复数域加权最小二乘法在基于相量量测的状态估计中的应用2文档格式.docx
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相量测量单元；
相量误差特性；
线性状态估计；
权重；
改进标准化残差0引言自从上世纪70年代F.C.Schweppe等人提出电力系统状态估计以来[1-3]，经过四十多年的发展和应用，状态估计在可观测性分析、估计算法、不良数据及拓扑错误的检测和辨识等方面取得了很大的进展[4-8]，状态估计的实用化进程也不断得以推进。
传统状态估计基于数据采集与监控（SupervisoryControlandDataAcquisition，SCADA）系统提供的数据进行估计。
近年来，PMU及建立在PMU基础上的广域测量系统（WideAreaMeasurementSystem，WAMS）不断发展，从而为状态估计提供了新的数据源。
PMU有较高的采样速率和精度，能够直接测量电压和电流的相角，且采样数据都打上了高精度的时标，因此数据的精度和速度相比SCADA系统有着巨大的提升。
自PMU装备电力系统以来，如何将PMU量测数据应用到状态估计中是一个比较热点的研究方向，国内外一大批科研工作者对此进行了大量的研究，取得了丰富的成果[9-13]。
这些研究大多是将PMU数据和SCADA数据进行混合，从而建立基于混合量测的估计模型，但PMU和SCADA量测的采样周期不同，且SCADA采样没有时标，难以保证两个系统采样数据的同步性，从而大大影响了估计结果的精度。
目前基于全PMU数据进行状态估计的研究还不太多。
文献[14]首次建立了全部节点电压相量和部分支路电流相量可量测情况下的状态估计模型，并利用加权最小二乘法（WeightedLeastSquare，WLS）求解该模型，但没有讨论WLS法应用于复数域的特殊性，也没有考虑权重的选取问题。
文献[15]提出只要网络中PMU的配置满足可观性，即可建立线性状态估计模型。
文献[16]将电压相量和电流相量分别用实部和虚部来表示，从而建立了基于直角坐标系的实数形式的线性状态估计模型，但这使得模型中系数矩阵的维数相比相量模型扩大了一倍，增加了计算规模，同时对实部和虚部间不相关的假设也不成立。
目前，PMU在国内电网中的配置已经超过1100台，500kV及以上电压等级已基本完成配置，正在向220kV电压等级推进，海南电网已率先实现了220kV厂站的全PMU覆盖。
PMU的大量配置为进行全PMU状态估计奠定了的基础。
在这种情况下，研究基于全PMU数据的状态估计建模方法以及相应的不良数据检测和辨识方法，具有十分重要的意义。
本文建立了PMU配置满足可观性条件下的电力系统状态估计模型，包括直角坐标形式、极坐标形式和相量形式。
从数值稳定性和效率方面考虑，推荐使用相量形式的量测方程，并建立复数域加权最小二乘法（ComplexFieldWeightedLeastSquare，CWLS）对该模型进行求解，得到了状态量的无需迭代的、线性的估计公式。
文章还对PMU相量的误差特性、CWLS法中权重的选取以及CWLS法的抗差性进行了研究，并用改进标准化残差法（ImprovedNormlizedResidual，INR）对不良数据进行辨识。
仿真验证了本文方法的正确性和有效性。
1基于全PMU数据的线性量测方程对于一个由n个节点、b条支路构成的电力网络，当PMU量测使网络可观测时，即可建立全PMU估计模型，并可利用PMU量测的冗余度，提高状态变量的估计精度。
若PMU的量测精度很高，则可直接将节点电压相量量测作为该节点的状态，从而实现在线状态测量。
然而PMU量测的误差不可避免，且可能存在不良数据，因而将PMU电压相量量测直接作为系统的状态并不合适。
充分利用PMU节点电压以及支路电流相量量测数据，建立相应的状态估计模型，并采用合适的算法求解模型，是构建全PMU状态估计模型的基础。
设网络中共配置了k个PMU（）kn，这些PMU可给出k个节点电压相量量测以及l条支路的电流相量量测
（2）bl。
PMU的量测量分别为电压幅值、相角以及电流幅值、相角。
将电压幅值U和电压相角组合构成电压复相量j，将电流幅值I和电流相Ue角组合构成电流复相量j。
则可得到如下形Ie式的量测方程：
UmTmeamTIUUZII
