第2章 逻辑函数课堂用080913Word格式文档下载.docx
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在逻辑代数的运算过程中,还可以利用下列几个规则(代人、对偶、反演及展开),以达到化简函数的目的。
三、几个基本规则
(1)代人规则:
指在一个逻辑等式中,如将其中某个变量X,都代之以另一个逻辑函数,则该等式依然成立。
这是因为,不论是逻辑变量或函数,都只有0和l两种取值的可能,所以用函数代变量,并不改变原等式的逻辑特性。
这样,就可将上述基本逻辑定律(等式)中的变量,用另一函数代人,从而可以扩大定律的使用范围。
例2-4试在摩根律式(2-8a),中,以X2X3代替X2。
解:
以X2X3代X2后
式(2-8a)成为
这表明摩根律可以推广到更多个变量。
即:
(2)对偶规则:
对于一个逻辑函数Y,如将其中的与换成或,或换成与,0换成1,1换成0,而原变量及反变量本身保持不变,经这样置换后的新函数Y*,便是原函数Y的对偶函数。
其实Y和Y*是互为对偶函数的。
逻辑函数的对偶性是普通代数所没有的,利用逻辑函数的对偶特性,就可扩大上述定律的应用范围。
应该注意的是,在一个逻辑函数表达式中,其运算顺序通常是先与后或的,除非另加括号,在求对偶式时,这个顺序仍应遵守。
例2-5写出下列函数的对偶表达式:
解:
上式表示,若有多个变量的与及或后再取非的话,这个非号可以不动,照样求对偶式。
也可以用摩根律将其变换后再求对偶式,结果是一样的。
(3)反演规则:
如将某逻辑函数Y中的与和或对换,0和1对换,原变量和反变量也同时对换,这样对换后的新函数,便是原函数的反函数。
注意:
运算的先后顺序不可搞错。
反演规则其实就是摩根律的推广。
例26试求下列函数的反函数
按反演规则,可直接写出反函数:
若用摩根律,则先对原函数两边取非,
得:
经整理得:
(4)展开规则:
对于一个多变量函数Y=f(X1,X2,…,Xk),可以将其中任意一个变量,例如X1分离出来,并展开成
上式的正确性不难验证,只要令Xl=0或1分别代入便知。
2-2逻辑函数的真值表(truthtable)
2-2-l基本逻辑函数的真值表
真值表是逻辑函数的又一种基本表示方法,它是将函数输入变量的各种组合情况,及其相应的输出(函数值)一一对应地列成的表。
表2-2就是上节所述与、或及非三种基本逻辑函数的真值表。
2-2-2逻辑函数的最小项和最大项
一、最小项
对于一个n个变量的集合,全体输入变量相乘的乘积项,称为最小项,常用mi来表示。
这是因为在乘积项中,任一变量为0,mi就为0,故称为最小项。
最小项的特性:
(1)对于任一最小项,只有一组输入变量的取值能使其为1。
例如,m5,只有在ABC=101时,其值才为1;
而对其他取值,均为0
(2)任意两个最小项的乘积恒等于0。
因为变量的任一组取值,不可能使两个最小项同时为1,所以其乘积恒为0,即mimj=0。
(3)全部最小项之和恒等于1。
即∑mi=1。
二、最大项
全体输入变量相加的和项,称为最大项,常用Mi来表示。
这是因为在和项中,任一变量为1,Mi就为1,故称为最大项。
最大项的特性:
由于最大项是对应最小项的反演,故可知:
·
最大项应是只有一组输入变量的取值能使其为0;
任意两个最大项之和恒等于1;
全部最大项之积则恒等于0
2-2-3真值表的建立
将已知函数用真值表来表示,可以清楚地看出该函数所含有的最小项或最大项
例2-8试列出函数
的真值表,并指出它含有哪几项最大项?
