1412 函数教案定稿Word文档格式.docx
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教具与学具
多媒体设备、自制PPT课件、
问题与情境
师生活动
设计意图
活动1.
（一）复习旧知，引出课题
上节课我们学习了常量和变量，请你举出生活中一些变化的实例，并指出其中的常量和变量。
客观世界中存在着大量的变量，为了更深刻地认识千变万化的世界，人们经归纳总结得出一个重要的数学工具，用它来描述变化中的数量关系及变化规律，今天我们就一起来认识一下这个奇妙的工具---函数。
学生思考问题并回答问题。
板书：
14.1.2函数
让学生举出生活中变化的实例，使学生意识到数学与生活密不可分。
通过复习常量和变量，为研究函数的概念做好铺垫.
（二）探索研究，形成概念
活动2.指出下列问题中的变量并回答问题。
1.设圆的面积为s，半径为r，
（1）问题中有哪几个变量？
怎样用含半径r的式子来表示面积s呢？
（2）分别求出当r=1，r=4时s的值。
（变量:
半径r,面积s，s=
）
半径r=1时，s=
，r=4时，s=
。
（3）每给定r的一个值时，s的值会怎样？
每给定r的一个值时，s的值会唯一确定。
2.经调查发现，没拧紧的水龙头每秒滴水量为0.1毫升，
写出流失的水量y（毫升）与时间x（秒）的关系。
时间x，流失的水量y，y=0.1x,）
（2）求出x=10秒,x=3600秒的流失水量。
x=10时，y=1；
x=3600时，y=360；
（3）每给定x的一个值时，y的值会怎样？
每给定x的一个值时，y的值会唯一确定。
3.下面是初二
（1）班同学一次数学测试中的成绩登记表：
（1）表中有哪几个变量？
（学号，成绩）
（2）13号的成绩为__76____；
15号的成绩为_80__；
16号的成绩为80_；
23号的成绩为__93___．
（3）每给定一个学号时，
成绩的值会怎样？
每给定r的一个值时，
s的值会唯一确定。
4.某地一天内的气温变化情况．
（1）．图中有哪些变量？
变量间有怎样的关系？
（时间t时，温度T°
C，当时间发生变化时，温度也随着发生变化）
（2）．求出当t=6时,t=14时的温度。
（-1°
C，5°
C）
（3）每给定t的一个值时，T的值会怎样？
问题：
通过以上几个问题，你有何发现？
----这些问题中变量间关系有哪些共同特点？
归纳：
（每个问题中都有两个变量，两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量有唯一确定的对应值）
共同点：
它们都是一个变化的过程，在这个变化过程中有两个变量，一个量随着另一个量的变化而变化，它们之间存在一个确定的依赖关系。
不同点：
这些确定的依赖关系表达的方式不同，有数学关系式、有表格、有图形，我们把这些确定的依赖关系都称为函数关系。
1．函数的定义：
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
你能否找出定义中的关键词语？
（你是怎样理解它们的意思的？
）
针对上述4个问题，分别指出它们的自变量和函数。
2.如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量为a时的函数值。
函数和函数值之间的区别。
（函数是变量，如：
y=2x,y是可以随x的变化而变化的量，变量y是变量x的函数；
而函数值是变量所取得某个具体的数值。
如当x=-2时，该函数y=2x的函数值等于-4，而当x=2时，函数y=2x的函数值式是4.）
学生思考并回答问题，
教师及时反馈。
小组讨论：
教师引导学生进行归纳函数的定义
定义突出变化与对应有两层含义：
（1）两个变量互相联系，一个变量变化，另一个变量也发生变化；
（2）函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的。
通过几个生活中常见问题的思考与分析，使学生感受函数概念是两个变量间互相依赖关系.
活动中安排了图像和表格内容，目的在于展现变量间单值对应的不同形式使学生对函数概念有较全面的认识。
使学生适应从具体到抽象的转化。
理解函数概念的内涵之一：
运动与变化
学生自己归纳总结，让学生经历概念形成的过程，完成对函数概念内涵的完整认识.