（1）式中，mU、mI是节点电压相量量测和支路电流相量量测构成的矢量，其中1212kTjjjmkUeUeUeU，1212lTjjjmlIeIeIeI；
TU、TI是电压相量真值和电流相量真值构成的矢量；
U、I是相应的误差矢量，上述矢量中的元素均为复数。
将支路电流相量TI用节点电压相量U来表示，其中TcTUUU，cTU表示未配置PMU节点的电压相量真值。
考虑TI的一个分量pqI，对应于从节点p流向节点q的电流相量。
对于支路pq，不管其是否含有变压器、移相器，均可用如图1所示的型等值电路表示。
不妨假设其包含变压器和移相器，变压器的变比为1:
K，移相器的移相角度为，线路的电阻、电抗和充电电纳分别为r、x、b，由基本电路定律可得：
图1支路的型等值电路00pqppqppqqqpqppqqpqIyyVyVIyVyyV
（2）其中，02pjby，1pqjyrjxKe，022qjbKy，*1qpjyrjxKe。
由
（2）式可知，可以通过支路导纳矩阵将支路电流相量TI用节点电压相量U表出。
设支路导纳矩阵为bY，则bY的维数为ln，且是一个稀疏矩阵，其中的非零元素定义如下：
Yij0,-biijbijYiiyyy当ijI有电流量测（3）因此有TIbYU（4）将等式（4）代入到等式
（1）得量测方程：
12UmeaIbbI0ZUAUYY（5）式中，I表示kk阶单位矩阵，0表示（）knk阶零矩阵，12bbbYYY，1bY表示lk阶矩阵，2bY表示（）lnk阶矩阵。
式（5）建立了量测量meaZ和状态量U间的关系，其中meaZ和U均是复矢量。
在网络结构和量测配置不变的情况下，系数矩阵A为常稀疏复矩阵，维数为lkn。
因此meaZ和U间是线性关系，（5）即为基于PMU数据的量测方程。
（5）的直角坐标形式和极坐标形式分别如式（6）和（7）所示：
,11mearZrirrmeaiiriiAUZAAUBU（6）222mmeaaIUmmammmamUI0U0IUUZIUICUHHH（7）其中,mearZ、,meaiZ分别表示meaZ的实部和虚部，rA、iA分别表示A的实部和虚部，rU、iU分别表示U的实部和虚部，r、i分别表示的实部和虚部。
mmU、amU表示mU的幅值和相角，mmI、amI表示mI的幅值和相角，mU、aU表示U的幅值和相角，IUH、、UH、H表示电流幅值、相角对电压幅值、相角的雅克比矩阵，是非常数矩阵。
2复相量的误差特性2.1误差定义一般来说PMU量测数据的幅值和相角是相互独立的，且一般假设误差均值为0。
若PMU电压幅值量测的标准差为uv，相角量测的标准差为uV，电流幅值量测的标准差为uI，相角量测的标准差为uI。
则误差复相量如图2所示图2电压量测复相量和真值复相量间的关系对量测方程（5）中meaZ的任一电压分量kU有21kTkjjkkkTkTUkUUeUeU（8）其中，kTU表示电压kU幅值的真值，kT表示电压kU相角的真值。
化简（8）得：
221eeekTjjjUkkTkTUU（9）（9）即是量测方程中任一电压量测量kU的量测误差。
在复数领域，一般用距离来表征两个相量间的差别，对图2所示的量测量kU和真值kTU，两者间的距离为：
212kT2121（,）（）e2（）（1cos）jkkTUkkTkTkTdUUUUUU（10）因此可以用式（10）来用来表征复相量间的绝对误差。
2.2正常量测情况下的期望和方差假设幅值和相角服从相互独立的零均值高斯分布，则对某个量测绝对误差Uk，可求其期望和方差。
U2221eeeee1kTkTjjjUkkTkTjjkTEEUUE（11）令222e（cossin）jEEjajb，则上式可简化为e
（1）kTjUkkTEUajb，从而可以得到Uk的期望和方差：
22
（1）UkkTEUab（12）22222kT2v222v2kT22（）
（1）
（1）
（1）UkUkUkkTDEEUauUabuUab（13）由（12）和（13）可知，量测误差的期望和相角的误差有关，与幅值误差无关；
而方差同幅值和相角的量测误差均有关。
由于a和b的值无法用解析方法求得，在实际应用中可用统计分析方法来估计假设PMU电压相角量测的标准差uV分别为0.02o、0.1o、0.5o、1o、3o，对每种标准差uVUkE和UkD的值。
分别对2进行10000000次蒙特卡洛采样，对得到的2值分别计算其平均值，得到的结果如表1所示。
