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为了避免术语译义上的混乱，本人译作中认为需要杜撰的重要术语,後附术语原文，必要时更附上已经存在的汉译术语，并一直保持。

周生烈

数学哲学实数分析群论投影几何布尔代数和逻辑皮亚诺算术基础性危机悖论

http:

//en.wikipedia.org/wiki/Foundations_of_mathematics

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54

Foundationsofmathematics数学基础

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（2014年1月）

ForthebookbyHilbertandBernays,seeGrundlagenderMathematik.对于希尔伯特和伯奈斯的著作，见数学基础（德文）。

Foundationsofmathematicsisthestudyofthebasicmathematicalconcepts（number,geometricalfigure,set,function...）andhowtheyformhierarchiesofmorecomplexstructuresandconcepts,especiallythefundamentallyimportantstructuresthatformthelanguageofmathematics（formulas,theoriesandtheirmodelsgivingameaningtoformulas,definitions,proofs,algorithms...）alsocalledmetamathematicalconcepts,withaneyetothephilosophicalaspectsandtheunityofmathematics.Thesearchforfoundationsofmathematicsisacentralquestionofthephilosophyofmathematics;

theabstractnatureofmathematicalobjectspresentsspecialphilosophicalchallenges.

数学基础研究基本数学概念（数、几何形状、集合、函数...），及其如何构成更复杂结构和概念的层次结构，特别是一类也被称为元数学概念的基础性重要结构，用它们来形成数学语言（公式、理论、以及它们的用来表意公式、定义、证明、算法...的模型），着眼於哲学方面以及数学的统一性。

对数学基础的探索是数学哲学的一个中心论题；

数学对象的抽象性质向哲学提出了特殊的挑战。

Thefoundationsofmathematicsasawholedoesnotaimtocontainthefoundationsofeverymathematicaltopic.Generally,thefoundationsofafieldofstudyreferstoamore-or-lesssystematicanalysisofitsmostbasicorfundamentalconcepts,itsconceptualunityanditsnaturalorderingorhierarchyofconcepts,whichmayhelptoconnectitwiththerestofhumanknowledge.Thedevelopment,emergenceandclarificationofthefoundationscancomelateinthehistoryofafield,andmaynotbeviewedbyeveryoneasitsmostinterestingpart.

数学基础作为一个整体并不瞄準於包含每个数学论题的基础。

一般说来建立一个研究领域指的是一种系统分析，或多或少地建立其最基本的或基础的概念、其概念的一致性、以及其概念的本性顺序或层次结构；

这可以有助于将其与其它人类知识联系起来。

但是在一个领域的历史上，基础的开发、出现、和滤清往往来得晚些，以致无法让每一个人都能观察到其最感兴趣部分的来龙去脉。

Mathematicsalwaysplayedaspecialroleinscientificthought,servingsinceancienttimesasamodeloftruthandrigorforrationalinquiry,andgivingtoolsorevenafoundationforothersciences（especiallyphysics）.Mathematics'

manydevelopmentstowardshigherabstractionsinthe19thcenturybroughtnewchallengesandparadoxes,urgingforadeeperandmoresystematicexaminationofthenatureandcriteriaofmathematicaltruth,aswellasaunificationofthediversebranchesofmathematicsintoacoherentwhole.

在科学思维中数学总是起着特殊的作用；

其自古以来一直是作为理性探讨真理性和严谨性的一种范型，并作为其他科学（特别是物理学）的工具,甚至是基础。

在19世纪中，数学的趋于更高抽象的许多开发,带来了新的挑战和悖论，迫切需要对数学真理的本性和准则，进行更深入、更系统的考察，以及将各个不同的数学分支统一成一个连贯的整体。

Thesystematicsearchforthefoundationsofmathematicsstartedattheendofthe19thcenturyandformedanewmathematicaldisciplinecalledmathematicallogic,withstronglinkstotheoreticalcomputerscience.Itwentthroughaseriesofcriseswithparadoxicalresults,untilthediscoveriesstabilizedduringthe20thcenturyasalargeandcoherentbodyofmathematicalknowledgewithseveralaspectsorcomponents（settheory,modeltheory,prooftheory...）,whosedetailedpropertiesandpossiblevariantsarestillanactiveresearchfield.Itshighleveloftechnicalsophisticationinspiredmanyphilosopherstoconjecturethatitcanserveasamodelorpatternforthefoundationsofothersciences.

