山东高考数学一轮总复习教学案设计参考函数模型及其应用含答案解析Word格式文档下载.docx
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递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
续表
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与
y轴平行
x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>
x0时，有logax<
xn<
ax
3.解函数应用问题的步骤
（1）审题：
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．
（2）建模：
将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
（3）解模：
求解数学模型，得出数学结论．
（4）还原：
将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
1.概念辨析
（1）在（0，＋∞）上，随着x的增大，y＝ax（a>
1）的增长速度会超过并远远大于y＝xα（α>
0）的增长速度．（ ）
（2）指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．（ ）
（3）对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律．（ ）
答案
（1）√
（2）√ （3）√
2.小题热身
（1）（2019·
湖北八校联考）有一组试验数据如表所示：
x
2.01
3
4.01
5.1
6.12
y
8.01
15
23.8
36.04
则最能体现这组数据关系的函数模型是（ ）
A.y＝2x＋1－1B．y＝x2－1
C.y＝2log2xD．y＝x3
答案 B
解析 根据表中数据可知，能体现这组数据关系的函数模型是y＝x2－1.
（2）物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，某部门为尽快稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率（单位时间的运输量）逐步提高的是（ ）
解析 B中，Q的值随t的变化越来越快．故选B.
（3）某市出租汽车的车费计算方式如下：
路程在3km以内（含3km）为8.00元；
达到3km后，每增加1km加收1.40元；
达到8km后，每增加1km加收2.10元．增加不足1km按四舍五入计算．某乘客乘坐该种出租车交了44.4元车费，则此乘客乘该出租车行驶的路程可以是（ ）
A.22kmB．24km
C.26kmD．28km
答案 A
解析 设乘客坐车行驶了xkm，根据题意，得
8＋（8－3）×
1.4＋（x－8）×
2.1＝44.4.
8＋7＋2.1x－16.8＝44.4.
2.1x＝46.2，x＝22.
所以，此乘客乘该出租车行驶的路程是22km.
（4）有一批材料可以建成200m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图所示），则围成的矩形场地的最大面积为________m2.（围墙厚度不计）
答案 2500
解析 设围成的矩形的长为xm，则宽为
m，
则S＝x·
＝
（－x2＋200x）
＝－
（x－100）2＋2500.
当x＝100时，Smax＝2500m2.
对应学生用书P039
题型一 用函数图象刻画变化过程
1．高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f（h）的大致图象是（ ）
解析 当h＝H时，体积为V，故排除A，C；
由H→0过程中，减少相同高度的水，水的体积从开始减少的越来越快到越来越慢，故选B.
2．如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x（1≤x≤3），线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y＝f（x）的图象大致为（ ）
答案 D
解析 由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为
的扇形．
因为矩形ABCD的周长为8，AB＝x，
则AD＝
＝4－x，
所以y＝x（4－x）－
＝－（x－2）2＋4－
（1≤x≤3），
显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，
且当x＝2时，y＝4－
∈（3,4），故选D.
判断函数图象与实际问题中两变量
变化过程相吻合的两种方法
（1）构建函数模型法：
当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．如举例说明2.
（2）验证法：
当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．如举例说明1.
1．（2019·
安阳模拟）如图是张大爷晨练时所走的离家距离（y）与行走时间（x）之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是（ ）
答案 C
解析 根据图象可知在第一段时间张大爷离家距离随时间的增加而增加，在第二段时间内，张大爷离家的距离不变，第三段时间内，张大爷离家的距离随时间的增加而减少，最后回到始点位置，对比各选项，只有C正确.
2.一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．
给出以下三个论断：
①0点到3点只进水不出水；
②3点到4点不进水只出水；
③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是（ ）
A.①B．①②
C．①③D．①②③
解析 由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的
，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.
题型二 已知函数模型的实际问题
某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；
接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．设f（t）表示学生注意力指标．
该小组发现f（t）随时间t（分钟）的变化规律（f（t）越大，表明学生的注意力越集中）如下：
f（t）＝
0且a≠1）．
若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题：
（1）求a的值；
（2）上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？
并请说明理由；
（3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？
解
（1）由题意得，当t＝5时，f（t）＝140，
即100·
a
－60＝140，解得a＝4.
（2）因为f（5）＝140，f（35）＝－15×
35＋640＝115，
所以f（5）>
f（35），
故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中．
（3）①当0<
t≤10时，由
（1）知，f（t）＝100·
4
－60≥140，解得5≤t≤10；
②当10<
t≤20时，f（t）＝340>
140恒成立；
③当20<
t≤40时，f（t）＝－15t＋640≥140，
解得20<
t≤
.
