四川省德阳市届高三高中级二诊考试 数学理试题word版文档格式.docx
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5
C.∀（x,y）∈Ω,y+2>
3D.∃（x,y）∈Ω,y+2>
9.
平行四边形ABCD中,已知AB=4,AD=3,点E、F分别满足A→E=2E→D,D→F=F→C,且
A→F·
B→E=-6,则向量A→D在A→B上的投影为
A.2B.-2C.3D.-3
10.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、2c,且A=60°
b=3,2为BC边上的中线,若
AD=
b、AD
7,则△ABC的面积为
A.253
B.153
C.15
{ax,x<
1
D.353
11.已知实数a>
0,a≠1,函数f（x）=x2+4x+alnx,x≥1在R上单调递增,则实数a的取
值范围是
A.1<
a≤2B.a<
5C.3<
a<
5D.2≤a≤5
.ABC是边长为的等边三角形EF分别为ABAC的中点沿EF把AEF折起使点A翻折到点P的位置连接PBPC当四棱锥P-BCFE的外接球的表面积最小时四棱锥P-BCFE的体积为
A.53
B.
33
C.
6
D.
36
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分,第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第
22、23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:
共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡上.
13.随着国力的发展,人们的生活水平越来越好,我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状,合理制定学校体育卫生工作发展规划,某市进行了一次全市高中男生身高统计调查,数据显示全市30000名高中男生的身高ξ（单位:
cm）服从正态分布N（172,σ2）,且P（172<
ξ≤180）=0.4,那么该市身高高于180cm的高中男生人数大约为.
14.春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发,为了打赢疫情防控阻击战,我省某医院选派2名医生,6名护士到湖北A、B两地参加疫情防控工作,每地一名医生,3名护士,其中甲乙两名护士不到同一地,共有种选派方法.
15.已知a、b为正实数,直线x+y+1=0截圆（x-a）2+（y-b）2=4所得的弦长为
22,则a+1的最小值为.
16.在△ABC中,B、C的坐标分别为（-22,0）,（22,0）,且满足sinB-sinC=2sinA,O
→→2
为坐标原点,若点P的坐标为（4,0）,则AO·
AP的取值范围为.
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题满分12分）
已知数列{an}满足:
21·
a1+22·
a2+23·
a3+…+2n·
an=（n-1）·
2n+1+2对一切
n∈N∗成立.
（1）求数列{an}的通项公式;
（2）求数列{a
1
n·
an+2
}的前n项和Sn.
18.
（本题满分12分）
如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD中,△ABD为等边三角形,△BCD是等腰三角形,且顶角∠BCD=120°
PC⊥BD,平面PBD⊥平面ABCD,M为PA中点.
（1）求证:
DM∥平面PBC;
（2）若PD⊥PB,求二面角C-PA-B的余弦值大小.
19.（本题满分12分）
贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标.党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战,建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署,即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困,实现全面建成小康社会的奋斗目标.为了响应党的号召,某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作.对某种农产品加工生产销售进行指导,经调查知,在一个销售季度内,每售出一吨该产品获利5万元,未售出的商品,每吨亏损2
万元.经统计A,B两市场以往100个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如下表:
A市场:
B市场:
把市场需求量的频率视为需求量的概率,设该厂在下个销售周期内生产n吨该产品,在A、B两市场同时销售,以X（单位:
吨）表示下一个销售周期两市场的需求量,Y（单位:
万元）表示下一个销售周期两市场的销售总利润.
（1）求X>
200的概率;
（2）以销售利润的期望为决策依据,确定下个销售周期内生产量n=190吨还是n=200
吨?
并说明理由.
20.
5
已知椭圆C:
a2
+y2b2
=1（a>
b>
0）的离心率为5,右焦点为抛物线y2=4x的焦点F.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）
O为坐标原点,过O作两条射线,分别交椭圆于M、N两点,若OM、ON斜率之积为-4
求证:
△MON的面积为定值.
21.（本题满分12分）
已知函数f（x）=eax-x（a∈R,e为自然对数的底数）,g（x）=lnx+mx+1.
（1）若f（x）有两个零点,求实数a的取值范围;
（2）当a=1时,x[f（x）+x]≥g（x）对任意的x∈（0,+∞）恒成立,求实数m的取值范
围.
请考生在22、23二题中任选一题作答.注意:
只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第
一个题目计分,做答时,请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程]（本题满分10分）
已知点A为圆C:
（x-1）2+y2=1上的动点,O为坐标原点,过P（0,4）作直线OA的垂线（当A、O重合时,直线OA约定为y轴）,垂足为M,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）
求点M的轨迹的极坐标方程;
（2）直线l的极坐标方程为ρsin（θ+π）=4,连接OA并延长交l于B,求
23.[选修4-5:
不等式选讲]（本题满分10分）已知函数f（x）=x+1.