PMU相角量测的误差标准差一般可以达到0.02o，最差的情况下误差也不会超过1o。
从表1UkE和UkD，然后求中对以得出在PMU量测的误差范围内，误差随机变UkE和UkD进行的仿真统计分析可量的平均值约为0，方差基本为2V2V2kTuuU。
因此在实际应用中，可以认为0UkE，2V2V2kTUkDuuU。
表1UkE和UkD的数值计算值测量误差UkEUkD2VukTU2V2kT+uU0.02o0.1o0.5o1o3o1.4021*10-71.7326*10-63.8675*10-51.5230*10-41.3703*10-31.2188*10-73.0458*10-67.6128*10-53.0444*10-42.7385*10-31.2185*10-73.0462*10-67.6154*10-53.0462*10-42.7416*10-3对电流相量量测误差可做类似的分析，可得0IkE，2I2I2kTIkDuuI。
2.3有不良数据时的特性研究表明，PMU量测数据中，幅值的精度一般较高，而相角的精度相对差一点。
在准稳态情况下，电压幅值的波动远低于1%，一般不超过0.4%，而相角的波动相对较大，出现错误数据的概率也相对大些。
不妨设某次采样的数据中幅值是准确的，而此时的相角数据是错误的，错误幅度为1o，即21o。
此时可得绝对误差Uk为：
1e11.75%ojUkkTkTUU（14）可见即使只有1o的相角误差，就使得绝对误差高达幅值的1.75%，大大超过幅值的正常量测误差，因此绝对误差对相角误差的灵敏度非常高。
3复数域加权最小二乘法WLS是电力系统状态估计的实用方法之一，但WLS没有抗差性，在实际应用时，在WLS估计之后需要加上一个不良数据辨识环节。
WLS是应用在量测方程中的各量为实数的基础上的。
而建立的方程（5）是基于向量的复数线性方程；
基于直角坐标的方程（6）虽是实数线性方程，但其关系矩阵B的维数为222lkn，比矩阵A大一倍，由于计算中涉及关系矩阵的求逆，将增加计算量，另外将PMU量测转换为实部和虚部时，还将引入转换误差，同时实部和虚部之间是相关的，不再相互独立；
基于极坐标的方程（7）是实数非线性方程，需要进行迭代计算，存在收敛性问题。
因此本文选择方程（5）作为全PMU状态估计的量测方程，并将WLS引入复数域建立复数域加权最小二乘法CWLS求解之。
当量测方程中的各量是复数时，由于量测误差矢量是一个复矢量，基于极大似然估计原则，CWLS的目标函数是使得的模的加权平方和最小，即：
U*T*TminTmeameaJWWZAUWZAU（15）（15）式中W是权重矩阵，为lk阶实对角方阵。
推导后可以得到状态量U的估计结果如下：
*T*T1estmeameaUAWAAWZDZ（16）模型（15）是一个二次规划问题，可保证得到全局最优解，而（16）式不需要迭代，通过一次运算就可以得到状态量的估计值。
因此不存在迭代计算中常见的收敛性和快速性等问题。
实际上，在网络结构和量测配置不变的情况下，式中的D为常量，因此状态量的估计结果可以通过直接计算得到。
实际计算中只需先形成支路导纳矩阵bY，然后形成矩阵A，之后得到权重矩阵W，即可完成估计计算。
由于CWLS法是以绝对误差的加权平方和最小为目标的，因此CWLS法对相角错误数据有较大的抗差性，仿真算例的结果也证明了这一点。
4权重矩阵W的选取权重矩阵一般是对角矩阵，其对角线元素同量测误差的方差有关，在用CWLS进行估计的过程中，可以通过2种方法获取权重矩阵W：
定权重法和自适应调整权重法。
定权重一般是通过对量测误差的先验知识以及一定的误差分布假设（通常假设为高斯分布），给相应的量测一个固定的权重，一般取量测误差方差的倒数作为相应量测的权重。
根据第2节中关于误差特性的介绍，可以得到定权重情况下，权重矩阵的各元素如下：
12V2v2kT112I2I2kT,,uuUWiiRiiuuI（17）实际应用时，可以用测量值代替式（17）中的真值。
自适应调整权重主要是依据量测残差和量测误差间的关系来完成的。
利用CWLS完成估计计算后，可得量测残差r为：
**1meaestTTrZZIAAWAAWS（18）其中S为残差灵敏度矩阵，是实数矩阵。
在网络结构和量测配置不变的情况下，S矩阵为定常矩阵。
残差r的协方差为：