综上所述，5≤t≤
故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持
－5＝
分钟.
求解所给函数模型解决实际问题的方法
（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
（3）利用该模型求解实际问题．
1.某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费f（x）（元）满足关系f（x）＝
已知某家庭2019年前三个月的煤气费如下表：
月份
用气量
煤气费
一月份
4m3
4元
二月份
25m3
14元
三月份
35m3
19元
若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为（ ）
A.11.5元B．11元
C．10.5元D．10元
解析 根据题意可知f（4）＝C＝4，f（25）＝C＋B（25－A）＝14，f（35）＝C＋B（35－A）＝19，解得A＝5，B＝
，C＝4，所以f（x）＝
所以f（20）＝4＋
×
（20－5）＝11.5，故选A.
2.某食品的保鲜时间y（单位：
小时）与储藏温度x（单位：
℃）满足函数关系y＝ekx＋b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．
答案 24
解析 由题意得
即
所以该食品在33℃的保鲜时间是y＝e33k＋b＝（e11k）3·
eb＝
3×
192＝24（小时）.
题型三 构建函数模型的实际问题
角度1 构造一次函数、二次函数模型
1．（2020·
商丘二中检测）如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．
（1）设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域；
（2）求矩形BNPM面积的最大值．
解
（1）如图，作PQ⊥AF于点Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，
在△EDF中，
，
所以
，所以y＝－
x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．
（2）设矩形BNPM的面积为S，则S（x）＝xy＝x
（x－10）2＋50，所以S（x）是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x＝10，所以当x∈[4,8]时，S（x）单调递增，所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，最大值为48平方米.
角度2 构造指数函数、对数函数模型
2.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）
（参考数据：
lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）
A.2018年B．2019年
C．2020年D．2021年
解析 根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{an}，其中首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130×
1.12n－1.由130×
1.12n－1>
200，两边同时取对数，得n－1>
，又
≈
＝3.8，则n>
4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.
3.已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lgnA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，现有以下几种说法：
①PA≥1；
②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；
③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5<
PA<
5.5（注：
lg2≈0.3）．
则正确的说法为________．（写出所有正确说法的序号）
答案 ③
解析 当nA＝1时，PA＝0，故①错误；
若PA＝1，则nA＝10，若PA＝2，则nA＝100，故②错误；
设B菌的个数为nB＝5×
104，∴nA＝
＝2×
105，∴PA＝lgnA＝lg2＋5.又lg2≈0.3，∴5<
5.5，即③正确.
角度3 构造分段函数模型
4.某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；
若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分）．
（1）求函数y＝f（x）的解析式；
（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
解
（1）当x≤6时，y＝50x－115，
令50x－115>
0，解得x>
2.3，
∵x为整数，∴3≤x≤6，x∈Z.
当x>
6时，y＝[50－3（x－6）]x－115＝－3x2＋68x－115.
令－3x2＋68x－115>
0，有3x2－68x＋115<
0，结合x为整数得6<
x≤20，x∈Z.
∴y＝
（2）对于y＝50x－115（3≤x≤6，x∈Z），
显然当x＝6时，ymax＝185；
对于y＝－3x2＋68x－115
＝－3
2＋
（6<
x≤20，x∈Z），
当x＝11时，ymax＝270.
∵270>
185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多.
角度4 构造y＝x＋
0）型函数
5.某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：
万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：
平方米）成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C（单位：
万元）与安装的这种净水设备的占地面积x（单位：
平方米）之间的函数关系是C（x）＝
（x≥0，k为常数）．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．
（1）试解释C（0）的实际意义，并建立y关于x的函数关系式并化简；
（2）当x为多少平方米时，y取得最小值，最小值是多少万元？
解
（1）C（0）表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元，
∵C（0）＝
＝4，∴k＝1000，
∴y＝0.2x＋
4＝0.2x＋
（x≥0）．
（2）y＝0.2（x＋5）＋
－1≥2
－1＝7，当0.2（x＋5）＝
，即x＝15时，ymin＝7，故当x为15平方米时，y取得最小值7万元.
1.解函数应用题的一般步骤
第一步：
（审题）弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
第二步：
（建模）将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；
第三步：
（解模）求解数学模型，得到数学结论；
第四步：
（还原）将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；
第五步：
（反思）对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.
