第二章 213214 空间中直线平面与平面之间的位置关系Word格式.docx

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有无数个公共点（在一条直线上）

符号表示

α∥β

α∩β＝l

1.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行.（　×

　）

2.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行.（　×

3.若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.（　×

4.若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行.（　×

题型一　直线与平面的位置关系

例1　

（1）若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是（　　）

A.直线上所有的点都在平面外

B.直线上有无数多个点都在平面外

C.直线上有无数多个点都在平面内

D.直线上至少有一个点在平面内

（2）下列四个命题中正确命题的个数是（　　）

①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；

②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；

③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；

④如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α.

A.0B.1C.2D.3

考点　空间中直线与平面之间的位置关系

题点　空间中直线与平面之间的位置关系的应用

答案　

（1）B　

（2）B

解析　

（1）直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外.

（2）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；

AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；

③中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即③正确；

④显然不正确，故选B.

反思感悟　在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于作出正确判断，避免凭空臆断.

跟踪训练1　

（1）若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（　　）

A.α内的所有直线都与直线a异面

B.α内不存在与a平行的直线

C.α内的直线都与a相交

D.直线a与平面α有公共点

答案　D

解析　直线a不平行于平面α，则a与平面α相交或a⊂α，故选D.

（2）下列说法：

①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；

②若直线a在平面α外，则a∥α；

③若直线a∥b，b⊂α，则a∥α；

④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线.

其中正确的个数为（　　）

A.1B.2C.3D.4

答案　A

解析　对于①，∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α，①错误；

对于②，∵直线a在平面α外包括两种情况：

a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行，②错误；

对于③，直线a∥b，b⊂α，只能说明a和b没有公共点，a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，③错误；

对于④，∵a∥b，b⊂α，那么a⊂α或a∥α，a与平面α内的无数条直线平行，④正确.

题型二　平面与平面的位置关系

例2　在以下三个命题中，正确的命题是（　　）

①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；

②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；

③在平面α，β内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面平行或相交.

A.①②B.②③C.③D.①③

考点　平面与平面之间的位置关系

题点　平面与平面之间的位置关系判定

答案　C

解析　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①，平面AA1D1D中，AD∥平面A1B1C1D1，分别取AA1，DD1的中点E，F，连接EF，则EF∥平面A1B1C1D1，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题①错；

对于②，平面AA1D1D中，与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直线A1D1，故命题②错.命题③是正确的，故选C.

反思感悟　利用正方体（或长方体）这个“百宝箱”能有效地判定与两个平面的位置关系有关命题的真假，另外先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置关系的有效方法.

跟踪训练2　已知两平面α，β平行，且a⊂α，下列四个命题：

①a与β内的所有直线平行；

②a与β内无数条直线平行；

③直线a与β内任何一条直线都不垂直；

④a与β无公共点.

其中正确命题的个数是（　　）

考点　线、面关系的综合问题

题点　线、面关系的其他综合问题

答案　B

解析　①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面；

②正确；

③中直线a与β内的无数条直线垂直；

④根据定义a与β无公共点，正确.

直线与面位置关系图形的画法

典例　如图所示，G是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线.

（1）过点G及AC；

（2）过三点E，F，D1.

解　

（1）画法：

连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；

连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线.如图①所示.

（2）画法：

连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；

连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；

连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线.如图②所示.

[素养评析]　

（1）直线与平面位置关系的图形的画法

①画直线a在平面α内时，表示直线a的线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形外.

②画直线a与平面α相交时，表示直线a的线段必须有部分在表示平面α的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开，又具有较强的立体感.

③画直线a与平面α平行时，最直观的画法是用来表示直线a的线段在表示平面α的平行四边形之外，且与此平行四边形的一边平行.

（2）画图和用图都需要借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，是培养学生直观想象的数学核心素养的良好素材.

1.若M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有（　　）

A.l∥aB.l⊂α

C.l与α相交D.以上都有可能

2.若两个平面相互平行，则分别在这两个平面内的直线的位置关系是（　　）

A.平行B.异面

C.相交D.平行或异面

3.下列说法中正确的是（　　）

A.两个平面可以只有一个交点

B.一条直线与一个平面最多有一个公共点

C.两个平面有一个公共点，则它们相交或重合

D.两个平面有三个公共点，它们一定重合

解析　两平面有公共点，包括两平面重合或相交.

4.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为（　　）

A.平行B.直线在平面内

C.相交或直线在平面内D.平行或直线在平面内

题点　空间中直线与平面之间的位置关系的判定

5.若三个平面两两相交，则它们交线的条数为________.

答案　1或3

解析　若三个平面两两相交，有可能交于一条直线，也有可能出现3条不同的交线.