（三）运用反例，促进认识
活动3
练习：
下列关系中哪些y是x的函数？
那些不是，为什么？
（1）
解：
A,B
（2）y=x3,
（3）︱y︱=x
（4）成绩是学号的函数吗？
学号是成绩的函数吗？
通过题目辨析，使学生充分认识函数的定义，加深对函数的认识。
（四）举例分析，深化定义
活动4
例1一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（L）随行驶里程x（km）的增加而减少，平均耗油量为0．1L/km．
（１）写出表示y与x的函数关系式，这样的式子叫做函数解析式.
（２）指出自变量x的取值范围．
（３）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？
板书过程：
（1）解：
行驶里程x时耗油为：
0.1x；
油箱中剩余油量为：
50-0.1x，所以函数关系式为：
y=50-0.1x.
（２）仅从式子y=50-0.1x上看，x可以取任意实数，但是考虑到x代表的实际意义是行驶里程，所以不能取负数，并且行驶中耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有汽油50L，即0.1x≤50，x≤500．
（３）汽车行驶200km时，油箱中的汽油量是函数y=50-0.1x在x＝200时的函数值.当x=200时，
y=50-0.1×
200=30
用所学知识解决实际问题，让学生体会到数学源于生活有服务于生活，增强对函数定义的理解。
（五）巩固练习，强化定义
1.下列问题中哪些量是自变量？
哪些量是自变量的函数？
试写出用自变量表示函数的式子．
（1）改变正方形的边长x，正方形的面积Ｓ随之改变．
（2）秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而变化．
答案：
1.（１）正方形边长x是自变量，正方形面积Ｓ是x的函数．函数关系式：
S=x2
（２）这个村人口数n是自变量，人均占有耕地面积y是n的函数．函数关系式：
学生思考并解答
再次对本节课内容进行巩固。
强化函数的定义，加深理解。
（六）小结与作业
通过今天的学习，你有什么收获？
（1）知识上：
函数的定义及列函数关系式
（2）方法上：
从特殊到一般，从具体到抽象，
虽然函数的表示方法有多种，不同问题所对应的函数的具体形式可以形形色色，但是各种函数都是反映变化规律的数学工具。
现在学习的函数都是刻画同一个变化过程中两个变量之间对应关系的模型。
学生归纳总结。
培养学生归纳和语言表达能力，
作业
必做题：
1.课本P106习题14.1复习巩固第1---6题
2.补充：
（1）某登山大本营所在地的气温为5°
C，海拔每升高1km,气温下降6°
C，登山运动员由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温是y°
C，写出变量间的对应关系。
（y=5-6x）
（2）商场卖一件衣服进货单价为80元，按每件100元出售时，每天可销售100件．若每件提价1元时，日销售量就减少10件．求日销售量y与提价x元之间的关系.
（y=100-10x）
（3）小明去商店为美术小组买宣纸和毛笔，宣纸每张３元，毛笔每支５元，商店正搞优惠活动，买一支毛笔赠一张宣纸．小明买了10支毛笔和x张宣纸，则小明用钱总数y（元）与宣纸数x之间的函数关系是什么？
当0<
x≤3时，y=10
当x>
3时，y=10+2x
选做题：
思考：
y=x+3与前面学过的什么知识很像？
他与二元一次方程有什么关系？
函数是研究运动变化的重要数学模型，它反映的是变量之间的对应规律，今后我们还要进一步研究它，让它为我们的生活服务。
作业由必做题和选做题组成，体现分层教学，让“不同的人在数学上得到不同的发展”。
青海省2010年完成水土流失治理面积131.83平方千米
“变量与函数”
前面我们认识了常量和变量，你能说出它们是怎样定义的吗？
从中我们知道：
客观世界中存在着大量的变量，而在同一个变化过程中变量之间是孤立的还是互相联系的呢？
他们之间有着怎样的联系呢？
今天我们就来
【内容解析】
“14.1变量与函数”是人教版义务教育课程标准实验教科书八年级上册第十四章第一单元，本设计是第1课时，引导学生从生活实例中抽象出常量、变量与函数等概念，其中函数的概念是本节核心内容．函数概念的核心是两个变量间的特殊对应关系：
（1）由哪一个变量确定另一个变量；
（2）唯一对应关系.如果直接研究某个量y有一定困难，我们可以去研究另一个与之有关的量x，从而达到研究的目的.这也是一种化繁为简的转化思想．
本节课是函数入门课，首先必须准确认识变量与常量的特征，初步感受到现实世界各种变量之间联系的复杂性，同时感受到研究主要从化繁就简入手，在初中阶段主要研究两个变量之间的特殊对应关系．本设计把重点放在认识“两个变量间的特殊对应关系：
由哪一个变量确定另一变量；
唯一确定的含义．”而函数图象较为直观形象，有助于学生理解函数的概念，因此把函数图象中的部分内容提前到本课时学习．
二．目标和目标解析
【目标】理解常量、变量与函数的概念．
【目标解析】
（１）借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量．初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系．初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系．
（２）借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简.
