最新六年级下册数学知识点文档格式.docx
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不同点
底面
侧面
圆柱
圆
曲面
2个
无数条
圆锥
1个
1条
注：
小学阶段学的圆柱和圆锥分别是直圆柱和直圆锥，直圆柱的上下粗细一样；
直圆锥沿它的高垂直于底面进行切割，切面是两个完全相同的等腰三角形。
观察圆柱时从正面和侧面看到的形状一样，都是长方形，上下边是圆柱的底面直径，左右边是圆柱的的高；
观察圆锥时从正面和侧面看到的形状一样，都是三角形，下边是圆锥的底面直径，左右边是圆锥的母线。
要求：
掌握圆柱体和圆锥体的特点，能作出圆柱、圆锥的高，理解沿长方形的一条边旋转一周得到的是一个圆柱体，沿直角三角形的一条直角边旋转一周得到的是圆锥体。
二、圆柱的表面积
圆柱的表面积指的是圆柱的侧面与两个底面积的和。
求圆柱的表面积就是侧面积与两个底面积的和
1、圆：
圆的周长=πD=2πR
圆的面积=πr
一个圆的半径是4厘米，它的周长和面积分别是多少？
C=2πR=π×
4×
2=25.12（厘米）
S=πr
=π×
4=50.24（平方厘米）
提示：
圆的面积及周长计算是圆柱表面积计算的基础
2、圆柱侧面积
圆柱的侧面积指的是圆柱曲面的面积
把一个圆柱沿高剪开得到的是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，长方形的面积就是圆柱的侧面积，长方形的面积=长×
宽，所以圆柱的侧面积=底面周长×
高。
同样把一个圆柱的侧面沿斜边剪开得到的是一个平行四边形，这个平行四边形的底等于圆柱的底面周长，平行四边形的高等于圆柱的高，平行四边形的面积就是圆柱的侧面积，所以圆柱的侧面积=底面周长×
S侧=πdh或S侧=2πrh
3、圆柱的表面积
S表=S侧+2S底
=2πrh+2πr
要求：
能运用公式熟练的计算圆柱体物体的侧面积和表面积，能根据实际情况灵活运用公式解决实际问题
4、例题分析
1、练p5第5题
S侧=πdh=28π×
18=1582.56（平方厘米）
（1）28×
4+18×
4=184（厘米）184+25=209（厘米）
扎蛋糕盒要用多少彩绳，就是求4个高和4个底面直径以及打结处25厘米彩绳的总长，做题时要结合图意。
2、练p6第5题
压路机的滚筒是一个圆柱，长1.8米，底面直径1.2米。
滚筒滚动一周能压路面多少平方米？
压路机的滚筒滚动一周压路的面积是圆柱的侧面积，路面的宽是滚筒的长，路面的长是滚筒的底面周长。
压路面积=1.2π×
1.8=2.16π=6.7872（平方米）
延伸：
如果从一条马路的一端压倒另一端，共滚动了350周。
这条马路有多长？
压过的路面有多少平方米？
滚筒滚动一周压路的长度就是滚筒的底面周长，滚筒共滚动350周，长度就是底面周长乘350。
马路的长度=1.2π×
35=4203.14（米）
马路的面积=4203.14×
1.8=7565.652（平方米）
3、一个圆柱高8厘米，截下2厘米长的一段后，圆柱的表面积减少了25.12平方厘米。
求原来圆柱的表面积。
画图可知，圆柱体表面积减少的部分就是截下2厘米长的圆柱的侧面积，由截下的侧面积和长2厘米可求出圆柱的底面直径，从而进一步求出圆柱体的表面积
25.12÷
2÷
π=4（厘米）
S底：
π×
4=16π（平方厘米）S侧：
π×
2×
8=64π（平方厘米）
S表：
64π+16π×
2=96π=301.44（平方厘米）
