最新北师大版高中数学选修11学案第三章 2 导数的概念及其几何意义.docx

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最新北师大版高中数学选修11学案第三章2导数的概念及其几何意义

学习目标　1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．

知识点一　导数的概念

思考1　平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？

梳理　

定义式

＝____________________

记法

实质

函数y＝f（x）在x＝x0处的导数就是y＝f（x）在x＝x0处的________________

知识点二　导数的几何意义

如图，Pn的坐标为（xn，f（xn））（n＝1,2,3,4，…），P的坐标为（x0，y0），直线PT为过点P的切线．

思考1　割线PPn的斜率kn是多少？

思考2　当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？

梳理　

（1）切线的定义：

当Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为________的切线．

（2）导数f′（x0）的几何意义：

函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k，即k＝________________________________________________________________________.

（3）切线方程：

曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为________________________．

类型一　利用定义求导数

例1　求函数f（x）＝3x2－2x在x＝1处的导数．

反思与感悟　求一个函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的步骤如下：

（1）求函数值的变化量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）；

（2）求平均变化率＝；

（3）取极限，得导数f′（x0）＝.

跟踪训练1　利用导数的定义求函数f（x）＝－x2＋3x在x＝2处的导数．

类型二　求切线方程

命题角度1　求在某点处的切线方程

例2　已知曲线y＝2x2上一点A（1,2），求：

（1）点A处的切线的斜率；

（2）点A处的切线方程．

反思与感悟　求曲线在某点处的切线方程的步骤

跟踪训练2　曲线y＝x2＋1在点P（2,5）处的切线与y轴交点的纵坐标是________．

命题角度2　曲线过某点的切线方程

例3　求抛物线y＝x2过点（4，）的切线方程．

反思与感悟　过点（x1，y1）的曲线y＝f（x）的切线方程的求法步骤

（1）设切点（x0，y0）；

（2）建立方程f′（x0）＝；

（3）解方程得k＝f′（x0），x0，y0，从而写出切线方程．

跟踪训练3　求过点（－1，－2）且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程．

类型三　导数的几何意义的综合应用

例4　已知曲线f（x）＝x2＋1与g（x）＝x3＋1在x＝x0处的切线互相垂直，求x0的值．

引申探究　

若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？

反思与感悟　导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系．

跟踪训练4　已知直线l：

y＝4x＋a与曲线C：

y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．

1．设函数f（x）在点x0附近有定义，且有f（x0＋Δx）－f（x0）＝aΔx＋b（Δx）2（a，b为常数），则（　　）

A．f′（x）＝aB．f′（x）＝b

C．f′（x0）＝aD．f′（x0）＝b

2．曲线f（x）＝在点（3,3）处的切线的倾斜角等于（　　）

A．45°B．60°

C．135°D．120°

3.如图，函数y＝f（x）的图像在点P（2，y）处的切线是l，则f

（2）＋f′

（2）等于（　　）

A．－4B．3

C．－2D．1

4．已知函数y＝ax2＋b在点（1,3）处的切线斜率为2，则＝________.

5．求曲线y＝在点处的切线方程．

1．导数f′（x0）的几何意义是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率，即k＝＝f′（x0）．

2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）；若已知点不在切线上，则设出切点（x0，f（x0）），表示出切线方程，然后求出切点．

答案精析

问题导学

知识点一

思考1　平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值．

梳理　　f′（x0）瞬时变化率

知识点二

思考1　割线PPn的斜率

kn＝.

思考2　kn无限趋近于切线PT的斜率k.

梳理　

（1）点P处

（2）li＝f′（x0）

（3）y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）

题型探究

例1　解　∵Δy＝3（1＋Δx）2－2（1＋Δx）－（3×12－2×1）

＝3（Δx）2＋4Δx，

∴＝＝3Δx＋4，

∴f′

（1）＝＝（3Δx＋4）＝4.

跟踪训练1　解　由导数的定义知，函数在x＝2处的导数

f′

（2）＝，而f（2＋Δx）－f

（2）＝－（2＋Δx）2＋3（2＋Δx）－（－22＋3×2）＝－（Δx）2－Δx，

于是f′

（2）＝

＝（－Δx－1）＝－1.

例2　解　

（1）k＝li

＝

＝

＝（4＋2Δx）＝4，

∴点A处的切线的斜率为4.

（2）点A处的切线方程是

y－2＝4（x－1），即4x－y－2＝0.

跟踪训练2　－3

解析　

＝

＝（4＋Δx）＝4，

曲线y＝x2＋1在点（2,5）处的切线方程为

y－5＝4（x－2），

即y＝4x－3.

∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.

例3　解　设切线在抛物线上的切点为（x0，x），

∵

＝（x0＋Δx）＝x0.

∴＝x0，

即x－8x0＋7＝0，解得x0＝7或x0＝1，

即切线过抛物线y＝x2上的点（7，），（1，），

故切线方程为y－＝（x－7）或y－＝（x－1），

化简得14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0，

即为所求的切线方程．

跟踪训练3　解　

＝

＝[2－3x2－3xΔx－（Δx）2]

＝2－3x2.

设切点坐标为（x0,2x0－x）．

∴切线方程为y－2x0＋x

＝（2－3x）（x－x0）．

又∵切线过点（－1，－2），

∴－2－2x0＋x＝（2－3x）（－1－x0），

即2x＋3x＝0，

∴x0＝0或x0＝－.

∴切点坐标为（0,0）或.

当切点坐标为（0,0）时，切线斜率为2，

切线方程为y＝2x，即2x－y＝0.

当切点坐标为时，

切线斜率为－，

切线方程为y＋2＝－（x＋1），

即19x＋4y＋27＝0.

综上可知，过点（－1，－2）且与曲线相切的切线方程为

2x－y＝0或19x＋4y＋27＝0.

例4　解　因为f′（x0）＝

＝（Δx＋2x0）＝2x0，

g′（x0）＝

＝[（Δx）2＋3x0Δx＋3x]

＝3x，

k1＝2x0，k2＝3x，

因为切线互相垂直，所以k1k2＝－1，

即6x＝－1，解得x0＝－.

引申探究　解　由例4知，f′（x0）＝2x0，g′（x0）＝3x，

k1＝2x0，k2＝3x，由题意知2x0＝3x，得x0＝0或.

跟踪训练4　解　设直线l与曲线C相切于点P（x0，y0）．

∵

＝

＝3x2－4x，

由题意可知k＝4，即3x－4x0＝4，

解得x0＝－或x0＝2，

∴切点的坐标为（－，）或（2,3）．

当切点为（－，）时，

有＝4×（－）＋a，a＝.

当切点为（2,3）时，有3＝4×2＋a，

a＝－5.

∴当a＝时，切点坐标为（－，）；

当a＝－5时，切点坐标为（2,3）．

当堂训练

1．C　2.C　3.D　4.2

5．解　因为

＝

＝＝－.

所以这条曲线在点处的切线斜率为－，

由直线的点斜式方程可得切线方程为

y－＝－（x－2），

即x＋4y－4＝0.