高三圆锥曲线练习题.docx
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高三圆锥曲线练习题
1.在平面直角坐标系中，已知点，P是动点，且三角形的三边所在直线的斜率满足．
（Ⅰ）求点P的轨迹的方程；
（Ⅱ）若Q是轨迹上异于点的一个点，且，直线与交于点M，试探究：
点M的横坐标是否为定值？
并说明理由．
2.已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点。
①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；
②已知点，求证：
为定值。
3.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m（m≠0），直线交椭圆于A、B两个不同点（A、B与M不重合）.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当时，求m的值.
4.已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（0，1）。
（1）求抛物线C的方程；
（2）在抛物线C上是否存在点P，使得过点P的直线交C于另一点Q，满足，且PQ与C在点P处的切线垂直？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
5.已知圆的方程为，定直线l的方程为．动圆C与圆外切，且与直线相切．
（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹M的方程；
（）斜率为k的直线与轨迹M相切于第一象限的点P，过点P作直线的垂线恰好经过点A（0，6），并交轨迹M于异于点P的点Q，记S为POQ（O为坐标原点）的面积，求S的值．
6.在直角坐标系xOy中，长为的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上滑动，．记点P的轨迹为曲线E．
（I）求曲线E的方程；
（II）经过点（0，1）作直线l与曲线E相交于A、B两点，当点M在曲线E上时，求四边形OAMB的面积．
7.已知椭圆C：
的离心率，左右焦点分别为，点P，点在线段的中垂线上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线:
与椭圆C交于M，N两点，直线的倾斜角分别为，求证：
直线过定点，并求该定点的坐标.
8.已知中心在坐标原点焦点在轴上的椭圆C,其长轴长等于4,离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程;
（Ⅱ）若点（0,1）,问是否存在直线与椭圆交于两点,且？
若存在,求出的取值范围,若不存在,请说明理由.
9..已知、分别是直线和上的两个动点，线段的长为，是的中点．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点任意作直线（与轴不垂直），设与
（1）中轨迹交于两点，与轴交于点．若，，证明：
为定值．
10.如图，已知椭圆的上顶点为,右焦点为,直线与圆相切.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若不过点的动直线与椭圆相交于、两点，且求证：
直线过定点，并求出该定点的坐标
11.设椭圆和抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表中：
（1）求曲线，的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于不同两点、，
且，请问是否存在直线过抛物线的焦点？
若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
12.已知点是圆上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，点满足，记点的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设，点、在曲线上，且直线与直线的斜率之积为，求的面积的最大值．
1.解析：
（Ⅰ）设点为所求轨迹上的任意一点，则由得
， …………2分
整理得轨迹的方程为（且），…………4分
（Ⅱ）设，
由可知直线，则，
故，即， …………6分
由三点共线可知，与共线，
∴ ，
由（Ⅰ）知，故，…………8分
同理，由与共线，
∴ ，即，
由（Ⅰ）知，故，…………10分
将，代入上式得，
整理得，
由得，即点M的横坐标为定值．………………………12分
（方法二）
设
由可知直线，则，
故，即， …………6分
∴直线OP方程为：
①； …………8分
直线QA的斜率为：
，
∴直线QA方程为：
，即②；……10分
联立①②，得，∴点M的横坐标为定值． ………………………12分
2.解析：
（Ⅰ）因为满足，，…………2分
。
解得，则椭圆方程为……………4分
（Ⅱ）
（1）将代入中得
……………………………………………………6分
，……………7分
因为中点的横坐标为，所以，解得…………9分
（2）由
（1）知，
所以……………11分
……………………………………………………4分
3.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m（m≠0），直线交椭圆于A、B两个不同点（A、B与M不重合）.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当时，求m的值.
解：
（Ⅰ）设椭圆方程为，
则
∴椭圆方程为……………………6分
（Ⅱ）依题意，………………………………………………………………………7分
可设直线的方程为：
，、，则
，
∵，∴，…………………8分
……①
而
代入①得：
………②
由消并整理化简得：
，此方程有两解
∴解得：
…………………………………10分
由韦达定理得：
，代入②得：
解：
或………………12分
∵点异于，∴………………………………………………………13分
4.
