介质对在其中运动的物体的阻力黑体矢量.docx

介质对在其中运动的物体的阻力黑体矢量.docx

《介质对在其中运动的物体的阻力黑体矢量.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《介质对在其中运动的物体的阻力黑体矢量.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

介质对在其中运动的物体的阻力黑体矢量

介质对在其中运动的物体的阻力

姓名：

金贺浩单位：

太和县第二中学

摘要：

本文应用分子速度分布的麦克斯伟尔（Maxwell）统计理论并借助弹性碰撞模型、牛顿第二定律与几何知识得到了影响气体阻力大小的因素，由晶体固体和液体的微观模型出发应用动能定理得到粘滞阻力公式，最后将三者比较并得出有意义的结论.

黑体表示矢量

关键词:

阻力;空气;麦克斯伟速度分布律;固体;弹性碰撞;液体;

1引言

在运动学中,抛体运动是很重要的运动,如火箭、航天飞机的发射，炮弹、子弹的飞行，航天器的回收，气体（对运动于介质中的物体，下同）阻力都不能忽略.但绝大多数文献仅仅凭经验给出简单的物理模型,如与速度一次方或二次方成正比,或者就是stokes公式,或与压强成正比,没有从理论上给出统一的、完整的数学精确表述.

我首先从气体分子的弹性碰撞的物理模型出发,得到物体因为碰撞导致的动量改变量;其次由气体分子微观模型（大量不停地、无规则地、运动着的、无引力的弹性质点的集合）及气体分子速度分量的分布的麦克斯伟统计理论得出总的动量改变量;再由牛顿第二定律得出气体阻力的表达式;最后应用类似的方法，由固体的微观结构理论、动能定理的微分形式、牛顿第二定律得出固体阻力的表达式;再最后总结三种物态阻力公式的异同点,得出一些有意义的结论.

2数学、物理基础知识

2.1数学基础

物体的表面为曲面，且曲面连续、光滑、可微、可用F（x，y，z）=0或z=（x，y），

x=（y，z），y=（z，x），曲面为流线型，这在自然界很普遍，如鱼、鸟（飞禽）、走兽的形状，因为它能有效的减少空气或水的阻力，特别像企鹅，海豚，猫，及一切鸟类、鱼类的身体结构，能更好适应自然，利于生存。

设x、y、z又是t的函数，即

任意一点法线矢量为,方向余弦为（其中轴的正向夹角）

（1）

或

（2）

或（3）

曲面面积微分（4）

对于不满足连续、光滑、可微条件的曲面,我们可以将其分割,即将不可导点之间相互连接成直线,最外围的直线看作新的边界,最外围的直线与物体表面间的气体视为物体的一部分（质量通常可以忽略）,再进行类似矢量或标量或综合二者的计算.

设下面涉及到的物体均为刚体（或可看作刚体），不涉及物体的形变，沿物体运动方向取物体的纵切面上的二纬表面曲线，如图1所示，分子以速度碰在P点，物体静止（以物体运动方向为x轴并且为参考系），满足光线反射定律，用矢量分析和三角形法则，得

（5）

（6）

又由几何知识,得（7）

联立（5）（6）（7）得

（8）

由（3）可得（9）

对于曲面在x0y面上的投影方程y=y（x）,相应P点的切平面在x0y上的投影为其中一条切线,即对应y=y（x）,虽然物体表面的纵切面的周界为曲线方程,但可以看作是无数条直线或点的集合.

由此得（10）

由（11）

联立（10）（11）,得

（12）

对（12）关于x求导,得

（13）

取极值,令（13）为0,得

即或（14）

对于实际物体,表示一条直线,对应物体为一条直线,毫无意义；,也表示一条直线,但对应物体为表面为直线的集合,考虑到对称性的要求（自然法则）和体积最大化（圆锥）,由物理意义可知,对应为极小值,如火箭、子弹头.由此得的平均值为

对于二维曲线,得（15）

对于三维曲面,得=（16）

（图1）

2.2分子模型

物质微观结构的三个基本观点:

一切宏观物体都是大量分子（或原子）组成的;所有分子都处在不停的,无规则的运动中;分子之间有相互作用力.

