专题17 以三角函数为背景的应用题原卷版Word文档格式.docx

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3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

3、【2017年江苏卷】如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器

Ⅰ的底面对角线AC的长为10

cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容

器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（1）将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度；

（2）将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度.

一、解函数应用问题的步骤

（1）审题：

弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

（2）建模：

将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

（3）解模：

求解数学模型，得出数学结论；

（4）还原：

将数学问题还原为实际问题的意义.

以上过程用框图表示如下：

二、在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合.用导数求解实际问题中的最大（小）值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.

对应用题的训练，一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点等方面进行强化，注重培养将文字语言转化为数学语言的能力，强化构建数学模型的几种方法.而江苏高考的应用题往往需结合导数知识解决相应的最值问题，因此掌握利用导数求最值方法是一项基本要求，需熟练掌握.

题型一、有几何或者几何体有关的问题

以几何为载体的应用题常见与圆、扇形等特色的图形，此类问题的关键是把各个线段表示出来，进二列出函数的解析式，与几何体有关的导数问题，常常涉及到表面积与体积的问题，解题关键就是通过引入参数表示表面积或者体积，然后运用导数进行求解。

例1、（江苏省如皋、如东2019-2020学年度第一学期期中考试高三数学）如图，有一块半圆形空地，开发商计划建造一个矩形游泳池ABCD及左右两侧两个大小相同的矩形休息区，其中半圆的圆心为O，半径为

R，矩形BEFG的一边BG在BC上，矩形AHIJ

的一边AH在AD上，点C,D,F,I在圆周上，E,J在直径上，且∠EOF=π，设

6

⎛ππ⎫

∠BOC=θ,θ∈ç

⎪．若每平方米游泳池的造价与休息区造价之比为:

1.

⎝62⎭

（1）记游泳池及休息区的总造价为f（θ），求f（θ）的表达式；

（2）为进行投资预算，当θ为何值时，总造价最大？

并求出总造价的最大值.

例2、（江苏省镇江八校2019_2020学年上学期2020届高三第二次大联考数学试卷）某校要在一条水泥路

边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为地面，CD,CE为路灯灯杆，CD⊥AB，∠DCE=2π，

3

在E处安装路灯，且路灯的照明张角∠MEN=π．已知CD=4m,CE=2m．

（1）当M,D重合时，求路灯在路面的照明宽度MN；

（2）求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值．

例3、（江苏省启东市2020届高三上学期期中考试数学试题）如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰

角为450，沿倾斜角为α（其中tanα=1）的斜坡前进

2

km后到达D处，休息后继续行驶

km到达山

顶B.

（1）求山的高度BE；

（2）现山顶处有一塔CB=

3km.从A到D的登山途中，队员在点P处测得塔的视角为θ（∠CPB=θ）.

8

若点P处高度PF=xkm,则x为何值时，视角θ最大？

题型二生产、生活中的利润问题

与利润有关的问题关键是要认真审题，只有在审题的基础上才可以正确列出函数的解析式，要特别注意函数的定义域和单位的统一。

例4、（江苏省淮阴中学2020届高三期初测试）.为美化校园，江苏省淮阴中学将一个半圆形的边角地

改造为花园.如图所示，O为圆心，半径为1千米，点A、B、P都在半圆弧上，设∠NOP=∠POA=θ，∠AOB=2θ，

π

且0<

θ<

.

4

（1）请用θ分别表示线段NA、BM的长度；

（2）若在花园内铺设一条参观线路，由线段NA、AB、BM三部分组成，则当θ取何值时，参观线路最长？

（3）若在花园内的扇．形．ONP和四边形OMBA内种满杜鹃花，则当θ取何值时，杜鹃花的种植总面积最大？

例5、（2017苏北四市期末）如图，已知A，B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C

在A的正西方向1km处，tan∠BAN＝3，∠BCN＝π.现计划铺设一条电缆连通A，B两镇，有两种铺设方案：

44

①沿线段AB在水下铺设；

②在湖岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元km、4万元km.

