中考数学综合题专题复习圆专题解析.docx

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中考数学综合题专题复习圆专题解析

中考数学综合题专题复习【圆】专题解析

一.教学内容：

1.圆的内容包括：

圆的有关概念和基本性质，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆。

2.主要定理：

（1）垂径定理及其推论。

（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。

（3）圆周角定理、弦切角定理及其推论。

（4）圆内接四边形的性质定理及其推论。

（5）切线的性质及判定。

（6）切线长定理。

（7）相交弦、切割线、割线定理。

（8）两圆连心线的性质，两圆的公切线性质。

（9）圆周长、弧长；圆、扇形，弓形面积。

（10）圆柱、圆锥侧面展开图及面积计算。

（11）正n边形的有关计算。

二.中考聚焦：

圆这一章知识在中考试题中所占的分数比例大约如下表：

圆的知识在中考中所占的比例大，题型多，常见的有填空题、选择题、计算题或证明题，近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题，中考的压轴题都综合了圆的知识。

三.知识框图：

【典型例题】

【例1】.爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。

这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？

分析：

爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示：

解：

∴点导火索的人非常安全

【例2】.已知梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD，⊙O的半径为4，AB＝6，CD＝2，求梯形ABCD的面积。

分析：

要求梯形面积必须先求梯形的高，即弦AB、CD间距离，为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。

为了便于运用垂径定理，故作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F，证OF⊥AB。

此题容易出现丢解的情况，要注意分情况讨论。

解：

分两种情况讨论：

（1）当弦AB、CD分别在圆心O的两侧时，如图

（1）：

过O作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F

连OC、OB，则CE＝DE

∵AB∥CD，OE⊥CD

∴OF⊥AB，即EF为梯形ABCD的高

在Rt△OEC中，∵EC＝1，OC＝4

（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧时，如图

（2）：

过O作OE⊥CD于E，交AB于F

以下证法同

（1），略。

【例3】.如图，已知AB为⊙O的直径，P是OB的中点，求tanC·tanD的值。

分析：

为了求tanC·tanD的值，需要分别构造出含有∠C和∠D的两个直角三角形。

而AB是直径，为我们寻找直角创造了条件。

连BC、BD，则得到Rt△ACB和Rt△ADB。

可以发现∠ACD＝∠ABD，∠ADC＝∠ABC，于是，可以把tanC·tanD转化为

解：

连结BC、BD

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°

∵∠ACD＝∠ABD，∠ADC＝∠ABC

作AE⊥CD于E，作BF⊥CD于F

则△AEC∽△ADB

∴AC·AD＝AE·AB

同理，BD·BC＝BF·AB

∵△APE∽△BPF

∵P为半径OB的中点

∴tanC·tanD＝3

【例4】.

分析：

由已知条件，等边△ABC可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC。

证明：

延长DB至点E，使BE＝DC，连结AE

∵△ABC是等边三角形

∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC

∴∠ADB＝∠ACB＝60°

∵四边形ABDC是圆内接四边形

∴∠ABE＝∠ACD

在△AEB和△ADC中，

∴AE＝AD

∵∠ADB＝60°

∴△AED是等边三角形

∴AD＝DE＝DB＋BE

∵BE＝DC

∴DB＋DC＝DA

说明：

本例也可以用其他方法证明。

如：

（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA。

（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA。

【例5】.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD＝DC，分别延长BA、CD交于点E，BF⊥EC交EC的延长线于F，若EA＝AO，BC＝12，求CF的长。