用表示动能,表示势能,表示总能量,且,表示分子力（为保守力）,表示分子的有效直径,且随增大而减小,表示分子中心（荷心,主要为电磁力）间的距离,为平衡位置,最小,,此时.由分子力经验公式

.

积分后得,（其中,）

由势能经验公式:

由于简化为

稠密气体分子的弱引力的弹性刚球模型认为:

当>时,,当时,,此即为苏节伦（Suther-land）的范氏气体分子模型.

稀薄（理想）气体分子的无引力的弹性质点模型认为:

当时,;当时,.

当两分子接近时,不会出现上述情况,无限接近时，强大的库仑斥力会使电子重新排布，从而使E为准连续变化,可得势能函数是连续的、渐变的、可微的,即当仍然不会有,且不会出现,它们仅仅是数学上的近似,如同（29）的永远不会存在这样的分子,它仅仅使数学意义严密.可知分子的弹性刚球模型、无引力的弹性质点模型仍不够完善,实际分子力可通过拟合势能函数来描述,如分段函数、插值的普朗克（Planck）函数.

2.3弹性碰撞

一个质量为m的分子以速度与一个质量为M速度为的物体发生正碰，

且为完全弹性碰撞（图1），碰撞后速度分别为，由动量守恒定律，得

（17）

又由无能量损失的完全弹性碰撞，得

（18）

由（17）（18）,得

（19）

从而得物体的动量改变量且

（20）

又因为,可近似认为（21）

结合（20）（21）二式,得

（22）

由牛顿第二定律,得

（23）

3空气阻力

3.1理想气体的微观模型

物质微观结构的三个基本观点:

一切宏观物体都是有大量分子（或原子，以下简称分子）组成的；所有分子都处在不停的、无规则的运动中;分子之间有相互作用力.由平衡态下的温度和压强不随时间改变这一事实得理想气体的微观模型如下：

（1）理想气体极其稀薄，分子之间的平均距离相对分子本身的线度很大，大小可忽略不计，即把分子看作质点;

（2）分子之间的作用力是短程力,随距离增大而集聚减少,当发生碰撞的瞬间（即距离很近时）才存在相互作用力，当气体的压强不太强、温度不太低的情况下气体分子之间的相互作用力忽略不计;

（3）又由平衡态下气体的温度和压强不随时间改变这一事实得出分子之间的碰撞是无动能损失的完全弹性碰撞，气体分子与其它分子或物体的碰撞是无动能损失的完全弹性碰撞..有以上假定建立起来的理想气体微观模型归结为:

理想气体是大量不停地、无规则地运动着的、无引力的弹性质点的集合.

在推导气体的阻力时,假定单个分子的运动服从经典力学定律,大量分子服从统计规律,具体地说,满足以下几条:

1．在平衡态下,对大量分子而言,沿各个方向运动的分子数目相等;

2．在平衡态下,气体的性质与方向无关,即各向同性,分子在各个方向的速率、速度、速度分量的各种平均值相等;

3．就统计效果而言,碰撞前后对任意的小体元（物理无限小）总是与全部系统等价,即系统是小体元的复制品;

4．把物体表面看作有无数微小镜面组成,把气体分子看作弹性小球,如同光子,其运动遵守牛顿运动定律和光线反射定律（虽然为分子斥力下的散射过程,但对大量分子散射的统计效果而言,认为如同光的反射过程）;

所有分子都处于永不停息的无规则的运动之中,气体具有各向同性与对称性,忽略涨落,处处平衡.由于动量与力均为矢量,大量分子的碰撞使得从宏观上看,轴上（方向）的作用效果（动量与力）相互作用完全抵消,由（23）式,得

（24）

3.2统计规律-麦克斯伟速度分布律

对于经典粒子（可忽略波动性的粒子,如气体分子、原子或分子）,粒子的动量、能量、速度看成准连续的,以地面为静止参考系,则处于平衡态的气体在范围内（速率间隔）分子的比率为

（25）

速度分量在的比率为

（26）

选取物体运动方向为轴,亦即的方向,称轴正向为前侧,逆向为后侧.选取

物体与运动方向相垂直的最大横截面为前侧、后侧的边界,物体前侧速度分量遵守（26）.

