幂函数重点Word格式文档下载.docx

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教学目标

整合函数模型及其应用的基本知识与基本方法. 

进一步提升研究函数和应用函数解决实际应用问题的技能

教学重点

幂函数的定义和运用

教学难点

幂函数的图像和性质

教学过程

一.课程导入：

y＝x11（α∈R）在我们之前学习过的函数由有许多,例如y＝x2（α∈R）,y＝x（α∈R）,y＝x-1（α∈R）,

y＝x3（α∈R）等,如果它们在一个坐标系中如图,会发现它们虽然不是同一个函数,但是它们却有共同点,但是函数和函数之间又是有区别的

二、复习预习

本讲复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，掌握求函数最值的常用方法：

配方法、判别式法、不等式法、换元法、导数法等，注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用．

三、知识讲解

考点1、幂函数的定义

一般地，形如y＝xα（α∈R）的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．

考点2、幂函数的图象

在同一平面直角坐标系下，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x

，y＝x－1的图象

考点3、幂函数的性质

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝x－1

定义域

R

[0，＋∞）

{x|x∈R且x≠0}

值　域

{y|y∈R且y≠0}

奇偶性

奇

偶

非奇非偶

单调性

增

x∈[0，＋∞）时，增

x∈（－∞，0]时，减

x∈（0，＋∞）时，减

x∈（－∞，0）时，减

定点

（0,0），（1,1）

（1,1）

四、例题精析

考点一幂函数定义的应用

【例题1】

【题干】已知函数f（x）=（m2-m-1）x-5m-3,m为何值时，f（x）：

（1）是幂函数；

（2）是幂函数，且是（0，+∞）上的增函数；

（3）是正比例函数；

（4）是反比例函数.

【答案】

【解析】

（1）∵f（x）是幂函数，故m2-m-1=1,即m2-m-2=0,

解得m=2或m=-1.

（2）若f（x）是幂函数，且又是（0,+∞）上的增函数，

则

∴m=-1.

（3）若f（x）是正比例函数，

则-5m-3=1,解得

此时m2-m-1≠0,故

（4）若f（x）是反比例函数，则-5m-3=-1,

考点二幂函数的图象与性质

【例题2】

【题干】已知点

在幂函数

的图象上，点

，在幂函数

的图象上．定义

试求函数h（x）的最大值以及单调区间.

【答案】见解析

【解析】设幂函数为f（x）=xα，因为点

在f（x）的图象上，所以

所以α=2，即f（x）=x2；

又设g（x）=xβ，点（

）在g（x）的图象上，所以（－2）β=

，所以β=－2，

即g（x）=x－2.在同一直角坐标系中画出函数f（x）与g（x）的图象，如图所示：

则有：

根据图象可知：

函数的最大值等于1，单调递增区间是（－∞，－1）和（0，1），单调递减区间是（－1，0）和（1，+∞）.

考点三幂函数的性质与应用

【例题3】

【题干】

（1）试比较0.40.2,0.20.2,20.2,21.6的大小.

（2）已知幂函数y=x3m-9（m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上函数值随x的增大而减小，求满足

的a的取值范围.

（1）因为函数y=x0.2在R上为增函数，

且0.2＜0.4＜2,

∴0.20.2＜0.40.2＜20.2,

又函数y=2x在R上为增函数，且0.2＜1.6,

∴20.2＜21.6,

∴0.20.2＜0.40.2＜20.2＜21.6.

（2）∵函数在（0，+∞）上递减，

∴3m-9<

0，∴m<

3，

∵m∈N*，∴m=1,2.

又∵函数的图象关于y轴对称，

∴3m-9为偶数，

当m=1时,3m-9=-6为偶数，

当m=2时,3m-9=-3为奇数，

而

在（-∞,0），（0，+∞）上均为减函数，

等价于

a+1>

3-2a>

0或0>

3-2a或

a+1<

0<

3-2a，

解得a<

-1或

∴a的取值范围是{a|a<

}.

课后评价