（1）求不等式f（x）≤4-2x-3的解集;
（2）若正数m、n满足m+2n=mn,求证:
f（m）+f（-2n）≥8.
的最大值.
德阳市高中2017级“二诊”试题
数学参考答案与评分标准
（理工农医类）
一、选择题（每小题5分,共60分）
题号
3
4
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
C
B
二、填空题（每小题5分,共20分）
13.300014.2415.3+2216.（12,+∞）.
三、解答题
17.解:
（1）∵21·
a1+22·
a2+23·
a3+…+2n·
an=（n-1）·
2n+1+2①
∴当n=1时,21·
a1=2
∴a1=12分
当n≥2时,21·
a1+22·
a2+23·
a3+…+2n-1·
an-1=（n-2）·
2n+2②
①-②得:
2n·
an=n·
2n
∴an=n
适合a1=1,故an=n6分
（2）a
1a+2=n（1+
=1（1n-n+12）
……………………………………8分
∴S=1⎡⎢1
-1）+（1
-1）+…+（1-
+1）⎤⎥
2⎢⎣13
2435
n2⎥⎦
=1（1+1
-n+1
-+1）
221n2
=n（3n+5）.4（n+1）（n+2）
…………………………………………………
12分
18.
（1）证明:
设AB中点为N,连接MN、DN
∵△ABD为等边三角形
∴DN⊥AB
∵DC=CB,∠DCB=120°
∴∠CBD=30°
∴∠ABC=60°
+30°
=90°
即CB⊥AB
∵DN⊥AB∴DN∥BC
∵BC⊂平面PBC,DN⊄平面PBC
∴DN∥平面PBC2分
∵MN为△PAB的中位线
∴MN∥PB
∵PB⊂平面PBC,MN⊄平面PBC
∴MN∥平面PBC4分
∵MN、DN为平面DMN内二相交直线
∴平面DMN∥平面PBC
∵DM⊂平面DMN
∴DM∥平面PBC6分
（2）解:
设BD中点为O,连接AO、CO
∵△ABD为等边三角形,△BCD是等腰三角形,且顶角∠BCD=120°
∴AO⊥BD,CO⊥BD∴A、C、O共线
∵PC⊥BD,BD⊥CO,PC∩CO=C,PC,CO⊂平面PCO
∴BD⊥平面PCO7分
∵PO⊂平面PCO∴BD⊥PO
∵平面PBD⊥平面ABCD,交线为BD,PO⊂平面PBD
∴PO⊥平面ABCD8分
设AB=2,则AO=3
在△BCD中,由余弦定理,得:
BD2=BC2+CD2-2BC·
CD·
cos∠BCD
又∵BC=CD∴22=2BC2-2BC2·
cos120°
∴CB=CD=23,CO=3
∵PD⊥PB,O为BD中点
∴PO=1BD=1
建立直角坐标系O-xyz（如图）,则
C（-3,0,0）,P（0,0,1）,A（3,0,0）,
B（0,1,0）9分
∴B→A=（3,-1,0）,P→A=（3,0,-1）
设平面PAB的法向量为→n=（x,y,z）,则
{→n·
P→A=0{
3x-y=0
3x-z=0
取x=1,则y=z=3
∴→n=（1,3,3）…………………………………………………………
10
分
平面PAC的法向量为O→B=（0,1,0）
cos<
→n,O→B>
=
=217
…………………………………
11
∵二面角C-PA-B为锐角
∴二面角C-PA-B的余弦值大小为21.……………………………
19.解:
（1）设“A市场需求量为90,100,110吨”分别记为事件A1,A2,A3,“B市场需求量为
90,100,110吨”分别记为事件B1,B2,B3,则P（A1）=0.2,P（A2）=0.5,P（A3）=0.3
P（B1）=0.1,P（B2）=0.6,P（B3）=0.3.P（X>
200）=P（A2B3+A3B2+A3B3）
…………………………………2分
=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2）+P（A3）P（B3）
=0.5×
0.3+0.3×
0.6+0.3×
0.3=0.425分
（2）X可取180,190,200,210,220
P（X=180）=P（A1B1）=0.2×
0.1=0.026分
P（X=190）=P（A2B1+A1B2）=0.5×
0.1+0.2×
0.6=0.17………7分
当n=190时,E（Y）=（180×
5-10×
2）×
0.02+190×
5×
（1-0.02）=948.6
……………………………………………………………………………9分
当n=200时,E（Y）=（180×
5-20×
0.02+（190×
0.17+200×
（1-0.02-0.17）=985.3
∵948.6<
985.3
…………………………
11分
∴n=200时,平均利润大,所以下个销售周期内生产量n=200吨.