4、有一根圆柱形木棒，直径是10厘米，高是20厘米。
沿着直径锯成相等的两块，求每块的表面积是多少？
由图可知：
锯开后的每半块图形包括4个面（上下两个半圆，一个长方形的截面和半个侧面）
10×
20=200（平方厘米）π×
5×
5=25π（平方厘米）π×
20÷
2=100π（平方厘米）
200+25π+100π=592.5（平方厘米）
圆柱切开后，会增加两个横截面的面积，沿底面直径切增加的是两个长方形，沿底面圆切增加的是两个圆面。
5、一个没有盖的圆柱形水桶，高24厘米，底面直径是20厘米，做两个这样的铁皮水桶至少需要铁皮多少平方厘米（接口处不计，得数保留整百平方厘米）
没有盖的圆柱形水桶，只有两个面一个侧面和一个下底面。
另外在用材料做物体选择近似数时应用进一法。
S侧=π×
24×
20=480π（平方厘米）S底：
10=100π（平方厘米）
480π+100π=580π=1821.2（平方厘米）1821.2×
2=3642.2≈3700（平方厘米）
备注：
烟囱、水管等圆柱体只有一个侧面，无盖水桶只有侧面和一个底面。
在求圆柱表面积的时候，并不是所有的圆柱都包含一个侧面和两个底面，要根据物体的实际情况，有针对性的进行解决。
三、圆柱的体积
一个圆柱所占空间的大小，叫作圆柱的体积
长方体体积=底面积×
高
圆柱体积=底面积×
即：
V=sh
已知底面积和高，可用公式：
V=sh已知底面半径和高，可用公式：
V=πr
h
已知底面直径和高，可用公式：
V=π（
）
h已知底面周长和高，可用公式：
四、圆锥的体积
体积公式
一个圆锥所占空间的大小，叫作圆锥的体积
圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的
圆锥的体积=底面积×
高×
，即：
V=
sh
掌握圆柱、圆锥体积公式的推导过程，能灵活的运用圆柱、圆锥的体积公式解决相关实际问题。
（二）习题讲解
1、练p9第4题
P9.把一个长、宽、高分别是10CM、8cm、9cm的长方体削成一个最大的圆柱，削去部分的体积是多少立方厘米？
削成的圆柱共有三种情况：
第一种以长方体上下面为圆柱底面即r=4,h=9第二种以长方体左右面为圆柱底面即r=4.5,h=8，第三种以长方体前后面为圆柱底面即r=4,h=10。
很明显第三种情况的体积大于第一种，因而只要比较第二种和第三种情况。
4.5×
8=162π（立方厘米）π×
10=160π（立方厘米）
162π﹥160π8×
9×
10—162π=211.32（立方厘米）
2、练p10第4题
某儿童玩具厂生产的积木中，有一种如右图形状的积木，做这样的一个积木，要用木料多少立方厘米？
如果在积木的表面涂上油漆，涂油漆部分的面积有多少平方厘米？
这个积木是圆柱形的一半，它的高是10厘米，底面直径是5厘米。
求要用多少立方厘米实际上是在求它的体积，也就是圆柱体积的一半；
求涂油漆部分的面积有多少平方厘米，要弄清共涂了几个面，圆柱体的一半共有四个面即两个半圆形的底面，半个侧面和一个长方形的横截面。
2.5×
10=62.5π（立方厘米）62.5π÷
2=98.125（立方厘米）
5π×
10÷
2=25π（平方厘米）π×
2.5=6.25π（平方厘米）
10=50（平方厘米）25π+6.25π+50=148.125（平方厘米）
3、练p15第6题
把一个圆锥沿着高切开，得到两个如下图所示的物体，截面的面积是18平方厘米。
