab,则a的坐标。
7、若a21,b22,aba0,则a与b的夹角为
8、已知向量a3e12§
2,b4e1e2,其中e1(1,0),e2(0,1)
求
(1)ab;
ab的值;
(2)a与b的夹角。
9、如果向量a与b,c的夹角都是60,而b
c,且|占||b||c|1,求(a2c)?
(bc)的值。
t,OA
a,OBb,OCc,试用a,b,
10、如图,设O为ABC内一点,PQ//BC,且匸竺
BC
c表示OP,OQ.
/6駅
3U5、
/6/5
D,B,B,D
5,0;
6,
(——,—
一),
(—一
一)
5
7,450,8
(1)a?
b=10,
ab=5屈
=arccos
10
>
■'
'
221
9,-110,
OP=(1-t)a+tb
OQ=(1-t)
a+tc
《平面向量》测试题
、单项选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
2.下列命题中:
①若a与b互为负向量,则a+b=0;
②若k为实数,且k•a=0,贝Ua=0或k=0:
③若a•b=0,则a=0或b=0;
④若a与b为平行的向量,贝Ua•b=|a||b|;
⑤若|a|=1,则a=±
1.其中假命题的个数为()
4.设|a|=1,|b|=2,且a、b夹角120°
则|2a+b|等于()
5.已知△ABC的顶点坐标为A(3,4),B(—2,-1),C(4,5),D在BC上,且,贝UAD的长为()
6.已知a=(2,1),b=(3,入),若(2a—b)丄b,则入的值为()
A.3
B.—1
C.—1或3
D.—3或1
7.向量a=(1,
—2),|b|=4|a|,且a、
b共线,则b可能是
()
A.(4,8)
B.(—4,8)
C.(—4,—8)
D.(8,4)
8.已知△ABC中,
则a与b的夹角为
A.30°
B.—150°
C.150°
D.30°
或150°
b个单位(a>
0,b>
0).设点P(a,b)
D.(00)
10•将函数y=f(x)的图象先向右平移a个单位,然后向下平移在y=f(x)的图象上,那么P点移动到点()
A.(2a0)B.(2a2b)C.(02b)
二、填空题(本大题共4小题每小题4分共16分)
13.向量a=(2k+3,3k+2)与b=(3,k)共线,贝Uk=.
15.向量a=(1,1),且a与(a+2b)的方向相同,贝Ua•b的取值范围是
三、解答题(本大题共6小题共74分)
17.(本小题满分12分)
设O为原点,,试求满足的的坐标.
18.(本小题满分12分)
设和是两个单位向量夹角是60°
试求向量和的夹角.
19.(本小题满分12分)已知与的夹角为40°
求与的夹角
(长度保留四位有效数字,角度精确到’)
1.C2.C3.B4.A5.C6.C7.B8.C9.A10.A11.C12.C
故0=120°
三角函数题解
1.(2003上海春,15)把曲线ycosx+2y—1=0先沿x轴向右平移—个单位,再沿y轴向下平移1个
单位,得到的曲线方程是()
A.(1—y)sinx+2y—3=0
C.(y+1)sinx+2y+仁0
1.答案:
C解析:
将原方程整理为:
B.(y—1)sinx+2y—3=0
D.—(y+1)sinx+2y+仁0
1个单位,因此可得
y=—
y=
2cosx
因为要将原曲线向右、向下分别移动
—1为所求方程.整理得(y+1)sinx+2y+仁0.
—个单位和
2cos(x)
.如果对平移有深刻理解,可直接化
评述:
本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式
为:
(y+1)cos(x—)+2(y+1)—仁0,即得C选项.
2.(2002春北京、安徽,5)若角a满足条件Sin2a<
0,cosa—Sina<
0,则%在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
答案:
B解析:
sin2a=2sinacosa<
0二sinacosa<
0
即sina与cosa异号,a在二、四象限,又COSa—Sina<
0•••cosa<
sina由图4—5,满足题意的角a应在第二象限
3.(2002上海春,14)在厶ABC中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC的形状
一定是()
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
3.答案:
C解析:
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A—B)又t2sinAcosB=sinC,
--sin(A—B)=0