解如表2-4所示,
这是一个三变量函数,真值表应有23=8行
例2-9试用真值表证明
解列二变量真值表如表2-5所示。
表2-6例2-10真值表
A
B
C
Y
1
例2-10试建立三人表决逻辑真值表。
解设投票人为A、B及C,输入变量
①投赞成票时为1,
投反对票时为0;
②表决输出逻辑变量用Y表示
③Y为l意味着获得多数赞成而通过
④Y为0表示不通过
列出真值表如表2-6所示
该函数含有四个最小项:
即m3、m5、m6、及m7
这就是提案获得多数通过的四种情况
表2-7例2-11真值表
例2-11某客厅有三扇门,每扇门口均装有客厅公共照明灯的控制开关,即从任一扇门出入,均可独立接通或断开公共照明灯的供电,试列出该厅公共照明灯控制逻辑的真值表。
设公共照明灯为Y,
Y为1表示灯亮,为0则灯灭;
设开关为A、B及C,
都是单刀双掷开关。
(接0或1)
设开关的起始状态为全0状态,灯是灭的
Y=m1+m2+m4+m7
2-2-4从真值表归纳逻辑函数
从已有的真值表,写出相应的逻辑函数,是逻辑设计或分析中必不可少的一步。
通常,从真值表直接写出的逻辑函数有两种标准形式,即最小项之和,或最大项之积。
(1)最小项之和表达式
最小项之和表达式是一种积之和表达式,它是将真值表内输出为1的各行输入,以最小项形式相加而成的。
如:
例2-10
Y=BC+AB+AB
也可化简为
(2)最大项之积表达式
最大项之积表达式也是一种和之积(POS)表达式,它是将真值表内输出为0的各行输人,以最大项形式相乘而成的。
仍以例2-10的表2-6来说明,这种表决逻辑可写成
Y=(A+B)(A+C)(B+C)
可化简为:
从真值表归纳函数,不论采用最小项之和,或是最大项之积的形式,其结果是等效的。
实践中,究竟用哪种表达式最为合适,这要看真值表的输出列中0和1孰多孰少而定,如1少,则用最小项之和来得简单;
如0少,则用最大项之积为好。
至于简化到哪一步,最终化成何种形式,还要根据任务的要求,或实际条件而定。
2-2-5未完全描述函数的真值表及表达式
上面所讨论的函数,真值表中各行的输出都是明确的,非0即1,可称之为完全描述的逻辑函数。
除此之外,还有一些函数,其真值表中有些行的输出是确定了的,但还有些行的输出是未加规定的,这就称为未完全描述函数。
对这些未加规定的行,通常称它们为无关项或任意项。
这是因为这些项的输入组合,可能永远不会出现,或是即使出现了,使函数输出为0或1是无所谓的,并不影响命题的实质。
所以,可将它们的相应输出任意作0或作1,视需要或方便而定。
Y=ΠM(1,2,7)ΠD(3,6)
表2-8例2-12真值表
ф
例2-12试写出表2-8所示真值表的逻辑函数。
解表中有两行是任意项,如作l看待,
函数的最小项之和表达式为
Y=Σm(0,4,5)+Σd(3,6)
如将任意项作0看待,
则函数的最大项之积表达式为
Y=ПM(1,2,7)ΠD(3,6)
上面两式中都考虑到了任意项,结果是不同。
在许多情况下,适当利用任意项,有利于函数的化简,从而使实现的电路也得到简化。
2-3逻辑函数的卡诺图
卡诺图是逻辑函数的另一种表格化表示形式,它不但具有真值表的优点,还可以明确函数的最小项、最大项或任意项,并可一次性获得函数的最简表示式,所以卡诺图在逻辑函数的分析和设计中,得到了广泛的应用。
2-3-l卡诺图的构成
卡诺图是用直角坐标来划分一个逻辑平面,形成棋坪式方格,每个小方格就相当于输入变量的每一种组合。
小格中所填的逻辑值,即为对应输出函数值。
小格的编号就是输入变量按二进制权重的排序。
和真值表不同的是,坐标的划分应使变量在相邻小格间是按循环码排列的,因而便于函数在相邻最小项或最大项之间的吸收合并,能一目了然达到化简的目的。
m0
m1
00
01
m2
m3
10
11
二变量
卡诺图
BC
m4
m5
m7
m6
三变量
