高中数学第一章导数及其应用14生活中的优化问题举例学案新人教A选修221022346.docx

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高中数学第一章导数及其应用14生活中的优化问题举例学案新人教A选修221022346

§1.4　生活中的优化问题举例

学习目标　1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．

知识点　生活中的优化问题

（1）生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．

（2）利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．

（3）解决优化问题的基本思路：

上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．

1．生活中常见到的收益最高，用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题．（　√　）

2．解决应用问题的关键是建立数学模型．（　√　）

类型一　几何中的最值问题

例1　请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x（cm）．

某厂商要求包装盒的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？

并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

考点　利用导数求几何模型的最值问题

题点　利用导数求几何体体积的最值问题

解　∵V（x）＝（x）2×（60－2x）×

＝x2×（60－2x）＝－2x3＋60x2（0

∴V′（x）＝－6x2＋120x＝－6x（x－20）．

令V′（x）＝0，得x＝0（舍去）或x＝20.

∵当00；

当20

∴V（x）在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值．

∴底面边长为x＝20（cm），

高为（30－x）＝10（cm），

即高与底面边长的比值为.

引申探究

本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？

解　∵AE＝x，∴HE＝x.

∵EF＝60－2x，

∴EG＝EF＝（60－2x）＝（30－x）．

∴S侧＝4×HE×EG＝4×x×（30－x）

＝8x（30－x）＝－8x2＋240x

＝－8（x－15）2＋8×152.

∴当x＝15时，S侧最大为1800cm2.

反思与感悟　面积、体积（容积）最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．

跟踪训练1　

（1）已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为________．

考点　利用导数求几何模型的最值问题

题点　利用导数求几何体体积的最值问题

（2）将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________cm.

考点　利用导数求几何模型的最值问题

题点　利用导数求面积的最值问题

答案　

（1）　

（2）

解析　

（1）设圆柱的底面半径为r，

则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh，

∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh.

∴h＝，

又圆柱的体积V＝πr2h＝（S－2πr2）＝，

V′（r）＝，

令V′（r）＝0，得S＝6πr2，∴h＝2r，

∵V′（r）只有一个极值点，

∴当h＝2r时圆柱的容积最大．

又r＝，∴h＝2＝.

即当圆柱的容积V最大时，

圆柱的高h为.

（2）设弯成圆的一段铁丝长为x（0

设正方形与圆形的面积之和为S，

则正方形的边长a＝，圆的半径r＝.

故S＝π2＋2（0

因此S′＝－＋＝－，

令S′＝0，则x＝.

由于在（0,100）内，函数只有一个导数为0的点，则问题中面积之和的最小值显然存在，故当x＝cm时，面积之和最小．

类型二　实际生活中的最值问题

例2　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：

千克）与销售价格x（单位：

元/千克）满足关系式y＝＋10（x－6）2，其中3

（1）求a的值；

（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

考点　利用导数求解生活中的最值问题

题点　利用导数求解最大利润问题

解　

（1）因为当x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，

所以a＝2.

（2）由

（1）可知，该商品每日的销售量为

y＝＋10（x－6）2，

所以商场每日销售该商品所获得的利润为

f（x）＝（x－3）

＝2＋10（x－3）（x－6）2,3

从而f′（x）＝10[（x－6）2＋2（x－3）（x－6）]

＝30（x－4）（x－6），令f′（x）＝0，得x＝4或x＝6.

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

（3,4）

4

（4,6）

f′（x）

＋

0

－

f（x）

↗

极大值

↘

由上表可得，x＝4是函数f（x）在区间（3,6）内的极大值点，也是最大值点．

所以当x＝4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42.

答　当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．

反思与感悟　解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有

（1）利润＝收入－成本．

（2）利润＝每件产品的利润×销售件数．

跟踪训练2　已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）＝

（1）求年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；

（2）当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．

考点　利用导数求解生活中的最值问题

题点　利用导数求解最大利润问题

解　

（1）当0

W＝xR（x）－（10＋2.7x）＝8.1x－－10；

当x>10时，W＝xR（x）－（10＋2.7x）＝98－－2.7x.