如果原来圆锥的高是6厘米，它的底面积是多少平方厘米？
体积是多少立方厘米？
把圆锥沿高向下切开，得到的横截面是三角形，这个三角形的底就是圆锥的底，三角形的高就是圆锥的高。
列式;
18×
6=6（cm）6÷
2=3（cm）π×
3×
6×
=56.52（立方厘米）
4、一个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长15米，截面是一个半径2米的半圆形。
（1）搭建这个大棚大约要用多少平方米塑料薄膜？
（2）大棚内的空间大约有多大？
塑料薄膜蔬菜大棚是一个典型的圆柱体的一半，求覆盖的塑料薄膜有多少，就是求半个侧面和两个半圆的面积。
求大棚的空间就是求圆柱体体积的一半。
两个半圆面积：
2=4π（平方厘米）半个侧面的面积π×
15×
4÷
2=30π（平方厘米）
4π+30π=34π=106.76（平方厘米）
4π×
15÷
2=30π=94.2（立方厘米）
5、一个圆锥形沙堆，底面积是24平方米，高是1.2米。
用这堆沙子去填一个长7.5米、宽4米的长方形沙坑，沙坑的沙子厚度是多少厘米？
这是一道典型的等积变形的习题，把圆锥体沙堆铺在沙坑中，沙子的体积不变，形状由圆锥体变成了长方体。
对于这样的习题我们通常用方程解答。
7.5×
x=24×
1.2×
0.32米=32厘米
x=0.32
（三）拓展延伸：
4cm
1、把一个长方形沿宽3cm的边旋转一周，旋转后得到黄色图形的体积是多少？
红色图形的体积是多少？
把长方形旋转一周得到的是一个圆柱体，直角三角形沿直角边旋转一周
得到的是一个圆锥体，用圆柱体的体积减去红色圆锥体的体积就是黄色图形的体积。
圆柱体积:
3=48π（立方厘米）
红色圆锥的体积：
=16π（立方厘米）
黄色图形的体积：
48π-16π=32π（立方厘米）
2、在一个长3分米，宽2分米，高1分米的纸箱中，放入地面直径是厘米，高是5厘米的圆柱形易拉罐，一共能放多少罐？
在长方体纸箱中放入易拉罐，先要计算出一排能放多少罐，再算出一层有几排？
这几排一共有多少罐？
最后算出一共能放多少罐？
一排放的灌数：
30÷
6=5（罐）
一层能放的排数：
6=3（行）……2
一层放的灌数：
5=15（罐）
纸箱能放的层数：
5=2（层）
一共能放的灌数：
2=30（罐）
3、如下图在一张长20.7cm的长方形纸中做一个圆柱体，这个圆柱体的体积是多少立方米？
这个长方形的长等于圆柱的底面周长+直径，即20.7=d+πd,长方形的宽就是这个圆柱的高,即2d..
（d+πd）=20.7d=20.7÷
4.14=5π×
（5+5）=785（立方厘米
第三章选择合适的策略解决问题
1、基本策略：
从条件想起（综合法），从问题想起（分析法）
例：
运来香蕉180千克，运来苹果是香蕉的
，运来的梨比苹果的
多10千克，运来梨多少千克？
香蕉180千克苹果是香蕉的
求出苹果的重量梨比苹果的
多10千克
求出梨的重量
180×
×
+10=20（千克）
回顾：
从条件想起的策略是看题目中给了哪些条件，由其中的两个条件可解决什么问题，然后把解决的新问题当作已知条件和题中未用的条件再组合最总解决问题。
要想求出梨的重量
由梨比苹果的
多10千克必须先求出苹果的重量
由苹果是香蕉的
要知道香蕉的重量
列式：
2、常见的策略：
列表、画图、一一列举、转化、假设
（1）列表：
当题目中的信息量比较大，不容易找到对应的量从而不便于分析找到数量关系式时，可利用列表的策略。