（1）x2=4y
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则抛物线C在点P处的切线方程是直线PQ的方程是．将其代入抛物线C得，
x1+x2=，x1x2=-8-4y1，
x2=-x1，y2=+y1+4．
而=（x1，y1-1），=（x2，y2-1），=x1x2+（y1-1）（y2-1）=x1x2-（g1+y2）+1
=-4（2+y1）+y1（+y1+4）-（+2y1+4）+1=y12-2y1--7
=4（y12+2y1+1）-4（+y1+2）=（y1+1）2-==0
故y1=4，P（±4，4）．经检验，符合题意故P（±4，4）．
5.解（Ⅰ）设动圆圆心C的坐标为，动圆半径为R，则，且————2分
可得．
6.解：
（Ⅰ）设C（m，0），D（0，n），P（x，y）．
由＝，得（x－m，y）＝（－x，n－y），
∴得…2分
由||＝＋1，得m2＋n2＝（＋1）2，
∴（＋1）2x2＋y2＝（＋1）2，
整理，得曲线E的方程为x2＋＝1．…5分
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由＝＋，知点M坐标为（x1＋x2，y1＋y2）．
设直线l的方程为y＝kx＋1，代入曲线E方程，得
（k2＋2）x2＋2kx－1＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－，…7分
y1＋y2＝k（x1＋x2）＋2＝，
由点M在曲线E上，知（x1＋x2）2＋＝1，
即＋＝1，解得k2＝2．…9分
这时|AB|＝|x1－x2|＝＝，
原点到直线l的距离d＝＝，
平行四边形OAMB的面积S＝|AB|·d＝．…12分
7.解：
（1）点，又得
化简得-------------3分
所以椭圆的方程为-------------------------6分
（2）由消去y得-------------8分
由得
设由根与系数的关系有：
------------------------9分
由
（1）知，所以
由得
----------------11分
代入
（1）式得
代入直线方程得----------------12分
所以直线过定点（2，0）-----------------13分
8.【解】（Ⅰ）由题意可设椭圆的标准方程为………………………………1分
则由长轴长等于4,即2a=4,所以a=2．…………………………………………………2分
又,所以,…………………………………………………………………3分
又由于……………………………………………………………………4分
所求椭圆C的标准方程为…………………………………………………5分
（Ⅱ）假设存在这样的直线,设,的中点为
因为所以所以………①
（i）其中若时,则,显然直线符合题意;
（ii）下面仅考虑情形:
由,得,
得……②…………7分
则．………………………8分
代入①式得,即,解得…………………11分
代入②式得,得．
综上（i）（ii）可知,存在这样的直线,其斜率的取值范围是………………13分
9.解：
（1）设，，．∵是线段的中点，∴
∵分别是直线和上的点，∴和．
∴又，∴．
∴，∴动点的轨迹的方程为．
（2）依题意，直线的斜率存在，故可设直线的方程为．设、、，则两点坐标满足方程组消去并整理，得，∴，①．②
∵，∴．
即∴．∵与轴不垂直，∴，
∴，同理．∴．
将①②代入上式可得．
10.（Ⅰ）将圆的一般方程化为标准方程
，圆的圆心为,半径.
由,得直线,
即,
由直线与圆相切,得,
或（舍去）.-----------------------------------2分
当时,,
故椭圆的方程为---------------------------------4分
11.解：
（1）由题意一定在上.设为，则………2分
椭圆上任何点的横坐标所以也在上，从而
的方程为…………4分
从而，（4，-4）一定在上，设C2的方程为
………5分即C2的方程为………6分
（2）假设直线过C2的焦点F（1，0）.
当的斜率不存在时，则
此时，与已知矛盾……………8分
当的斜率存在时设为，则的方程为代入C1方程并整理得：
设，则…………10分
，………12分
存在符合条件的直线且方程为……………13分
12.已知点是圆上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，点满足，记点的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设，点、在曲线上，且直线与直线的斜率之积为，求的面积的最大值．
解：
（I）设，，则．，，
，故点的轨迹方程：
.…6分
（Ⅱ）
（1）当直线的斜率不存在时，设．
则，，，不合题意．…7分
（2）当直线的斜率存在时，设，,
联立方程，得．
，，．…9分
又，
即．
将，代入上式，得．
直线过定点．…11分
．
令，即，．
当且仅当时，．…13分
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