系统地探索数学基础始于19世纪末，并形成了一个与理论计算机科学有紧密联系的、称之为数理逻辑的新数学学科。

它历经了种种相悖结论的一系列危机，直到在20世纪期间发掘出作为具有多个方位或组成部分（集合论，模型论，证明论·

·

）的一个庞大的、条理分明的数学知识体系而稳定下来。

研究其详尽的属性和可能的变体，仍然是一个活跃的研究领域。

它的深邃的技术内涵，激励了许多哲学家去揣测，它可能作为一种成为其他科学的基础的模型或模式。

Contents

1Historicalcontext历史背景

1.1AncientGreekmathematics古希腊的数学

1.2Platonismasatraditionalphilosophyofmathematics柏拉图主义作为一种传统的数学哲学

1.3MiddleAgesandRenaissance中世纪和文艺复兴时期

1.419thcentury19世纪

1.4.1RealAnalysis实数分析

1.4.2Grouptheory群论

1.4.3Non-EuclideanGeometries非欧几何

1.4.4Projectivegeometry投影几何

1.4.5Booleanalgebraandlogic布尔代数和逻辑

1.4.6PeanoArithmetic皮亚诺算术

2Foundationalcrisis基础性危机

2.1Philosophicalviews哲学观点

2.1.1Formalism形式主义

2.1.2Intuitionism直觉主义

2.1.3Logicism逻辑主义

2.1.4Set-theoreticalPlatonism集合论的柏拉图主义

2.1.5Indispensabilityargumentforrealism对现实主义的不可或缺的论证

2.1.6Rough-and-readyrealism粗线条的现实主义

2.1.7PhilosophicalconsequencesoftheCompletenessTheorem完备性定理的哲学推论

2.2Moreparadoxes更多的悖论

3Partialresolutionofthecrisis危机的部分解决

4Seealso参见

5Notes注解

6References参考文献

7Externallinks外部链接

1.Historicalcontext[edit]历史背景

Seealso:

HistoryoflogicandHistoryofmathematics.另请参阅：

逻辑史和数学史。

1.1AncientGreekmathematics[edit]古希腊的数学

Whilethepracticeofmathematicspreviouslydevelopedinothercivilizations,thespecialinterestsforitstheoreticalandfoundationalaspectsreallystartedwithAncientGreeks.EarlyGreekphilosophersdisputedastowhichismorebasic,arithmeticorgeometry.ZenoofElea（490BC–ca.430BC）producedfourparadoxesthatseemtoshowthatchangeisimpossible.

虽然早在其他文明时代就已有数学的实践，但对于其理论和基础方面的特殊兴趣实际上是从古希腊人开始的。

早期希腊哲学家所争论的是算术或几何哪一个更基本；

埃利亚的芝诺（公元前490年至约公元前430年）提出了4个悖论，似乎表明那种变更是不可能的。

ThePythagoreanschoolofmathematicsoriginallyinsistedthatonlynaturalandrationalnumbersexist.Thediscoveryoftheirrationalityof√2,theratioofthediagonalofasquaretoitsside（around5thcenturyBC）,wasashocktothemwhichtheyonlyreluctantlyaccepted.ThediscrepancybetweenrationalsandrealswasfinallyresolvedbyEudoxusofCnidus,astudentofPlato,whoreducedthecomparisonofirrationalratiostocomparisonsofmultiples（rationalratios）,thusanticipatingRichardDedekind'

sdefinitionofrealnumbers.

数学的毕达哥拉斯学派最初坚持认为只存在自然数和有理数。

√2，即正方形的对角线与其边之比，其非有理性的发现（约公元前5世纪）,是对他们的一个冲击，他们只是勉强接受。

有理数和实数之间的冲突是由克尼得岛的欧多克斯,柏拉图的一个学生,最终解决的；

他将无理比率的比较，简化为倍乘（有理比率）的比较，从而预见到（可从用垂线对正直角三角形进行不断分割，形成一系列（无穷）镶套的正直角三角形；

根据三角形两边之和大于第三边,排序镶套正直角三角形各弦，而导出）实数的理查德·

戴德金定义。

InthePosteriorAnalytics,Aristotle（384BC–322BC）laiddowntheaxiomaticmethod,toorganizeafieldofknowledgelogicallybymeansofprimitiveconcepts,axioms,postulates,definitions,andtheorems,takingamajorityofhisexamplesfromarithmeticandgeometry.ThismethodreacheditshighpointwithEuclid'

sElements（300BC）,amonumentaltreatiseongeometrystructuredwithveryhighstandardsofrigor:

eachpropositionisjustifiedbyademonstrationintheformofchainsofsyllogisms（thoughtheydonotalwaysconformstrictlytoAristoteliantemplates）.Aristotle'

ssyllogisticlogic,togetherwiththeAxiomaticMethodexemplifiedbyEuclid'

sElements,areuniversallyrecognizedastoweringscientificachievementsofancientGreece.