*（）TTESS**（）（）TTTTEErRrrSSSRSSR（19）R为误差协方差矩阵，是实对角矩阵。
式（19）通过灵敏度矩阵S建立起了残差协方差rR和误差协方差R之间的关系，因此通过rR和S，经式（20）可以求得R中的元素：
（,）（,）Sii（,）RiirRii（20）对R中的元素求倒数，即可得到相应的权重，从而可以对权重矩阵中的元素进行自适应的调整，使权重同实际的量测误差相匹配。
5不良数据的检测和辨识最大标准残差（LargestNormlizedResidual，LNR）法是应用WLS方法进行状态估计后，一种实用的不良数据检测、辨识方法。
针对CWLS方法的特性，对LNR法进行改进，可以将其用于CWLS法估计后的不良数据检测和辨识中。
据式（18），可以将复误差矢量写作：
=+r+ISSIS（21）两边取模值，可得绝对误差+SISrt（22）矢量所在的向量空间为lk，定义Rlk上R的内积为,TW。
据此定义，CWLS的目标函数即为矢量在lk上的内积。
由式（22）R可知绝对误差矢量可以分解为两个分量，即残差的模矢量rS和矢量tIS，可以证明这两个矢量的内积为零，这两个矢量在lkR空间上是相互正交的。
因此残差的模矢量r只是绝对误差矢量的一部分。
假设第i个量测数据是不良数据，即ic，其余分量为零。
此时有icrS，ictIS，其中iS、iIS表示矩阵的第i列构成的列矢量，对第i个量测，定义指标：
,iiiiiccKccISISSS（23）定义改进残差（ImprovedResidual，IR）ir来更好的表征误差矢量：
2i1iiKirr（24）其中ir表示残差模矢量的第i个分量，iir表示改进残差的第i个分量，并用ir进行不良数据的检测和辨识。
6仿真研究这一节将在IEEE节点系统上，对前面提出的全PMU状态估计的CWLS方法进行仿真研究和验证。
6.1估计结果评价在电力系统状态估计的仿真研究中，可用状态估计值与真值之差的绝对值均值来表征状态估计结果的优劣，其表征式如下所示：
1111MNaverageijestimatexjijxMN（25）其中，average表示M次蒙特卡洛分析中，估计误差绝对值的平均值，N表示系统状态变量的个数，xij,estimate表示第i次蒙特卡洛分析中第j个状态量的估计值，xj表示第j个状态量的真值。
对每一次蒙特卡洛分析，量测值是通过在真值基础上加随机白噪声得到的，白噪声的分布由量测量的误差分布来确定。
6.2测量误差PMU测量的误差来源主要有：
PT、CT测量误差、光缆通道传输误差、A/D转换误差和算法误差。
PT、CT测量误差在工频下一般是固定的，通道传输误差与通道的长度有关，这两种误差一般可以通过外部校准设备进行补偿。
本文主要考虑由A/D转换误差和算法误差造成的量测不确定度。
本文的量测误差是根据国标对PMU量测的最低标准来设定的，如表2所示。
表2最大量测误差PMU量测电压幅值0.4%电压相角0.5o电流幅值0.4%电流相角1o6.3无不良数据时估计结果对IEEE300节点系统，选节点257为相角参考节点，在全部300个节点上均装设PMU，可以测量300个电压相量和822个电流相量。
对该标准系统，进行1000次蒙特卡洛试验，对每一次蒙特卡洛试验得到的量测数据，分别进行估计计算，得到状态量的估计值。
其中电压幅值单位是标幺值，相角单位是度。
表3列出了IEEE300节点系统在给定误差下的average及完成状态估计的计算时间，仿真的硬件条件是IntelCorei52.27GHzCPU，内存为2GB。
表4列出了用该方法对IEEE14节点系统、IEEE118节点系统、IEEE300节点系统和波兰3012节点系统进行1000次仿真所用的平均时间。
分析表3和表4的仿真结果可以得出以下几点结论：
（1）本文提出的模型和方法能快速有效的提高测量值的准确度，较好的完成状态估计计算，尤其是大幅度的提高了相角的精度。
（2）完成状态估计所需时间同系统规模大致为线性关系；
这是因为全PMU状态估计模型为线性模型，估计算法不需要经过迭代即可完成。
表3给定误差下估计的average和时间average幅值误差/10-3角度误差/度时间/ms量测估计1.7
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