二次函数与平行四边形综合.docx
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二次函数与平行四边形综合
第十八讲二次函数与平行四边形综合
1、教学内容
1.二次函数的表示,二次函数图像与性质；
2.平行四边形的性质和判定；
3.函数图像与平行四边形的综合应用，典型应用、图像题；
2、例题细看
【例1】已知：
如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、轴的交点分别为，将对折，使点的对应点落在直线上，折痕交轴于点
（1）直接写出点的坐标，并求过三点的抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为，在直线上是否存在点，使得四边形为平行四边形？
若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设抛物线的对称轴与直线的交点为为线段上一点，直接写出的取值范围.
【考点分析】二次函数综合题
【PEC分析】
（1）点A的坐标是纵坐标为0，得横坐标为8，所以点A的坐标为（8，0）；
点B的坐标是横坐标为0，解得纵坐标为6，所以点B的坐标为（0，6）；
由题意得：
BC是∠ABO的角平分线，所以OC=CH，BH=OB=6
∵AB=10，∴AH=4，设OC=x，则AC=8-x由勾股定理得：
x=3
∴点C的坐标为（3，0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；
（2）求得直线BC的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三函数即可求得；
（3）如图，由对称性可知QO=QH，|QA-QO|=|QA-QH|．当点Q与点B重合时，Q、H、A三点共线，
|QA-QO|取得最大值4（即为AH的长）；设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K，当点Q与点K重合时，|QA-QO|取得最小值0．
【跟踪练习】例1.（浙江义乌市）如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？
如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
【例2】如图，点是坐标原点，点是轴上一动点.以为一边作矩形，点在第二象限，且．矩形绕点逆时针旋转得矩形．过点的直线交轴于点，．抛物线过点、、且和直线交于点，过点作轴，垂足为点．
⑴求的值；
⑵点位置改变时，的面积和矩形的面积的比值是否改变？
说明你的理由．
【PEC分析】
（1）由题意知OB=2OA=2n，在直角三角形AEO中，OF=OB-BF=-2n-AF，因此可用勾股定理求出AF的表达式，也就求出了FB的长，由于F的坐标为（0，m）据此可求出m，n的关系式，可用n替换掉一次函数中m的值，然后将A点的坐标代入即可求出k的值．
（2）思路同
（1）一样，先用n表示出E、F、G的坐标，然后代入抛物线的解析式中，得出a，b，c与n的函数关系式，然后用n表示出二次函数的解析式，进而可用n表示出H点的坐标，然后求出△AMH的面积和矩形AOBC的面积进行比较即可．
【跟踪练习】
（1）在图1，2，3中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点的坐标，它们分别是，，；
（2）在图4中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），求出顶点的坐标（点坐标用含的代数式表示）；
归纳与发现
（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点的坐标的探究，你会发现：
无论平行四边形处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为（如图4）时，则四个顶点的横坐标之间的等量关系为；纵坐标之间的等量关系为运用与推广
（4）在同一直角坐标系中有抛物线和三个点，（其中）．问当为何值时，该抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？
并求出所有符合条件的点坐标．
【例3】如图1，中，，，点在线段上运动，点、分别在线段、上，且使得四边形是矩形．设的长为，矩形的面积为，已知是的函数，其图象是过点的抛物线的一部分（如图2所示）．
（1）求的长；
（2）当为何值时，矩形的面积最大，并求出最大值．为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：
张明：
图2中的抛物线过点在图1中表示什么呢？
李明：
因为抛物线上的点是表示图1中的长与矩形面积的对应关系，那么表示当时，的长与矩形面积的对应关系.
赵明：
对，我知道纵坐标36是什么意思了！
孔明：
哦，这样就可以算出，这个问题就可以解决了.
请根据上述对话，帮他们解答这个问题.