因为物体的运动,后侧会形影不离地留下一个“真空”区域,此“真空”区域

造成分子以速度作整体定向运动,速度分量在的比率为

（27）

因为物体与气体分子的碰撞,使得平衡态遭到破坏,气体速度分量

分布率不严格是（26）（27）,但是大量的“外来”分子以（标准状况的氮气）频率为和平均自由程为发生碰撞，使得遭到破坏的平衡态迅速恢复.

以下，凡带1或2的下脚码，均表示前侧或后侧对应的物理量,表示区域.

由（24）–（27）,得

（29）

若以物体为静止参考系,前侧为（30）

后侧为（31）

此时（29）改写成

（29）

由物理意义可知，,且.由于是由于碰撞使得气体前后压强（或密度）不同造成的,称为碰撞阻力.

当气体（空气）的定向速度为,且与的矢量夹角为,将（26）-（31）式中换成即可.若>0,则<0,表示气体对物体的阻力;若<0,表示推力,即;=0,=0.

可以证明,（31）对于变速运动（无论大小还是方向如何变化）仍然成立.

下面将讨论几种典型的形状,均不考虑有风的情况.

3.2几种典型的形状.

3.2.1圆柱体

当物体为圆柱体,半径为底面积,当物体运动方向沿着对称轴时,方程（31）化简为

（32）

由标准状况下的氮气（最概然速率）以下以氮气为例）,现在讨论Guass（高斯）正态分布函数:

（33）

由归一性,得（34）

（34）（26）与（33）对应,=285,,用表示几

.由此可知,速度集中在内,即当>时,近似认为=1,=1（35）

当对应的的值,为特征根,带入,得,

即当时,（32）化简为

（36）

从量纲上看,的单位为密度单位,（为摩尔数）,伯努力方程（为流体速度）,可知（36）相当（以运动物体为参考系,则流体速度为）由于流体运动造成的弹力.

带入,得,即当时,（32）化简为

（37）

当时,由,得（38）

代入,总结得到特征根的含义:

即当时,最高与成正比,（32）化简为

（39）

当极大时,（32）化简为（40）

由（35）可知,当时,（39）又近似为（40）.

“物体在空气中运动受到的阻力和物体的本身的形状、空气的密度、特别是和物体速率有关.大体说来,物体速率低于200m/s,可认为空气阻力与物体速率的平方成正比;当速率到400-600m/s,空气的阻力物体速率的三次方成正比;速率很大,阻力与速率更高次方成比”正验证了此理论.

涡旋的产生,使得圆柱体前面的压强大于后面的压强.压强差构成对圆柱体的阻力,称压差阻力.从本质上讲,它由粘性引起,但与公式描述的那类粘性阻力有不同机制.它们同时存在,但就涡旋产生后,粘性阻力不占重要地位.流速较大时,圆柱体所受的阻力为

、、表示流体密度、圆柱体的直径和长度,称阻力系数（量纲为1）,对于其它物体,仅需将换为与流速垂直的最大横截面积.

图3

高斯函数（图2）

3.2.2球体

当物体为球状体时,球为中心对称图形,选取过球心的截面为前后的分界,则取

=（41）

则得球的有效截面积为（42）

将（41）（42）带入（31）,得）

（43）

当时,（44）

当时,（45）

当极大时,（46）

（图4）（图3）

3.2.3圆锥体

当物体形如火箭（图4）时,头部面积,为体积为,球冠帽顶角为,斜面倾角为,得

则方程（24）化为

（47）

当<<时,

当<<=412,（48）

当极大时,（49）

3.2.4降落伞

指空气粘度在车身表面产生的切向力在行驶方向的分力；该力仅占空气阻力总额的9％，在航空和航天中其作为重点考虑对象，在地面一般车辆中可予以忽略。

　　降落伞是利用空气阻力，依靠相对于空气运动充气展开的可展式气动力减速器，使人或物从空中安全降落到地面的一种航空工具。

主要由柔性织物制成。

是空降兵作战和训练、航空航天人员的救生和训练、跳伞运动员进行训练、比赛和表演，空投物资、回收飞行器的设备器材。

　　在空中运动的物体，受到空气的阻力，在空气中如果速度低于2.5M（马