一轮北师大版理数学教案第3章 第4节函数yAsinωx+φ的图像及三角函数模型的简单应用.docx

一轮北师大版理数学教案第3章 第4节函数yAsinωx+φ的图像及三角函数模型的简单应用.docx

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一轮北师大版理数学教案第3章第4节函数yAsinωx+φ的图像及三角函数模型的简单应用

第四节　函数y＝Asinωx＋φ的图像及三角函数模型的简单应用

[考纲传真]　1.了解函数y＝Asin（ωx＋φ）的物理意义；能画出y＝Asin（ωx＋φ）的图像，了解参数A，ω，φ对函数图像变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．

1．y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念

y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，x≥0）

振幅

周期

频率

相位

初相

A

T＝

f＝＝

ωx＋φ

φ

2.用五点法画y＝Asin（ωx＋φ）一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示

x

－

ωx＋φ

0

π

2π

y＝Asin（ωx＋φ）

0

A

0

－A

0

3.由y＝sinx的图像变换得到y＝Asin（ωx＋φ）（其中A＞0，ω＞0）的图像

　先平移后伸缩　　　　　　　　先伸缩后平移

　　　　⇓　　　　　　　　　　　　⇓

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．（　　）

（2）将y＝3sin2x的图像左移个单位后所得图像的解析式是y＝3sin.（　　）

（3）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的图像的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．（　　）

（4）函数y＝Acos（ωx＋φ）的最小正周期为T，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为.（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√

2．（2016·四川高考）为了得到函数y＝sin的图像，只需把函数y＝sinx的图像上所有的点（　　）

A．向左平行移动个单位长度

B．向右平行移动个单位长度

C．向上平行移动个单位长度

D．向下平行移动个单位长度

A　[把函数y＝sinx的图像上所有的点向左平行移动个单位长度就得到函数y＝sin的图像．]

3．若函数y＝sin（ωx＋φ）（ω＞0）的部分图像如图341，则ω＝（　　）

【导学号：

57962155】

图341

A．5　　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．2

B　[由图像可知，＝x0＋－x0＝，所以T＝＝，所以ω＝4.]

4．将函数y＝sin（2x＋φ）的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为（　　）

【导学号：

57962156】

A.　　　　B.　　　　C．0　　　　D．－

B　[把函数y＝sin（2x＋φ）的图像沿x轴向左平移个单位后得到函数的解析式为：

y＝sin2＝sin.又因它为偶函数，则φ的一个可能取值是.]

5．（教材改编）电流I（单位：

A）随时间t（单位：

s）变化的函数关系式是I＝5sin，t∈[0，＋∞），则电流I变化的初相、周期分别是________．

，　[由初相和周期的定义，得电流I变化的初相是，周期T＝＝.]

函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像及变换

　已知函数f（x）＝3sin，x∈R.

（1）画出函数f（x）在一个周期的闭区间上的简图；

（2）将函数y＝sinx的图像作怎样的变换可得到f（x）的图像？

[解]　

（1）列表取值：

x

π

π

π

π

x－

0

π

π

2π

f（x）

0

3

0

－3

0

描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图.5分

（2）先把y＝sinx的图像向右平移个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f（x）的图像.12分

[规律方法]　1.变换法作图像的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ω确定平移单位．

2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，描点得出图像．如果在限定的区间内作图像，还应注意端点的确定．

[变式训练1]　

（1）（2016·全国卷Ⅰ）将函数y＝2sin的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为（　　）

【导学号：

57962157】

A．y＝2sin　　　B．y＝2sin

C．y＝2sinD．y＝2sin

（2）（2016·全国卷Ⅲ）函数y＝sinx－cosx的图像可由函数y＝sinx＋cosx的图像至少向右平移________个单位长度得到．

（1）D　

（2）　[

（1）函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图像向右平移个周期即个单位长度，所得图像对应的函数为y＝2sin＝2sin，故选D.

（2）因为y＝sinx＋cosx＝2sin，y＝sinx－cosx＝2sin，所以把y＝2sin的图像至少向右平移个单位长度可得y＝2sin的图像．]

求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式

（1）（2016·全国卷Ⅱ）函数y＝Asin（ωx＋φ）的部分图像

图342

如图342所示，则（　　）

A．y＝2sin

B．y＝2sin

C．y＝2sin

D．y＝2sin

（2）已知函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为（　　）

A．y＝4sin

B．y＝2sin＋2

C．y＝2sin＋2

D．y＝2sin＋2

（1）A　

（2）D　[

（1）由图像知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又图像的一个最高点坐标为，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋（k∈Z），故φ＝2kπ－（k∈Z），结合选项可知y＝2sin.故选A.