四变量卡诺图
例2-13试画出函数Y=f(A,B,C,D)的卡诺图。
Y=∑m(0,1,2,8,11,13,14,15)+∑d(7,10)
解按题中最小项及任意项的序号,分别在四变量卡诺图的对应小格内,填1或-,其余空格则填0,如图2-3所示。
由函数表达式填卡诺图
例2-14试画出的卡诺图。
解本题函数是四变量的积之和表达式,在填卡诺图之前,可先将它配项成最小项之和表达式
Y=∑m(2,5,8,10,12,14,15)
同理,若已给函数是最大项之积表达式,则可按最大项序号在卡诺图对应格内填0,其余空格则填1。
若已给函数是和之积表达式,则可将函数配项成最大项之积形式,再按上述原则画卡诺图。
如果已知函数是既有积之和项,又有和之积项的混合形式,视方便可将它化成单一的积之和,或者是和之积形式,再进一步化成标准形式后,便可画成卡诺图。
例2-15试画出函数Y的卡诺图。
Y=ПM(1,2,7)ΠD(3,6)
解作三变量的卡诺图,如图2-5所示
五变量
CDE
AB
000
001
011
010
110
111
101
100
3
2
6
7
5
4
8
9
14
15
13
12
24
25
27
26
30
31
29
28
16
17
19
18
22
23
21
20
六变量卡诺图
利用卡诺图可以很方便地简化逻辑函数,这是由于卡诺图的坐标是按循环码排列的,所以相邻两小格的输入变量中,总有一个,也只有一个变量发生变化。
所以,若某相邻两格均填1,则可把这两格圈在一起,相当于两个最小项相加,按照互补律,便可消去或吸收掉一个变量,形成一个新的与项,这就是利用卡诺图的相邻特性进行化简的基本原理。
这种化简可以圈1,也可以圈0来实现;
不但圈两格,也可圈四、八及十六格地进行,只要是上下、左右都相邻的就行。
2-3-2用卡诺图化简函数
一、卡诺图化简原理
(1)圈1法(最小项之和)
●规则
●表达式
例2-17试用卡诺图化简函数Y=f(A,B,C)=∑m(0,2,4,7)。
解先画出该函数的卡诺图
圈0法:
最大项之积
(2)任意项的利用如不作任何规定,对卡诺图中的任意项既可视作1,也可视作0的,在化简过程中,视需要是可以加以利用的。
例2-18试写出图2-3所示函数的两种简化表达式
(3)多输出函数的化简———整体最简
F1=∑m(3,4,5,7)
F2=∑m(2,3,4,5,7)
F3=∑m(0,1,3,6,7)
BC
2-3-3卡诺图的运算
与、或、非、异或、同或
2-3-4降维卡诺图
为什么要降维
(1)降维卡诺图的建立
方法1:
代数法
方法2:
作图法
(2)降维卡诺图的化简方法
例2-23试求出图2-18所示降维卡诺图函数P的与或表达式。
解由图2-18可得五个圈,故函数为
2-4逻辑门
能实现基本逻辑操作的电路,又称为逻辑门,因而就有相应的与门、或门及非门等名称。
一些功能复杂的逻辑电路,往往是由许多基本逻辑门组合而成。
在设计或分析这类复杂功能的逻辑电路时,除了可用上述逻辑代数的定律和规则,以及真值表和卡诺图等工具运算外,还需采用一套标准的图形符号,以便详细说明逻辑门或其他逻辑单元之间是如何物理连接的,信号是以何种形式或标准传送的,以及设备与外界是如何接口的,等等。
这样,才能标准化地实现数字逻辑装置的设计、生产、操作、测试及联网运行等。
2-4-1逻辑单元符号的组成
实际逻辑功能
门电路的几种表示方法
例2-19的逻辑电路图
2-4-2复合逻辑门
与非(NAND)
或非(NOR)
异或(EXOR)
ExclusiveOR
异或非(EXNOR)
ExclusiveNOR
4-3-2-2输入与或非门
74LS64
例2-25试用与非门实现式(2-23)的多输出函数
2-5逻辑函数的其它表示方法
2-5-1用开关网络表示逻辑函数
A=0,B=x,C=x
A=1,B,C不同时为0
2-5-2文氏图