分析：

在Rt△CFB中，已知BC＝12，求CF，故可寻找与之相似的直角三角形，列比例式求解。

解：

连结OD，BD

∴∠ABC＝∠AOD

∴OD∥BC

∵EA＝AO，∴EA＝AO＝BO

∴AB＝16，BE＝24

∵四边形ABCD内接于⊙O

∴∠EDA＝∠EBC

∵∠E是公共角

∴△EDA∽△EBC

设AD＝DC＝x，ED＝y，则有

∵AB为⊙O的直径

∴∠ADB＝∠F＝90°

又∠DAB＝∠FCB

∴Rt△ADB∽Rt△CFB

说明：

与圆有关的问题，大都与相似三角形联系在一起。

此题运用了两次相似三角形，找到线段之间的关系，并且运用了方程的思想解几何问题，这是解几何问题的一种重要方法。

【例6】.如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于

解：

连结FD

∵AB是直径，∴AD⊥BC

∵AB＝AC，∴BD＝DC，∠FAD＝∠DAB

∵四边形ABDF是圆内接四边形

∴∠CFD＝∠B

∵∠C是公共角

∴△ABC∽△DFC

∵AB＝AC

∴CD＝DF

（也可以证∠CFD＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠C＝∠CFD，∴CD＝DF。

）

∵DE切⊙O于D

∴∠FAD＝∠EDF

又∵∠CDE＋∠EDF＝∠FAD＋∠DAB

∴∠CDE＝∠DAB

∴∠CDE＝∠EDF

∵CD＝FD

∴CE＝EF，DE⊥CF

∴设CD＝3x，AC＝5x

∴EC＝9

【例7】.如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边。

求两圆相交弧间阴影部分的面积。

解：

∵公共弦AB＝120

【例8】.一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟。

打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图

（1）所示。

经测量，一支香烟的直径约为0.75cm，长约为8.4cm。

（1）试计算烟盒顶盖ABCD的面积（本小题计算结果不取近似值）。

（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果

解题点拨：

四边形ABCD中，AD长为7支香烟的直径之和，易求；求AB长，只要计算出如图

（2）中的O1E长即可。

解：

（1）如图

（2），作O1E⊥O2O3

∴四边形ABCD的面积是：

（2）制作一个烟盒至少需要纸张：

【例9】.在直径为20cm的圆中，有一弦长为16cm，求它所对的弓形的高。

解：

一小于直径的弦所对的弓形有两个：

劣弧弓形与优弧弓形。

如图，HG为⊙O的直径，且HG⊥AB，AB＝16cm，HG＝20cm

故所求弓形的高为4cm或16cm

【例10】.

求：

∠CAD所夹圆内部分的面积。

解：

符合题设条件的图形有两种情况：

（1）圆心O在∠CAD的内部，如图

（1），连结OC、OD，过O作OE⊥AD于点E

∴OC⊥AB

（2）圆心O在∠DAC的外部时，如图

（2），有：

【例11】.

分析：

由已知条件可知AB、CD弦的位置不确定，所以要分多种情况讨论，可分为四种情况。

解：

（1）当AB、CD不相交时，且AB、CD在圆心的两侧，如图

（1）连结OD、OB。

∵M、N分别是弦AB、CD的中点，OD、OB过圆心O

图

（1）

（2）当AB、CD不相交，且在圆心O的同侧时，如图

（2），连结OB、OC

图

（2）

（3）当AB、CD相交于点P，且圆心O在∠DPA的内部时，如图（3），∠DPA是圆内角，

图（3）

（4）当AB、CD相交于点P，且圆心O在∠DPA的外部时，如图（4）

图（4）

【例12】.已知：

如图，圆心A（0，-3），圆A与x轴相切，圆B的圆心B在x正半轴上，且圆B与圆A外切于点P。

两圆内公切线MP交y轴于点M，交x轴于点N：

（1）求证△AOB∽△NPB；

（2）设圆A半径为r1，圆B半径为r2，若r1：

r2＝3：

2，求点M、N的坐标及公切线MP的函数解析式；（3）设点B（x1，0），点B关于y轴的对称点B’（x2，0），若x1·x2＝-6，求过B’、A、B三点的抛物线解析式；（4）若圆A的位置大小不变，圆心B在x正半轴上移动，并始终有圆B与圆A外切，过点M作圆B的切线MC，C为切点，MC＝时，B点在x轴的什么位置？

从你的解答中能获得什么猜想？

解：

（1）

设直线MP的解析式为y＝kx＋b，

（3）设抛物线为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）

令y＝0，则有ax2＋bx＋c＝0

∵B与B’关于y轴对称，

∴x1＋x2＝0，即b＝0，

又点A（0，-3），∴C=-3

（4）∵MC＝MP

∴可证△APM≌△AOB

猜想：

圆心B在x轴的正半轴上任一位置时，都有切线MP的长等于点B的横坐标或四边形MOBC是长方形。

【模拟试题】

一.选择题：

（本题共24分，每小题4分，每道题只有一个正确答案）

1.已知AB是⊙O的直径，半径EO⊥AB于O，弦CD⊥EO于F点，若∠CDB＝120°，则的度数为（）

A.10°B.15°C.30°D.60°

2.如图，已知⊙O中，M是弦CD的中点，N为弦AB的中点，并且的度数为130°、90°，则∠MON的度数为（）

A.70°B.90°C.130°D.160°

3.已知△ABC中，a、b、c是∠A、∠B、∠C的对边，若r是内切圆半径，则△ABC的面积可以表示为（）

A.B.

C.D.

4.已知两圆的半径分别为R、r，且圆心距为d，若，则这两圆的位置关系为（）

A.外离或外切B.相交或内切

C.外切或内切D.内切或内含

5.已知正多边形的边长为a与外接圆半径R之间满足，则这个多边形是（）

A.正三边形B.正四边形C.正五边形D.正六边形

6.已知正方形ABCD边长为5，剪去四个角后成正八边形，则正八边形的边长为（）

A.B.C.D.

二.填空题：

（本题共16分，每小题4分）

7.已知△ABC，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，以CA为半径的圆交AB于D，则的度数为_____________。

8.已知△ABC内接于⊙O，F、E是的三分之一点，若∠AFE＝130°，则∠C＝____________度。

9.已知PA切⊙O于A，∠APO＝30°，若，OP交于⊙O于C，则PC＝____________。

10.两圆半径之比为2：