届人教A版理科数学椭 圆 单元测试.docx

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届人教A版理科数学椭圆单元测试

一、选择题

1．中心在坐标原点的椭圆，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为，则该椭圆的方程为（　　）

A.＋＝1B.＋＝1

C.＋＝1D.＋＝1

[解析　因为焦距为4，所以c＝2，离心率e＝＝＝，∴a＝2，b2＝a2－c2＝4，故选D.

[答案　D

2．曲线＋＝1与曲线＋＝1（<9）的（　　）

A．长轴长相等B．短轴长相等

C．离心率相等D．焦距相等

[解析　c2＝25－－（9－）＝16，所以c＝4，所以两条曲线的焦距相等．

[答案　D

3．（2018·河南开封开学考试）若方程x2＋y2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数的取值范围是（　　）

A．（0，＋∞）B．（0,2）

C．（1，＋∞）D．（0,1）

[解析　∵方程x2＋y2＝2，即＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴>2，故0<<1，故选D.

[答案　D

4．（2017·吉林长春外国语学校期末）椭圆＋y2＝1的两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则·的取值范围是（　　）

A．[－1,1B．[－1,0

C．[0,1D．[－1,2

[解析　由椭圆方程得F1（－1,0），F2（1,0），设P（x，y），∴＝（－1－x，－y），＝（1－x，－y），则·＝x2＋y2－1＝∈[0,1，故选C.

[答案　C

5．（2017·湖北孝感七校联盟期末）已知椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为（　　）

A.B.C.D.

[解析　如图，设|AF|＝x，则cos∠ABF＝＝.解得x＝6，∴∠AFB＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|＝8，∠FAF1＝∠FAB＋∠FBA＝90°，△FAF1是直角三角形，所以|F1F|＝10，故2a＝8＋6＝14,2c＝10，

∴＝.

[答案　B

6．（2017·上海崇明一模）如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（－2，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，则椭圆C的方程为（　　）

A.＋＝1B.＋＝1

C.＋＝1D.＋＝1

[解析　依题意，设椭圆方程为＋＝1（a>b>0），右焦点为F′，连接PF′.

由已知，半焦距c＝2.又由|OP|＝|OF|＝|OF′|，知∠FPF′＝90°.

在Rt△PFF′中，|PF′|＝＝＝8.由椭圆的定义可知2a＝|PF|＋|PF′|＝4＋8＝12，所以a＝6，于是b2＝a2－c2＝62－

（2）2＝16，故所求椭圆方程为＋＝1，故选C.

[答案　C

二、填空题

7．（2018·北京朝阳模拟）已知椭圆＋＝1（a>b>0）的一个焦点是F（1,0），若椭圆短轴的两个三等分点M，N与F构成正三角形，则此椭圆的方程为__________．

[解析　由△FMN为正三角形，得c＝|OF|＝|MN|＝×b＝1.解得b＝，∴a2＝b2＋c2＝4.故椭圆的方程为＋＝1.

[答案　＋＝1

8．（2018·湖北武汉十六中月考）一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为__________．

[解析　由＋＝1可知椭圆的右顶点坐标为（4,0），上、下顶点坐标为（0，±2）．

∵圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴上，

∴①当圆经过椭圆右顶点及短轴两端点时，

设圆的圆心为（x,0），则＝4－x，解得x＝，∴圆的半径为，

所求圆的方程为2＋y2＝.

②当圆经过椭圆左顶点及短轴两端点时，

同理可得圆的方程为2＋y2＝.

[答案　2＋y2＝

9．从椭圆＋＝1（a>b>0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是________．

[解析　由已知，点P（－c，y）在椭圆上，代入椭圆方程，得P.∵AB∥OP，∴AB＝OP，即－＝－，则b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，则＝，即该椭圆的离心率是.

[答案　

三、解答题

10．（2017·湖南长沙望城一中第三次调研）P为圆A：

（x＋1）2＋y2＝8上的动点，点B（1,0）．线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ.

（1）求曲线Γ的方程；

（2）当点P在第一象限，且cos∠BAP＝时，求点M的坐标．

[解　

（1）圆A的圆心为A（－1,0），半径等于2.

由已知得|MB|＝|MP|，所以|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MP|＝2，

故曲线Γ是以A，B为焦点，以2为长轴长的椭圆，设Γ的方程为＋＝1（a>b>0），a＝，c＝1，b＝1，

所以曲线Γ的方程为＋y2＝1.