1.弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析.

2.长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何中的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映.因而人们给它以“百宝箱”之称.

一、选择题

1.直线在平面外是指（　　）

A.直线与平面没有公共点

B.直线与平面相交

C.直线与平面平行

D.直线与平面最多只有一个公共点

解析　直线与平面的位置关系为：

平行、相交、在平面内，其中平行和相交通称为直线在平面外，所以直线与平面最多只有一个公共点.

2.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（　　）

A.一条直线不相交B.两条直线不相交

C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交

解析　直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点.

3.三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是（　　）

A.相交B.平行

C.直线在平面内D.平行或直线在平面内

解析　延长各侧棱可恢复成棱锥的形状，所以三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.

4.棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是（　　）

A.平行B.相交

C.平行或相交D.无法确定

解析　∵棱柱的所有侧棱所在的直线平行，∴棱柱的一条侧棱所在直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是平行.故选A.

5.若平面α与β的公共点多于两个，则（　　）

A.α，β可能只有三个公共点

B.α，β可能有无数个公共点，但这无数个公共点不在一条直线上

C.α，β一定有无数个公共点

D.以上均不正确

解析　若平面α与β的公共点多于两个，则平面α与β相交或重合，故C项正确.

6.若平面α∥平面β，l⊂α，则l与β的位置关系是（　　）

A.l与β相交B.l与β平行

C.l在β内D.无法判定

考点　空间中直线与直线的位置关系

题点　空间中直线与直线的位置关系判定

解析　∵α∥β，∴α与β无公共点.

∵l⊂α，∴l与β无公共点，∴l∥β.

7.两条相交直线a，b都在平面α内且都不在平面β内，且平面α与β相交，则a和b（　　）

A.一定与平面β都相交

B.至少一条与平面β相交

C.至多一条与平面β相交

D.可能与平面β都不相交

解析　设α∩β＝c，

若直线a，b都不与β相交，

则a∥c，b∥c，

∴a∥b，这与直线a，b相交矛盾，

故直线a，b中至少一条与β相交.

8.若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则下列结论成立的是（　　）

A.α内的所有直线与m都异面

B.α内的所有直线与m都相交

C.α内存在唯一的直线与m平行

D.α内不存在与m平行的直线

解析　若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则线面相交，所以α内的直线与直线m的位置关系是相交或者异面，不可能平行，故选D.

二、填空题

9.已知下列说法：

①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；

②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；

③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面；

④若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交.

其中正确的序号是____________.

答案　③

解析　①错，a与b也可能异面；

②错，a与b也可能平行；

③对，∵α∥β，∴α与β无公共点，又∵a⊂α，b⊂β，∴a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面；

④错，a与β也可能平行.

10.若点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的位置关系是________.

答案　相交

解析　∵点A∈α，B∉α，C∉α，

∴平面ABC与平面α有公共点，且不重合，

∴平面ABC与平面α的位置关系是相交.

11.互不重合的三个平面最多可以把空间分成________个部分.

答案　8

解析　互不重合的三个平面将空间分成五种情形：

当三个平面互相平行时，将空间分成四部分；

当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分；

当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分；

当三个平面相交于三条直线时，且三条交线交于同一点时，将空间分成八个部分；

当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分.即不重合的三个平面可以将空间分成四部分或六部分或七部分或八部分.所以最多将空间分成8部分.

三、解答题

12.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？

解　B1D1在平面A1C1内，B1D1与平面BC1，AB1，AD1，CD1都相交，B1D1与平面AC平行.

13.如图，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？

证明你的结论.

解　平面ABC与平面β的交线与l相交.

证明如下：

∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，

∴AB与l是相交直线.

设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l.

又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，

∴P∈平面ABC且P∈平面β，

即点P是平面ABC与平面β的一个公共点，

而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点，

又∵P，C不重合，

∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线，

即平面ABC∩平面β＝直线PC，而直线PC∩l＝P，

∴平面ABC与平面β的交线与l相交.

14.若a，b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________.

答案　b⊂α，b∥α或b与α相交

解析　b与α有如下情况：

15.已知a，b是两条直线，α是一个平面，a∥b，a∩α＝P.求证：

b与α相交.

证明　∵a∥b，∴a和b可以确定一个平面，不妨设这个平面为β.

∵a∩α＝P，∴P∈a且P∈α，∴P∈β.

从而点P是平面α与平面β的一个公共点，由此可知平面α与平面β相交于过点P的一条直线.设α∩β＝c，则c⊂α.在平面β内，a∥b，a∩c＝P，则b与c也相交.

设b∩c＝Q，则Q∈b，Q∈c，∴直线b与平面α有一个公共点Q.故直线b与平面α相交.