届人教A版 三角函数与解三角形 检测卷.docx

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届人教A版三角函数与解三角形检测卷

重组五　三角函数与解三角形

　　测试时间：

120分钟　　　满分：

150分

第Ⅰ卷　（选择题，共60分）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．[2016·长春质检]已知tanα＝2，α为第一象限角，则sin2α＋cosα＝（　　）

A.B.

C.D.

答案　C

解析　由三角函数定义sinα＝，cosα＝，故sin2α＋cosα＝2sinαcosα＋cosα＝.故选C.

2．[2016·西安八校联考]已知函数f（x）＝sin（x∈R），为了得到函数g（x）＝cos2x的图象，只需将y＝f（x）的图象（　　）

A．向左平移个单位B.向右平移个单位

C．向左平移个单位D.向右平移个单位

答案　A

解析　∵f（x）＝sin可变形为

f（x）＝cos＝cos，

∴平移函数g（x）＝cos2x的图象，向右平移个单位长度，即可得到f（x）的图象．

为了得到函数g（x）＝cos2x的图象，只需将y＝f（x）的图象向左平移个单位．故选A.

3．[2016·天津高考]在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝（　　）

A．1B.2

C．3D.4

答案　A

解析　设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝，∠C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1.

4．[2016·江南十校联考]已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）ω>0，|φ|<的最小正周期为4π，且对∀x∈R，有f（x）≤f成立，则f（x）的一个对称中心坐标是（　　）

A.B.

C.D.

答案　A

解析　由f（x）＝sin（ωx＋φ）的最小正周期为4π，得ω＝.因为f（x）≤f恒成立，所以f（x）max＝f，即×＋φ＝＋2kπ（k∈Z），由|φ|<，得φ＝，故f（x）＝sin.令x＋＝kπ（k∈Z），得x＝2kπ－（k∈Z），故f（x）的对称中心为（k∈Z），当k＝0时，f（x）的对称中心为，故选A.

5．[2017·重庆检测]已知α是第四象限角，且sinα＋cosα＝，则tan＝（　　）

A.B.－

C.D.－

答案　B

解析　解法一：

因为sinα＋cosα＝，α是第四象限角，所以sinα＝－，cosα＝，则tan＝＝＝＝－.

解法二：

因为α是第四象限角，sinα＋cosα＝，

则cosα＝，是第二、四象限角，tan＝－＝－＝－＝－＝－.

6.[2016·安庆二模]已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）A>0，ω>0，|φ|<，如图所示，则f（x）的递增区间为（　　）

A.，k∈Z

B.，k∈Z

C.，k∈Z

D.，k∈Z

答案　B

解析　解法一：

由图象可知A＝2，T＝－＝，

所以T＝π，故ω＝2.

由f＝－2，得φ＝2kπ－（k∈Z）．

∵|φ|<，∴φ＝－.

所以f（x）＝2sin.

由2x－∈（k∈Z），

得x∈（k∈Z）．

解法二：

T＝－＝，

所以T＝π，－＝－＝－，

＋＝＋＝，

所以f（x）的递增区间是（k∈Z）．

7．[2016·北京高考]将函数y＝sin图象上的点P向左平移s（s>0）个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则（　　）

A．t＝，s的最小值为B.t＝，s的最小值为

C．t＝，s的最小值为D.t＝，s的最小值为

答案　A

解析　因为点P在函数y＝sin的图象上，所以t＝sin＝sin＝.又P′在函数y＝sin2x的图象上，所以＝sin，则2＝2kπ＋或2＝2kπ＋，k∈Z，得s＝－kπ＋或s＝－kπ－，k∈Z.又s>0，故s的最小值为.故选A.

8．[2017·四川绵阳模拟]已知sinθ＋cosθ＝2sinα，sin2θ＝2sin2β，则（　　）

A．cosβ＝2cosαB.cos2β＝2cos2α

C．cos2β＋2cos2α＝0D.cos2β＝2cos2α

答案　D

解析　sinθ＋cosθ＝2sinα⇒1＋sin2θ＝4sin2α，所以1＋2sin2β＝4sin2α，1＋1－cos2β＝2（1－cos2α），cos2β＝2cos2α，故选D.

9．[2017·辽宁抚顺模拟]将函数f（x）＝2sin的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）＝9，且x1，x2∈[－2π，2π]，则2x1－x2的最大值为（　　）

A.B.

C.D.

答案　C

解析　由题意可得g（x）＝f＋1＝2sin＋1，所以g（x）max＝3，又g（x1）g（x2）＝9，所以g（x1）＝g（x2）＝3，由g（x）＝2sin＋1＝3，得2x＋＝＋2kπ（k∈Z），因为x1，x2∈[－2π，2π]，所以（2x2－x1）max＝2×－＝，故选C.

10．[2017·黑龙江、吉林八校期末]已知△ABC三边a，b，c上的高分别为，，1，则cosA等于（　　）

A.B.－

C．－D.－

答案　C

解析　设△ABC面积为S⇒a＝4S，b＝2S，c＝2S⇒cosA＝＝－，故选C.