（３）从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣．学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科.
三、教学问题诊断分析
变量与函数的概念把学生由常量数学的学习引入变量数学学习中．学生知道代数式中的字母可以表示数，方程中的未知数求出来后也是一个“已知数”，从“静态”的角度理解字母所表示的数，另外，学生在日常生活中也接触到函数图象、两个变量的关系等朴素的函数关系的生活实例．但是学生初次接触函数的概念，难以理解定义中“唯一确定”的准确含义．
【教学重点】借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念．
【教学难点】怎样理解“唯一对应”．
四、教学过程设计
（一）导言：
1.《名侦探柯南》中有这样一个情景：
柯南根据案发现场的脚印，锁定疑犯的身高．你知道其中的道理吗？
2.我们班中同学A与职业相扑运动员，谁的饭量大？
你能说明理由吗？
问题1中都涉及两个量的关系，脚印确定，对应的身高有多个取值；
问题2涉及多个量的关系．这一节课我们研究两个量的关系，研究怎样由一个量来确定另一个量．
【设计意图】从学生的生活入手，开门见山，在极短的时间（一两分钟）内指明本节课的学习内容．现实世界中各种量之间的联系纷繁复杂，应向学生说明我们数学的研究方法是化繁就简，本节课只关注一类简单的问题．
（二）概念的引入
1.票房收入问题：
每张电影票的售价为10元.
（1）若一场售出150张电影票，则该场的票房收入是
元；
若售出205张、310张呢？
（2）若一场售出x张电影票，则该场的票房收入y元，则y=
.
（1）票房收入随售出的电影票变化而变化，即y随
的变化而变化；
（2）当售出票数x取定一个确定的值时，对应的票房收入y的取值是否唯一确定？
2．成绩问题：
如图是某班同学一次数学测试中的成绩登记表：
这一次数学测试中，13号的成绩为______；
15号的成绩为______；
16号的成绩为______；
23号的成绩为______．
（1）测试成绩随________的变化而变化；
（2）任意确定一个学号x，对应的成绩f的取值是否唯一确定？
3.气温问题：
图一是抚顺春季某一天的气温Ｔ随时间t变化的图象，看图回答：
（1）这天的8时的气温是
℃，14时的气温是
℃，最高气温是
℃，最低气温是
℃；
（3）这一天中，在4时~12时，气温（
），在16时~24时，气温（
）.
A.持续升高
B.持续降低
C.持续不变
（1）天气温度随
的变化而变化，即T随
（2）当时间t取定一个确定的值时，对应的温度T的取值是否唯一确定？
【设计意图】这三个问题中都含有变量之间的单值对应关系，通过研究这些问题引出常量、变量、函数等概念，通过这种从实际问题出发开始讨论的方式，使学生体验从具体到抽象地认识过程.问题的形式有填空、列表、求值、写解析式、读图等，隐含着在函数关系中表示两个变量的对应关系有解析法、列表法、图象法.