（1）求A，B两镇间的距离；

（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？

1、如图，在南北方向有一条公路，一半径为100m的圆形广场（圆心为O）与此公路所在直线l相切于点

A，点P为北半圆弧（弧APB）上的一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，计划在∆PAQ内（图中阴影部分）进行绿化，设∆PAQ的面积为S（单位：

m2），

（1）设∠BOP=α（rad），将S表示为α的函数；

（2）确定点P的位置，使绿化面积最大，并求出最大面积．

2、（2019南京、盐城二模）某公园内有一块以O为圆心、半径为20米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：

如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；

观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中AP＝AB＝BQ，∠PAB＝∠QBA＝120°

，且AB，PQ在点O的同侧，为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超

，

过60米．设∠OAB＝α，α∈

.问：

对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？

︵

3、（2019泰州期末）如图，三个小区分别位于扇形OAB的三个顶点上，点Q是弧AB的中点．现欲在线段

OQ上找一处开挖工作坑P（不与点O，Q重合），为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA，PB.已知OA＝2千

米，∠AOBπAPQ＝θrad，地下电缆管线的总长度为y千米．

＝.记∠3

（1）将y表示为θ的函数，并写出θ的范围；

（2）请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小．

4、（2019常州期末）某公园要设计如图一所示的景观窗格（其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，如图二中所示多边形ABCDEFGH），整体设计方案要求：

内部井字形的两根水平横轴AF＝BE＝1.6m，两根竖轴CH＝DG＝1.2m，记景观窗格的外框（如图二实线部分，轴和边框的粗细忽略不

计）总长度为lm.

（1）若∠ABC＝

2π

，且两根横轴之间的距离为

0.6m，求景观窗格的外框总长度；

（2）由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过5m，当景观窗格的面积（多边形ABCDEFGH的面积）最大时，给出此景观窗格的设计方案中∠ABC的大小与BC的长度．

图一）

图二）

5、（2018苏州期末）如图，B，C分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B，C之

间的距离为100km，海岛A在城市B的正东方50km处．从海岛A到城市C，先乘船按北偏西θ角（α<

θπ

≤，

其中锐角α的正切值为1）航行到海岸公路P处登陆，再换乘汽车到城市C.已知船速为25km/h，车速为75km/h.

（1）试建立由A经P到C所用时间关于θ的函数解析式；

（2）试确定登陆点P的位置，使所用时间最少，并说明理由．

6、（2017苏州暑假测试）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，AB＝20m，广场的一角是半径为16m的扇形BCE绿化区域，为了使小区居民能够更好地在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN（宽度不计），点M在线段AD上，并且与曲线CE相切；

另一排为单人弧形椅沿曲线CN（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价为2a元/m，单人弧形椅的造价为a元/m，记锐角∠NBE＝θ，总造价为W元．

（1）试将W表示为θ的函数W（θ），并写出cosθ的取值范围；

（2）如何选取点M的位置，能使总造价W最小？

7、（2017镇江期末）如图，某公园有三条观光大道AB，BC，AC围成的直角三角形，其中直角边BC＝200

m，斜边AB＝400m．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB，BC，AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D，E，F.

（1）若甲、乙都以每分钟100m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离；

（2）设∠CEF＝θ，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且∠DEF＝π，请将甲、乙之间的距离

y表示为θ的函数，并求甲、乙之间的最小距离．

8、（2019通州、海门、启东期末）如图，某公园内有一块矩形绿地区域ABCD，已知AB＝100米，BC＝

80米，以AD，BC为直径的两个半圆内种花草，其它区域种植苗木．现决定在绿地区域内修建由直路BN，

MN和弧形路MD三部分组成的观赏道路，其中直路MN与绿地区域边界AB平行，直路为水泥路面，其工程造价为每米2a元，弧形路为鹅卵石路面，其工程造价为每米3a元，修建的总造价为W元，设∠NBC

0<

θ

<

＝θ.

（1）求W关于θ的函数关系式；

（2）如何修建道路，可使修建的总造价最少？

并求最少总造价．

9、（2018苏锡常镇调研

（一））如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB为6，O是圆心，且OC⊥AB.

2π︵

在OC上有一座观赏亭Q，其中∠AQC＝

.计划在BC上再建一座观赏亭P，记∠POB＝θ.

（1）当θπ

OPQ的大小；

＝时，求∠

（2）

当∠OPQ越大时，游客在观赏亭P处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．

10、（2017苏州预测卷）如图1所示为一种魔豆吊灯，图2为该吊灯的框架结构图，由正六棱锥O1-ABCDEF和O2-ABCDEF构成，两个棱锥的侧棱长均相等，且棱锥底面外接圆的直径为1600mm，底面中心为O，通过连接线及吸盘固定在天花板上，使棱锥的底面呈水平状态，下顶点O2与天花板的距离为1300mm，所有的连接线都用特殊的金属条制成，设金属条的总长为y．

（1）设∠O1AO=θ（rad），将y表示成θ的函数关系式，并写出θ的范围；

（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，金属条总长y最小．

11、（2017苏北三市三模）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中

阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，且AB≥1．设∠EOF=θ，透光区

AD2

域的面积为S．

（1）求S关于θ的函数关系式，并求出定义域；

（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB的长度．