在（工具论之）后分析篇中，亚里士多德（公元前384-公元前322年）提出了公理化方法；

他从算术和几何的主要范例中，将原始概念、公理、公设、定义、和定理，从逻辑上组织成一个知识领域。

这一方法在欧几里德的几何原本著作中（公元前300年）达到了高峰。

几何原本是一本关于几何的里程碑式著作，它以十分严谨的标准写成；

每个命题都是通过一个用三段论链接形式的论证来合理化（虽然它们并不总是严格地遵守亚里士多德的模式）。

亚里士多德的三段论逻辑加上公理化方法，通过欧几里德几何原本的实例化，被公认为是古希腊的顶尖科学成就。

1.2Platonismasatraditionalphilosophyofmathematics[edit]作为一种传统数学哲学的柏拉图主义

Startingfromtheendofthe19thcentury,aPlatonistviewofmathematicsbecamecommonamongpracticingmathematicians.

从十九世纪末开始，一种柏拉图学派的数学观点，曾普遍存在于实用数学家之中。

Theconceptsor,asPlatonistswouldhaveit,theobjectsofmathematicsareabstractandremotefromeverydayperceptualexperience:

geometricalfiguresareconceivedasidealitiestobedistinguishedfromeffectivedrawingsandshapesofobjects,andnumbersarenotconfusedwiththecountingofconcreteobjects.Theirexistenceandnaturepresentspecialphilosophicalchallenges:

Howdomathematicalobjectsdifferfromtheirconcreterepresentation?

Aretheylocatedintheirrepresentation,orinourminds,orsomewhereelse?

Howcanweknowthem?

柏拉图学派具有这样的概念，即数学的客体是抽象的，远离日常的感性经验：

几何图形理想化，以区别于客体的实际图样和形状；

数字不与具体客体的计算相混淆。

它们的存在和本性出现了特殊的哲学挑战：

如何做到数学客体不同于具体表现？

它们是位于其表现形式中，或者是在我们的头脑中，还是别的什么地方？

我们怎样才能知道它们呢？

TheancientGreekphilosopherstooksuchquestionsveryseriously.Indeed,manyoftheirgeneralphilosophicaldiscussionswerecarriedonwithextensivereferencetogeometryandarithmetic.Plato（424/423BC–348/347BC）insistedthatmathematicalobjects,likeotherplatonicIdeas（formsoressences）,mustbeperfectlyabstractandhaveaseparate,non-materialkindofexistence,inaworldofmathematicalobjectsindependentofhumans.Hebelievedthatthetruthsabouttheseobjectsalsoexistsindependentlyofthehumanmind,butisdiscoveredbyhumans.IntheMenoPlato’steacherSocratesassertsthatitispossibletocometoknowthistruthbyaprocessakintomemoryretrieval.

古希腊哲学家非常严肃地对待这些问题。

事实上，他们之间许多通常的哲学讨论就是广泛引用几何和算术来进行的。

柏拉图（公元前423/424年-公元前34/348年）坚持认为，数学客体像其他柏拉图理念（形式或本质）一样，必须完善地抽象，且在一个独立于人类的数学客体世界中，具有一种独立的、非物质类别的存在。

他认为，关于这些客体的真实性，也独立于人类的脑海而存在，但被人类发现了。

在梅诺柏拉图的老师苏格拉底声称，通过一种类似于记忆提取的过程，有可能发现这种真实性。

AbovethegatewaytoPlato'

sacademyappearedafamousinscription:

"

Letnoonewhoisignorantofgeometryenterhere"

.

在通向网关柏拉图学院的必经之途上，呈现有一句著名的题词：

“不让任何一个对几何无知的人进入这里”。

InthiswayPlatoindicatedhishighopinionofgeometry.Heregardedgeometryas``thefirstessentialinthetrainingofphilosophers"

becauseofitsabstractcharacter.

通过这种方式柏拉图表明了他对几何的高度评价。

由于几何的抽象特征，他把几何尊为“培训哲学家中的第一要素”。

ThisphilosophyofPlatonistmathemati