11.[2016·河北百校联盟联考]已知函数f（x）＝|sinx|＋|cosx|，则下列结论中错误的是（　　）

A．f（x）是周期函数

B．f（x）的对称轴方程为x＝，k∈Z

C．f（x）在区间上为增函数

D．方程f（x）＝在区间有6个根

答案　C

解析　因为f＝＋

＝|sinx|＋|cosx|＝f（x），所以f（x）是周期为的函数，因为f（x）为偶函数，所以f（x）的对称轴方程为x＝，k∈Z，故A、B项正确；当x∈时，f（x）＝sinx＋cosx＝sin，作出函数f（x）的部分图象如图所示，由图象可知C项错误，D项正确．

12．[2016·长春质检]在△ABC中，D是BC中点，已知∠BAD＋∠C＝90°，则△ABC的形状为（　　）

A．等腰三角形B.直角三角形

C．等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

答案　D

解析　如图，由题可知，∠BAD＋∠C＝∠B＋∠CAD＝90°，在△ABD中，＝＝，在△ADC中，＝＝，所以＝，即sin2B＝sin2C，所以B＝C或2B＋2C＝π，则此三角形为等腰三角形或直角三角形．故选D.

第Ⅱ卷　（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．[2016·浙江高考]已知2cos2x＋sin2x＝Asin（ωx＋φ）＋b（A>0），则A＋b＝________.

答案　＋1

解析　由于2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝sin＋1，所以A＝，b＝1，即A＋b＝＋1.

14．[2016·衡水大联考]已知sin＝，则sin

＝________.

答案　

解析　sin＝sin

＝sin＝cos

＝1－2sin2＝1－2×2＝.

15．[2017·湖北四地七校联考]三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题：

今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？

译文如下：

要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高均为3丈的标杆BC和DE，前后标杆相距1000步，使后标杆杆脚D与前标杆杆脚B与山峰脚H在同一直线上，从前标杆杆脚B退行123步到F，人眼著地观测到岛峰，A、C、F三点共线，从后标杆杆脚D退行127步到G，人眼著地观测到岛峰，A、E、G三点也共线，问岛峰的高度AH＝________步．（古制：

1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步）

答案　1255

解析　如图，由题意BC＝DE＝5步，设AH＝h步，BF＝123步，DG＝127步，＝，HF＝步，同理HG＝步，由题意得（HG－DG）－（HF－BF）＝1000步，即－－4＝1000，h＝1255.

16．[2017·江西九江十校联考]已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C所对的边，且A＝30°，a＝1，D为BC的中点，则||2的最大值为________．

答案　

解析　＝（＋），

||2＝（＋）2＝（2＋2＋2||·||cosA）

＝＝（b2＋c2＋bc）．

根据余弦定理知cosA＝＝，又a＝1，得b2＋c2－1＝bc，故b2＋c2＝bc＋1，由b2＋c2＝bc＋1≥2bc，得bc≤2＋，||2＝（2bc＋1）≤（4＋7）．

三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．[2017·福建福州模拟]（本小题满分10分）已知函数f（x）＝sin2ωx＋cos4ωx－sin4ωx＋1（其中0<ω<1），若点是函数f（x）图象的一个对称中心．

（1）求f（x）的解析式，并求距y轴最近的一条对称轴的方程；

（2）先列表，再作出函数f（x）在区间[－π，π]上的图象．

解　

（1）f（x）＝sin2ωx＋（cos2ωx－sin2ωx）（cos2ωx＋sin2ωx）＋1＝sin2ωx＋cos2ωx＋1＝2sin＋1.（2分）

∵点是函数f（x）图象的一个对称中心，

∴－＋＝kπ，k∈Z，∴ω＝－3k＋，k∈Z.

∵0<ω<1，∴k＝0，ω＝，∴f（x）＝2sin＋1.（4分）

由x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z，

令k＝0，得距y轴最近的一条对称轴方程为x＝.（5分）

（2）由

（1）知，f（x）＝2sin＋1，当x∈[－π，π]时，列表如下：

x＋

－

－

0

π

x

－π

－

－

π

f（x）

0

－1

1

3

1

0

（7分）

则函数f（x）在区间[－π，π]上的图象如图所示．

（10分）

18．[2016·济南质检]（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

已知2cos2＋cosC＝1.

（1）求角C的值；

（2）若c＝2，且△ABC的面积为，求a，b.

解　

（1）2cos2＋（cosB－sinB）cosC＝1，故cosA＋cosBcosC－sinBcosC＝0，（2分）

则－cos（B＋C）＋cosBcosC－sinBcosC＝0，（4分）

展开得：

sinBsinC－sinBcosC＝0，

∵sinB≠0，即tanC＝，∵C∈（0，π），C＝.（6分）

（2）三角形面积为absin＝，故ab＝4.（8分）

由余弦定理得4＝（a＋b）2－2ab－ab，所以a＋b＝4，（10分）

故a＝b＝2.（12分）

19．[2016·四川高考]（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.

（1）证明：

sinAsinB＝sinC；

（2）若b2＋c2－a2＝bc，求tanB.

解　

（1）证明：

根据正弦定理，可设＝＝＝k（k>0），则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC.（2分）

代入＋＝中，有＋＝，变形可得

sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin（A＋B）．（4分）

在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sinC，所以sinAsinB＝sinC.（6分）

（2）由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有

cosA＝＝.因为A∈（0，π），（9分）

所以sinA＝＝.

由

（1），sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，

所以sinB＝cosB＋sinB，（11分）

故tanB＝＝4.（1