列表时要注意对应的量列在同一列或同一行中，以便于找出数量关系式。
（2）画图：
当题目中的数量关系比较复杂，不容易看清题目中的数量关系式时，可利用画图的策略。
画图时应在图中标清条件和问题，应依据习题画线段图或画示意图。
（3）一一列举
当题目中出现的结果是多样的，可以采取一一列举的策略把所以的结果呈现出来。
列举是要注意做到有序、不重复。
（4）转化
把未知的转化为已学过的知识，是转化策略的精髓所在。
如以前学的异分母分数加减法、小数加减法；
平行四边形、三角形等图形面积公式的推导…
（5）假设（替换）
例1、小明把720毫升果汁倒入6个相同的小杯和1个大杯，正好都倒满。
大杯的容量是小杯3倍。
每个小杯和大杯的容量各是多少毫升？
思路一：
全部看成小杯
思路二：
全部看成大杯
解法一：
1×
3=3（个）6+3=9（个）720÷
9=80（毫升）80×
3=240（毫升）
解法二：
6÷
3=2（个）2+1=3（个）720÷
3=240（毫升）240÷
3=80（毫升）
检验：
240+80×
6=720（毫升）240÷
80=3
答：
…
例2、小明把720毫升果汁倒入6个相同的小杯和1个大杯，正好都倒满。
大比小杯多装160毫升。
总量减少了160毫升
总量增加了160×
6
720-160=560（毫升）560÷
7=80（毫升）80×
720+160×
6=1680（个）1680÷
7=240（毫升）240÷
6=720（毫升）240-80=160答：
比较区别：
例1大杯和小杯成倍数关系，例2大杯和小杯成相差关系。
例1把大杯看成小杯或小杯看成大杯，杯子的数量发生了变化，但总量不变。
例2把大杯看成小杯或小杯看成大杯，总量发生了变化，但杯子的数量不变。
（6）选择策略解决问题
全班42人去公园划船，一共租用了10只船。
每只大船坐5人，每只小船坐3人。
租用大船和小船各有几只？
方法一：
假设再调整：
大船只数
小船只数
总人数
与42人比较
调整
5
5+5×
3=40
少了2人
小船改大船
4
5+4×
3=42
刚好
（5-3）=1
方法二：
列举
10
5=50
多了6人
9
1
5+1×
3=48
8
2
8×
5+2×
3=46
多了4人
7
3
7×
5+3×
3=44
多了2人
方法三：
画图：
（略）
6+4=10（条）6×
3=42（人）
提醒：
在使用不同的策略解题时，你认为哪种策略，使用起来最有效、最得心应手，你就使用这样的策略，此外我们还可以综合运用几种策略，让解题更简便。
做完后为了确保准确一定要检验。
2、在12张球桌上同时进行乒乓球比赛，双打的比单打的多6人。
进行双打和单打比赛的乒乓球桌的各有几张？
把一个双打调整为一个单打双打人数将和单打人数相差6人，
假设再调整：
双打球桌数
单打球桌数
相差人数
与6人比较
4-6×
2=12
少了6人
双打改单打
4-7×
4=6
（12-6）=1
3、练p18第4题
王小江有三本集邮册，第三本的邮票枚数是第一本的2/3，是第二本的4/7.如果第一本的邮票比第二本少8枚，这三本邮票各有多少枚？
（转化法）
由题意可知
第三本邮票枚数：
第一本邮票枚数=2:
第二本邮票枚数=4:
第二本邮票枚数：
第一本邮票枚数=4:
6:
8÷
（7-6）=8（枚）4×
8=32（枚）6×
8=48（枚）7×
8=56（枚）
（假设法）
由习题中第三本的邮票枚数是第一本的2/3，是第二本的4/7.，设第三本邮票的枚数为x,则第一本有3/2x,第二本有7/4x.