【考点点评】本题结合三角形、矩形的相关知识考查了二次函数的应用，用数形结合的思路求得相应的函数关系式是解题的关键
【PEC分析】
（1）由于y是x的函数且过（12，36）点，即AP=12时，矩形的面积为36，可求出PQ的长，进而在直角三角形BPQ中得出BP的值，根据AB=AP+BP即可求出AB的长．
（2）与
（1）类似，可先用AP表示出BP的长，然后在直角三角形BPQ中，表示出PQ的长；根据矩形的面积计算方法即可得出关于y，x的函数关系式．然后可根据得出的函数的性质求出矩形的最大面积以及此时对应的x的值．
【跟踪练习】如图，已知与轴交于点和的抛物线的顶点为，抛物线与关于轴对称，顶点为．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）已知原点，定点，上的点与上的点始终关于轴对称，则当点运动到何处时，以点为顶点的四边形是平行四边形？
（3）在上是否存在点，使是以为斜边且一个角为的直角三角形？
若存，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【例4】如图，在矩形中，已知、两点的坐标分别为，为的中点．设点是平分线上的一个动点（不与点重合）．
（1）试证明：
无论点运动到何处，总与相等；
（2）当点运动到与点的距离最小时，试确定过三点的抛物线的解析式；
（3）设点是
（2）中所确定抛物线的顶点，当点运动到何处时，的周长最小？
求出此时点的坐标和的周长；
（4）设点是矩形的对称中心，是否存在点，使？
若存在，请直接写出点的坐标．
。
【PEC分析】本题综合考查了三角形全等、一次函数、二次函数，及线段最短和探索性的问题．
（1）通过△POC≌△POD而证得PC=PD．
（2）首先要确定P点的位置，再求出P、F两点坐标，利用待定系数法求的抛物线解析式；
（3）此问首先利用对称性确定出P点位置是EC与∠AOC的平分线的交点，再利用抛物线与直线CE的解析式求出交点P的坐标．进而求的△PED的周长；
（4）要使∠CPN=90°，则P点是以CN的中点为圆心以CN为直径的圆与角平分线的交点，由此就易于写出P点的坐标．
【例5】如图，已知抛物线：
的图象与轴相交于两点，是抛物线上的动点（不与重合），抛物线与关于轴对称，以为对角线的平行四边形的第四个顶点为．
（1）求的解析式；
（2）求证：
点一定在上；
（3）平行四边形能否为矩形？
如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；如果不能为矩形，请说明理由．（注：
计算结果不取近似值．）
【PEC分析】
（1）根据l1的解析式可求l1与x轴的交点为A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，-4），l2与l1关于x轴对称，实际上是l2与l1的顶点关于x轴对称，即l2的顶点为（0，4），设顶点式，可求抛物线l2的解析式；
（2）平行四边形是中心对称图形，A、C关于原点对称，则B、D也关于原点对称，设点B（m，n），则点D（-m，-n），由于B（m，n）点是y=x2-4上任意一点，则n=m2-4，∴-n=-（m2-4）=-m2+4=-（-m）2+4，可知点D（-m，-n）在l2y=-x2+4的图象上；
（3）构造∠ABC=90°是关键，连接OB，只要证明OB=OC即可，为求OB长，过点B作BH⊥x轴于H，用B的坐标为（x0，x02-4），可求OB，用OB=OC求x0，再计算面积．
【跟踪练习】如图，已知抛物线与坐标轴的交点依次是，，．
（1）求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），顶点为，四边形的面积为．若点，点同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点，点同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点与点重合为止．求出四边形的面积与运动时间之间的关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当为何值时，四边形的面积有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形能否形成矩形？
若能，求出此时的值；若不能，说明理由．
3、课堂一试
1.如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴、直线于，连结交轴于，直线交轴于．
⑴求证：
点为线段的中点；
⑵求证：
四边形为菱形；
⑶除点外，直线与抛物线有无其它公共点？
若有，求出其它公共点的坐标；若没有，请说明理由．
2.如图，在平面直角坐标系内，以轴为对称轴的抛物线经过直线与轴的交点和点．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；
（2）将
（1）中所求抛物线沿轴平移．
①在题目所给的图中画出沿轴平移后经过原点的抛物线大致图象；
②设沿轴平移后经过原点的抛物线对称轴与直线相交于点．判断以为圆心，为半径的圆与直线的位置关系，并说明理由；
（3）点是沿轴平移后经过原点的抛物线对称轴上的点。
求点的坐标，使得以四点为顶点的四边形是平行四边形．
3.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上，且，，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形．点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点．
（1）判断点是否在轴上，并说明理由；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）在轴的上方是否存在点，点，使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，点的坐标；若不存在，请说明理由．
4.如图10，已知抛物线P：
y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
x
…
-3
-2
1
2
…
y
…
-
-4
-
0
…
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；
（3）当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.
5.如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．
（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A，点N的对应点为B，点H的对应点为C）；
（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?
若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．
6.如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O（0，0），A（4，0），C（0，3），点P是OA边上的动点（与点O、A不重合）．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PF
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