所以W＝

（2）当0

由W′＝8.1－＝0，得x＝9，

当x∈（0,9）时，W′>0，当x∈（9,10）时，W′<0，

所以当x＝9时，W取得最大值，

且Wmax＝8.1×9－×93－10＝38.6，

当x>10时，W＝98－

≤98－2＝38，

当且仅当＝2.7x，即x＝时，Wmax＝38，

综上可得，当x＝9时，W取得最大值38.6.

故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．

例3　某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2＋）x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．

（1）试写出y关于x的函数关系式；

（2）当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

考点　利用导数求解生活中的最值问题

题点　用料、费用最少问题

解　

（1）设需新建n个桥墩，

则（n＋1）x＝m，即n＝－1.

所以y＝f（x）＝256n＋（n＋1）（2＋）x

＝256＋（2＋）x

＝＋m＋2m－256.

（2）由

（1）知，f′（x）＝－＋m

＝（－512）．

令f′（x）＝0，得＝512，

所以x＝64.

当0

当640，f（x）在区间（64,640）上为增函数，

所以f（x）在x＝64处取得最小值．

此时n＝－1＝－1＝9.

反思与感悟　

（1）用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．

（2）利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′（x）＝0时，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大（小）值．

跟踪训练3　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：

万元）与隔热层厚度x（单位：

cm）满足关系：

C（x）＝（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

（1）求k的值及f（x）的表达式；

（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．

考点　利用导数求解生活中的最值问题

题点　用料、费用最少问题

解　

（1）设隔热层厚度为xcm，

由题设，每年能源消耗费用为C（x）＝，

再由C（0）＝8，得k＝40，因此C（x）＝，

而建造费用为C1（x）＝6x.

因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

f（x）＝20C（x）＋C1（x）＝20×＋6x

＝＋6x（0≤x≤10）．

（2）f′（x）＝6－.

令f′（x）＝0，即＝6，

解得x＝5，x＝－（舍去）．

当00，

故当x＝5时，f（x）取到最小值，对应的最小值为f（5）＝6×5＋＝70.

答　当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元.

1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度（单位：

℃）为f（x）＝x3－x2＋8（0≤x≤5），那么原油温度的瞬时变化率的最小值是（　　）

A．8B.

C．－1D．－8

考点　利用导数求解生活中的最值问题

题点　利用导数求解生活中的其他最值问题

答案　C

解析　原油温度的瞬时变化率为f′（x）＝x2－2x＝（x－1）2－1（0≤x≤5），所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.

2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高应为（　　）

A.cmB.cm

C.cmD.cm

考点　利用导数求几何模型的最值问题

题点　利用导数求几何体体积的最值问题

答案　B

解析　设圆锥的高为hcm,0

∴V圆锥＝π（202－h2）×h＝π（400－h2）h

∴V′＝π（400－3h2），令V′（h）＝0得h＝，

当h∈时，V′>0，当h∈时，V′<0，

故当h＝时，体积最大．

3．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且销量Q与零售价P有如下关系：

Q＝8300－170P－P2，则最大毛利润为（毛利润＝销售收入－进货支出）（　　）

A．30元B．60元

C．28000元D．23000元

考点　利用导数求解生活中的最值问题

题点　利用导数求解最大利润问题

答案　D

解析　毛利润为（P－20）Q，

即f（P）＝（P－20）（8300－170P－P2），

f′（P）＝－3P2－300P＋11700

＝－3（P＋130）（P－30）．

令f′（P）＝0，

得P＝30或P＝－130（舍去）．

又P∈[20，＋∞），

故f（P）max＝f（P）极大值，

故当P＝30时，毛利润最大，

所以f（P）max＝f（30）＝23000（元）．

4．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是__