2.建模的基本原则
（1）在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线（或其一部分），一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．
（2）实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线（或抛物线的一部分）等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．
（3）实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.
1.国家对某行业征税的规定如下：
年收入在280万元及以下部分的税率为p%，超过280万元的部分按（p＋2）%征税．有一公司的实际缴税比例为（p＋0.25）%，则该公司的年收入是（ ）
A.560万元B．420万元
C．350万元D．320万元
解析 设该公司的年收入为x万元，纳税额为y万元，则由题意得y＝
依题有
＝（p＋0.25）%，解得x＝320.故选D.
2.（2019·
福建三明联考）用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的
，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是（参考数据：
lg2≈0.3010）（ ）
A.3B．4
C．5D．6
解析 设至少要洗x次，则
x≤
，∴x≥
≈3.322，因此至少需要洗4次，故选B.
3．某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路（如图阴影部分所示），大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2，若要使S最大，则y＝________.
答案 45
解析 由题可得，xy＝1800，b＝2a，则y＝a＋b＋3＝3a＋3，
∴S＝（x－2）a＋（x－3）b
＝（3x－8）a＝（3x－8）
＝1808－3x－
y.
解法一：
S＝1808－3x－
＝1808－
（x>
≤1808－2
＝1808－240＝1568.
当且仅当3x＝
，即x＝40时取等号，S取得最大值．
此时y＝
＝45.
所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值．
解法二：
设S＝f（x）＝1808－
0），
f′（x）＝
－3＝
令f′（x）＝0得x＝40，
当0<
x<
40时，f′（x）>
0，
40时，f′（x）<
0.
所以当x＝40时，S取得最大值．此时y＝45，
所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值.
对应学生用书P230
组 基础关
1.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是（ ）
A.y＝100xB．y＝50x2－50x＋100
C.y＝50×
2xD．y＝100log2x＋100
解析 对于A中的函数，当x＝3或4时，误差较大．对于B中的函数，当x＝4时误差较大．对于C中的函数，当x＝1,2,3时，误差为0，x＝4时，误差为10，误差很小．对于D中的函数，当x＝4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远．综上，只有C中的函数误差最小.
2.据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y（只）与时间x（年）近似地满足关系y＝alog3（x＋2），观察发现2014年（作为第1年）到该湿地公园越冬的白鹤数量为3000只，估计到2020年到该湿地公园越冬的白鹤的数量为（ ）
A.4000只B．5000只
C.6000只D．7000只
解析 当x＝1时，由3000＝alog3（1＋2），得a＝3000，所以到2020年冬，即第7年，y＝3000×
log3（7＋2）＝6000，故选C.
3.如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用容器下面所对的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中正确的有（ ）
A.1个B．2个
C．3个D．4个
解析 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的增长速度上反映出来，①中的增长应该是匀速的，故下面的图象不正确；
②中的增长速度是越来越慢的，正确；
③中的增长速度是先慢后快，正确；
④中的增长速度是先快后慢，也正确，故选C.
4.汽车的“燃油效率”，是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（ ）
A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多
C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油
解析 根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故A错误；
以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故B错误；
甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故C错误；
最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故D正确.
5.（2020·
泸州诊断）某位股民买入某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了3次涨停（每次上涨10%）又经历了3次跌停（每次下降10%），则该股民这支股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（ ）
A.略有盈利B．无法判断盈亏情况
C.没有盈利也没有亏损D．略有亏损
解析 由题意可得（1＋10%）3（1－10%）3＝0.993≈0.97<
1.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损.
6.（2019·
南充模拟）某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，经过x年后，绿化面积与原绿化面积之比为y，则y＝f（x）的图象大致为（ ）
解析 设某地区起始年的绿化面积为a，因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，所以经过x年后，绿化面积g（x）＝a（1＋18%）x，因为绿化面积与原绿化面积的比值为y，则y＝f（x）＝
＝（1＋18%）x＝1.18x，因为y＝1.18x为底数大于1的指数函数，故可排除A，C，当x＝0时，y＝1，可排除B，故选D.
7.某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间满足函数关系式y＝3000＋20x－0.1x2（0<
240，x∈N*），若每台产品的售价为25万元，所有生产出来的产品都能卖完，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（ ）
A.100台B．120台
C．150台D．180台
解析 设利润为f（x）万元，则f（x）＝25x－（3000＋20x－0.1x2）＝0.1x2＋5x－3000≥
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