7/4x-3/2x=8
4、练p21第7题
一种圆珠笔有3支装和5支装两种规格。
李老师要买38支圆珠笔，可以分别购买两种规格的各几盒？
一共有几种不同的选择方法？
在下表中列举找到答案。
要求买的3支装和5支装的应是整盒数，
5支装的盒数
3支装的盒数
11
38
补充相关例题
（1）
王阿姨在百货商店花385元买上衣、裤子和裙子各一件。
已知上衣比裤子贵58元，裤子比裙子贵24元。
你能算出上衣、裤子和裙子每件各要多少元吗？
？
358-（58+24）-24=252（元）252÷
3=84（元）
84+24=108（元）108+58=166（元）
相差关系的画线段图时，一般先画数量少的再画数量多的，解题时先假设三件都是裙子，这样总价就要连续减去24和82。
用变化后的总价除以3就得到一件裙子的价钱。
（2）6梨个的价钱可以买4个芒果，6个芒果的价钱可以买4个苹果。
18个梨的价钱可以买多少个苹果？
6个梨能买4个芒果，那么18个梨就应该能买12个芒果。
6个芒果的价钱可以买4个苹果，那么12个芒果就应该能买8个苹果。
所以18个梨的价钱可以买12个苹果。
18÷
6=33×
4=12（个）12÷
6=22×
4=8（个）
第四章：
比例
第一节：
图形的放大和缩小：
放大或缩小前后的图形与原来的图形相比，大小变了，形状没有变。
把一个图形按a:
1（a≥1）的比放大，就是指放大后的图形的边长是原来的a倍。
把一个图形按1:
a（a≥1）的比缩小，就是指缩小后的图形的边长是原来的
。
例题分析：
按2:
1的比画出三角形放大后的图形
按1:
2的比画出梯形缩小后的图形
把直角三角形放大或缩小，通常放大或缩小两条直角边，把梯形放大或缩小通常放大或缩小上底、下底和高。
第二节比例的意义及基本性质
意义：
表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数叫做比例的项，中间的两项叫比例的内项，两端的两项叫做比例的外项。
基本性质：
两个外项的积等于两个内项的积
A:
B=C:
DAD=BC
如果比例是分数形式，等号两端的分子和分母分别交叉相乘，它们的积相等
判断两个比是否成比例的方法：
第一种求出两个比的比值，如果比值相等，就可以组成比，第二种方法看内项积是否等于外项积。
比与比例的区别
意义
各部分的名称
比
表示两个数相除
前项：
后项
表示两个比相等的式子叫做比
比例两端的是外项，中间的是内项
1、4x=3y,那么x:
y=（3）:
（4）
那么a×
（7）=b×
（4）
填空时看清哪两个数属于内项和外项，然后依据比例的基本性质填空
2、在比例4:
15=8:
30中，如果第一个比的后项增加5，那么第二个比的前项应该怎样变化才能使才能是比例成立。
第一个比的后项增加5，这时比值是4:
20=
，要想比例成立那么第二个比的比值也应该是
.
列式：
30×
=6,8-6=2，所以第二个比的前项应该减少2.
第三节：
解比例
求比例中的未知项叫作解比例
X：
0.5=28：
14
在比例中两个内项积等于外项积，因此得到14x=28×
0.5
解14x=28×
0.5……依据比例的基本性质
14x=14
X=1
解3.6x=2.4×
0.6……依据比例的基本性质
3.6x=1.44
X=0.4
解比例首先运用比例的基本性质（分清内项、外项）写出内项积等于外项积的方程式，然后在解等式，最后要求验算。
第四节比例尺的意义
图上距离与实际距离的比叫作比例尺，注意单位统一
比例尺的前项表示图上距离，后项表示实际距离，为了计算方便，通常写成前项后项是1的比。
比例尺的形式：
数值比例尺、线段比例尺
表示图上1厘米相当于实际10米，
化成数值比例尺1厘米：
10米=1：
1000
将线段比例尺化成数值比例尺要特别注意单位的统一。
实际距离=图上距离÷
比例尺或实际距离=图上距离×
1厘米表示的实际距离
图上距离=实际距离×
比例尺或图上距离=实际距离÷
理解比例尺的意义，能根据比例尺的意义灵活地求出图上距离和实际距离
在比例尺是1：
5000000的地图上量得上海到北京的距离是21厘米，上海到北京的实际距离大约是多少千米。
依据比例尺=
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