20.解:
（1）抛物线y2=4x的焦点为F（1,0）
∴c=1
…12分
∵e=5
c=5
a5
∴a=5,b=2
∴椭圆方程为x2
+y2
=13分
（2）当MN与x轴垂直时,设直线MN的方程为:
x<
t<
5,t≠0）
x2
代入5
=1得:
M（t,25-t2）,N（t,-2）
∴k·
k=
5-t2
5·
=-4·
12t
t5t2
∴-4·
5-t2=-4
解得:
t2=5
∴S△MON
t2
=1
t·
=54分
当MN与x轴不垂直时,设M（x1,y1）,N（x2,y2）,MN的方程为y=kx+m
⎧⎪y=kx+m
由⎨x2
⎪⎩5
y2=1
⇒（4+5k2）x2+10kmx+5m2-20=0
……………5分
由△>
0⇒5k2+4>
m2①
x1+x2
=-10km
4+5k2
x1·
=5m2-206分
∵k·
k
=-4
∴y1·
y2
∴5yy
+4xx
=0……7分
OMON5
x1x25
1212
即（5k2+4）x1·
x2+5mk（x1+x2）+5m2=0
∴（5k2+4）·
5m2-20+5mk·
（-10km）+5m2=0
整理得:
2m2=5k2+4
代入①得:
m≠0
…………………………………………………9分
MN=1+k2（x1+x2）2-4x1·
=1+k2·
10km
25m2-20
4+52k
=451+k25k2+4-m2
………………………………
O到MN的距离d=m
1+k2
…………………………………………
1
MON2
MNd
=25
=5
m
2m2
综上:
S△MON=5为定值.………………………………………………
21.解:
（1）f（x）有两个零点⇔关于x的方程eax=x有两个相异实根由eax>
0,知x>
0
12
∴f（x）有两个零点⇔a=lnx有两个相异实根.
令G（x）=lnx,则G′（x）=1-lnx
…………………………1分
xx2
由G′（x）>
0得:
0<
e,由G′（x）<
x>
e
∴G（x）在（0,e）单调递增,在（e,+∞）单调递减
∴G（x）max=G（e）=1e2分
又∵G
（1）=0∴当0<
1时,G（x）<
0,当x>
1时,G（x）>
当x→+∞时,G（x）→03分
∴f（x）有两个零点时,实数a的取值范围为（0,1e）4分
（2）当a=1时,f（x）=ex-x
∴原命题等价于xex≥lnx+mx+1对一切x∈（0,+∞）恒成立
⇔m≤ex-lnx-1对一切x∈（0,+∞）恒成立5分
令F（x）=ex-lnx-1（x>
0）∴m≤F（x）min
xx
F′（x）=ex+lnx=x2ex+lnx
x2x2
令h（x）=x2ex+lnx,x∈（0,+∞）,则
h′（x）=2xex+x2ex+1x>
0
∴h（x）在（0,+∞）上单增
e
又h
（1）=e>
0,h
（1）=e1e-2-1<
e0-1=0
∴∃x0∈（1e,1）,使h（x0）=0即x2ex0+lnx0=0①当x∈（0,x0）时,h（x）<
0,当x∈（x0,+∞）时,h（x）>
0即F（x）在（0,x0）递减,在（x0,+∞）递增
…………7分
∴F（x）min=F（x0）=ex0-lnx0-1
………………………………………8分
x0x0
由①知x2ex0=-lnx∴xex0=-lnx0=1ln1
=（ln1）elnx1
000
x0x0x00
∵函数φ（x）=xex在（0,+∞）单调递增
∴x0=lnx1即x0=-lnx0…………………………………………………
∴F（x）
=e-lnx0--x0-1
+1-1=1
………………………
min
∴m≤1
x0x0x0x0
∴实数m的取值范围为（-∞,1]12分
22.解:
（1）设M的极坐标为（ρ,θ）,在△OPM中,有ρ=4sinθ
∴点M的轨迹的极坐标方程为ρ=4sinθ4分
（2）设射线OA:
θ=α,α∈（-π,π）,圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ
由ρ=2cosθ得OA=ρθ=α1
⎧⎪ρsin（θ+π）=4
=2cosα5分
由⎪3
得:
OB=ρ2=
………………………6分
⎪⎩θ=α
∴
=2cosα
sin（α+3）
sin（α+π
=1cosα·
sin（α+π）
=1cosα（sinαcosπ
+cosαsinπ）
233
=1sinαcosα+3cos2α
44
=1sin2α+3（cos2α+1）
88
=1sin（2α+π）+3
…………………………………………8分
438
∵α∈（-π,π）∴-2π<
2α+π<
4π
22333
∴当2α+π=π,即α=π时,（OA）=2+39分
3212
OBmax8
∴的最大值为2+3..…………………………………………
10分
-（+--x1）（2x3）≤4
23.解:
（1）f（x）≤4-2x-3等价于{x<
-1或
⎧⎪-1≤x≤3
⎧⎪x>
3
⎪2或⎨2
⎪⎩（x+1）
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