（三）概念的界定
上述三个问题中，分别涉及哪些量的关系？
通过哪一个量可以确定另一个量？
在上面的三个问题中，其中一个量的变化引起另一个量的变化（按照某种规律变化），变化的量叫做变量；
有些量的值始终不变（例如电影票的单价10元……）．并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定，且它的对应值只有一个．
教师根据学生的回答，在黑板上板书：
师生对上述三个问题进行分析，找出它们的共性，归纳出函数的概念．
【设计意图】
（1）如何把具体的实例进行抽象，形式化为数学知识是本课的关键．这里提出的问题“上述三个问题中，分别涉及哪些量的关系？
”是一个关键的“脚手架”，借助“脚手架”，学生经历数学概念的形成过程，引导学生认识为什么要引进变量、常量、函数的概念，逐步了解如何给数学概念下定义．
（2）此处板书是“脚手架”的重要组成部分，揭示“两个量的对应关系”．
问题回顾：
指出前面三个问题中涉及到的量，并指出其中的变量、常量、自变量与函数.
【设计意图】巩固常量、变量、自变量、函数的概念．
例1一个三角形的底边为5，这一边上的高h可以任意伸缩．
（１）高h的变化会引起三角形中哪些量发生变化？
这些变量是高h的函数吗？
（２）试求面积s随h变化的关系式，并指出其中的常量、变量与自变量。
例2如果用r表示圆的半径，半径r的变化会引起圆中哪些量发生变化？
这些变量是半径r的函数吗？
【设计意图】例1、例2的引入用几何画板做动态演示．此两例引导学生体会几何问题中两个变量在动态变化过程中的依存关系．
例３ 问题1中，售出票数是票房的函数吗？
问题２中，学号x是成绩f的函数吗？
（１）引导学生从逆向思维的角度进行思考，更全面地理解函数的概念．（２）培养学生逆向思维的习惯．（３）让学生对这三个问题留下更深刻的印象，特别是“成绩问题，”它将在函数这一章书的教学中反复被引用，帮助学生深入理解函数的概念．
（四）概念巩固
1．购买一些签字笔，单价3元，总价为y元，签字笔为x支，根据题意填表：
（1）y随x变化的关系式y=
，
是自变量，
是
的函数；
（2）当购买8支签字笔时，总价为
元.
2.周末，小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里.他离开家后的距离s（千米）与时间t（时）的关系如图所示.
（1）当t=12时，s=________；
当t=14时，s=________；
（2）小李从______时开始第一次休息，休息时间为____小时，此时离家______千米.
（3）距离s是时间t的函数吗？
时间t是距离s的函数吗？
（1）例题和巩固练习，巩固变量与函数等概念，让学生充分体会到许多问题中的变量关系都存在着函数关系，隐含着在函数关系中表示两个变量的对应关系有解析法、列表法、图象法.
（2）练习二2（4）从逆向思维的角度提出具有实际背景的问题有利于学生理解函数的“单值对应关系”，有利于学生明确“由哪一个量能唯一确定另一个量”，让学生养成多角度思考的习惯．
（五）概念辨析
1.两个变量x、y满足关系式
，填表并回答问题：
y是x的函数吗？
为什么？
2.下列各图中，表示y是x的函数的有_________________（可以多选）.
3．你能举出涉及两个变量的例子吗？
它们具有函数关系吗？
【设计意图】理解函数概念的核心是“①由哪一个变量确定另一个变量；
②唯一对应关系”，给定自变量x的任意一个值就有唯一确定的y的值和它对应，这样的对应可以是“自变量的一个取值对应因变量的一个取值”（简称“一对一”），也可以是“自变量的多个取值对应因变量的同一个取值”（简称“多对一”），但不可以是“自变量的同一个取值对应因变量的多个取值”（简称“一对多”）.
（六）质疑、小结
1．这一节课你有什么收获？
还有什么疑问？
你可以编一道题考一考同学，也可以向同学请教．
2．函数是一种“数”吗？
【设计意图】通过小结，让学生抓住函数概念的实质．
（七）作业：
略
——————————————————
注：
设计组成员有林俊伟，郑青青，雷珮瑛，陈汉桥，陈秀君，陈李，郑燕，褚永华，梁颖瑜，陈敏妍，全文骊，潘瑞胜，伍晓焰，许世红。
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