（2）由点P在第一象限，cos∠BAP＝，|AP|＝2，得P.

于是直线AP的方程为y＝（x＋1）．

代入椭圆方程，消去y，可得

5x2＋2x－7＝0，即（5x＋7）（x－1）＝0.

所以x1＝1，x2＝－.因为点M在线段AP上，

所以点M的坐标为.

[能力提升

11．已知F1，F2分别是椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

[解析　如图所示，

∵线段PF1的中垂线经过F2，

∴PF2＝F1F2＝2c，即椭圆上存在一点P，使得PF2＝2c.

∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝∈.故选C.

[答案　C

12．如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（　　）

A.

B.

C.

D.

[解析　设椭圆的方程为＋＝1（a>b>0），∠B1PA2为钝角可转化为，所夹的角为钝角，则（a，－b）·（－c，－b）<0，得b20，即e2＋e－1>0，e>或e<，又0

[答案　D

13．（2017·江苏镇江期末）已知椭圆＋＝1（m，n为常数，m>n>0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则·＝________.

[解析　由题知F1（－c,0），F2（c,0），设P（x0，y0），则x＋y＝b2，∴·＝（－c－x0，－y0）·（c－x0，－y0）＝x＋y－c2＝b2－c2＝n－（m－n）＝2n－m.

[答案　2n－m

14．（2018·云南保山期末）椭圆＋＝1（a>b>0）的一个焦点为F1，若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为________．

[解析　设⊙O与PF1切于点M，连接PF2，OM.因为M为PF1的中点，所以OM綊PF2，得|PF2|＝2b，又|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF1|＝2a－2b，|MF1|＝a－b.在Rt△OMF1中，由|OM|2＋|MF1|2＝|OF1|2，得b2＋（a－b）2＝c2.所以b2＋（a－b）2＝a2－b2，得a＝b，c＝b，所以e＝＝.

[答案　

15．已知椭圆＋＝1（a>b>0），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.

（1）若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率．

（2）若＝2，·＝，求椭圆的方程．

[解　

（1）若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.

所以a＝c，e＝＝.

（2）由题知A（0，b），F1（－c,0），F2（c,0），其中c＝，设B（x，y）．

由＝2，得（c，－b）＝2（x－c，y），

解得x＝，y＝－，

即B.

将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，解得a2＝3c2①.

又由·＝（－c，－b）·＝，

得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1②

由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.

所以椭圆的方程为＋＝1.

16．（2017·贵州遵义模拟）设F1，F2分别是椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.

（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；

（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.

[解　

（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c.

当x＝c时，y＝±，由直线MN的斜率为，得M，即tan∠MF1F2＝＝＝，即b2＝ac＝a2－c2，即c2＋ac－a2＝0，则e2＋e－1＝0，即2e2＋3e－2＝0，解得e＝或e＝－2（舍去），即e＝.

（2）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0,2）是线段MF1的中点，设M（c，y0）（y0>0），则＋＝1，即y＝，解得y0＝.

∵OD是△MF1F2的中位线，∴＝4，即b2＝4a，

由|MN|＝5|F1N|，

得|MF1|＝4|F1N|，解得|DF1|＝2|F1N|，即＝2.

设N（x1，y1），由题意知y1<0，则（－c，－2）＝2（x1＋c，y1）．

即解得代入椭圆方程得＋＝1，

将b2＝4a代入得＋＝1，解得a＝7，b＝2.

[延伸拓展

1．（2017·石家庄质检）已知两定点A（－2,0）和B（2,0），动点P（x，y）在直线l：

y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（　　）

A.B.C.D.

[解析　设点A关于直线l的对称点为A1（x1，y1），则有解得x1＝－3，y1＝1，

易知|PA|＋|PB|的最小值等于|A1B|＝，因此椭圆

C的离心率e＝＝的最大值为.

[答案　B

2．（2017·上海虹口一模）一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面得一个椭圆，则该椭圆的焦距等于________．

[解析　∵底面半径为2的圆柱被与底面成60°的平面所截，其截面是一个椭圆，∴这个椭圆的短半轴长为2，长半轴长为＝4.∵a2＝b2＋c2，∴c＝＝2，∴椭圆的焦距为4.

[答案　4