（2）由函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b的最大值为4，最小值为0，可知b＝2，A＝2.由函数的最小正周期为，可知＝，得ω＝4.由直线x＝是其图像的一条对称轴，可知4×＋φ＝kπ＋，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z，故满足题意的是y＝2sin＋2.]

[规律方法]　确定y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）的步骤和方法

（1）求A，b：

确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；

（2）求ω：

确定函数的周期T，则可得ω＝；

（3）求φ：

常用的方法有：

①代入法：

把图像上的一个已知点代入（此时A，ω，b已知）或代入图像与直线y＝b的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）．

②五点法：

确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”（即图像上升时与x轴的交点）时ωx＋φ＝0；“第二点”（即图像的“峰点”）时ωx＋φ＝；“第三点”（即图像下降时与x轴的交点）时ωx＋φ＝π；“第四点”（即图像的“谷点”）时ωx＋φ＝；“第五点”时ωx＋φ＝2π.

[变式训练2]　（2017·南昌二模）如图343是函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0,0＜φ＜π）的部分图像，则f（π）＝（　　）

【导学号：

57962158】

图343

A.B．－

C.D．－

A　[由图像可知T＝2＝4π，则ω＝＝，将点代入函数解析式，得sin＝1，即sin＝1，结合0＜φ＜π，得φ＝，所以函数f（x）＝sin，所以函数f（π）＝sin＝cos＝，故选A.]

函数y＝Asin（ωx＋φ）图像与性质的应用

　（2016·天津高考）已知函数f（x）＝4tanxsin·cos－.

（1）求f（x）的定义域与最小正周期；

（2）讨论f（x）在区间上的单调性．

[解]　

（1）f（x）的定义域为.2分

f（x）＝4tanxcosxcos－＝4sinxcos－

＝4sinx－＝2sinxcosx＋2sin2x－

＝sin2x＋（1－cos2x）－＝sin2x－cos2x＝2sin.

所以f（x）的最小正周期T＝＝π.6分

（2）令z＝2x－，则函数y＝2sinz的递增区间是，k∈Z.

由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.8分

设A＝，B＝，易知A∩B＝.

所以当x∈时，f（x）在区间上递增，在区间上递减.12分

[规律方法]　讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．

[变式训练3]　设函数f（x）＝－sin2ωx－sinωxcosωx（ω＞0），且y＝f（x）图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.

（1）求ω的值；

（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．

【导学号：

57962159】

[解]　

（1）f（x）＝－sin2ωx－sinωxcosωx

＝－·－sin2ωx

＝cos2ωx－sin2ωx＝－sin.3分

因为y＝f（x）图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，所以周期为π.又ω＞0，所以＝4×，因此ω＝1.5分

（2）由

（1）知f（x）＝－sin.6分

当π≤x≤时，≤2x－≤，

所以－≤sin≤1，则－1≤f（x）≤.10分

故f（x）在区间上的最大值和最小值分别为，－1.12分

三角函数的简单应用

　某实验室一天的温度（单位：

℃）随时间t（单位：

h）的变化近似满足函数关系：

f（t）＝10－cost－sint，t∈[0,24）．

（1）求实验室这一天的最大温差；

（2）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？

【导学号：

57962160】

[解]　

（1）因为f（t）＝10－2

＝10－2sin，2分

又0≤t＜24，

所以≤t＋＜，－1≤sin≤1.4分

当t＝2时，sin＝1；

当t＝14时，sin＝－1.

于是f（t）在[0,24）上取得最大值12，取得最小值8.

故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.

6分

（2）依题意，当f（t）＞11时实验室需要降温．

由

（1）得f（t）＝10－2sin，

故有10－2sin＞11，

即sin＜－.9分

又0≤t＜24，因此＜t＋＜，即10＜t＜18.

故在10时至18时实验室需要降温.12分

[规律方法]　1.三角函数在实际中的应用体现在两个方面：

一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模．

2．建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．

[变式训练4]　（2015·陕西高考）如图344，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深（单位：

m）的最大值为（　　）

图344

A．5　　　　　B．6　　　　C．8　　　　D．10

C　[根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.]

[思想与方法]

1．由图像确定函数解析式

由图像确定y＝Asin（ωx＋φ）时，φ的确定是关键，尽量选择图像的最值点代入；若选零点代入，应根据图像升降找“五点法”作图中第一个零点．

2．对称问题

函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图像上坐标为（x，±A）的点与x轴垂直的每一条直线均为其图像的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期（或两个相邻对称中心的距离）．

[易错与防范]

1．要弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像．

2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化