青岛版九年级数学12怎样判定三角形相似自主学习培优练习题1附答案详解.docx

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青岛版九年级数学12怎样判定三角形相似自主学习培优练习题1附答案详解

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习培优练习题1（附答案详解）

1．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：

EA=3：

4，EF=6，则CD的长为（　　）

A．14B．17C．8D．12

2．如图，直角△ABC中，∠B=30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为（）

A．B．C．D．

3．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（）

A．B．C．D．

4．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，，那么的比值等于（）

A．B．C．D．

5．下列各组图形中不一定相似的是（）

A．各有一个角是45°的两个等腰三角形

B．各有一个角是60°的两个等腰三角形

C．各有一个角是105°的两个等腰三角形

D．两个等腰直角三角形

6．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（）

A．B．C．D．

7．如图，在中，，、分别是、边上的高，连接，和的周长比为（）．

A．B．C．D．

8．如图，已知在中，，，，点是的重心，则点到所在直线的距离等于（）

A．B．C．D．

9．如图，正方形ABCD的边长为4cm，E为CD边的中点，，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于__________cm．

10．如图，已知：

△CAB∽△DEB，则BD·CA=________．

11．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD：

DC＝5：

3，

则DE的长等于．

12．如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，EF交AC于点G，则的值是__________．

13．如图，正方形ABCD内接于⊙O，AD=2，弦AE平分BC交BC于P，连接CE，则CE的长为_____．

14．如图，直线，等腰直角三角形的三个顶点，，分别在，，上，，交于点，已知与的距离为，与的距离为，则的值为__________．

15．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点E为AB边的中点，∠DEC=∠A．有下列结论：

①DE平分∠AEC；②CE平分∠DEB；③DE平分∠ADC；④EC平分∠BCD．其中正确的是_______________.（把所以正确结论的序号都填上）

16．如图，DE是△ABC的中位线，DC、BE相交于点O，OE＝2．则BE的长为____．

17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在边BC上，且CD=3cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点运动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C运动，过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ，设动点运动时间为ts（0＜t＜4）．

（1）连接DP，当t＞1时，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？

请说明理由；

（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值，总有PQ与AB平行．为什么？

（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形？

18．如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO＝78cm，BO＝42cm，CD＝159cm，求CO和DO．

19．已知正方形的对角线，相交于点．

（1）如图1，，分别是，上的点，与的延长线相交于点．若，求证：

；

（2）如图2，是上的点，过点作，交线段于点，连结交于点，交于点．若，

①求证：

；

②当时，求的长．

20．如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？

21．如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点D、E、F.

（1）求证：

；

（2）联结EF，求证：

.

22．如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，AD与△ABC的外接圆交于点D，AC，BD相交于点P，连接CD．

求证：

AB∶BD＝BP∶PC．

23．已知，在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC∽△，求△中的第三边长．

24．如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，CD⊥AB，垂足为P，求证：

PC2＝PA·PB

参考答案

1．A

【解析】

∵DE：

EA=3：

4，∴DE:

AD=3：

7.

∵EF∥AB,∴EF:

AB=DE:

AD=3：

7，∴AB=6×7÷3=14.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=14.

故选A.

2．D

【解析】

试题分析：

∵点O是△ABC的重心，∴OC=CE，∵△ABC是直角三角形，∴CE=BE=AE，∵∠B=30°，∴∠FAE=∠B=30°，∠BAC=60°，∴∠FAE=∠CAF=30°，△ACE是等边三角形，∴CM=CE，∴OM=CE﹣CE=CE，即OM=AE，∵BE=AE，∴EF=AE，∵EF⊥AB，∴∠AFE=60°，∴∠FEM=30°，∴MF=EF，∴MF=AE，∴==．故选D．

考点：

三角形的重心；相似三角形的判定与性质；综合题．

3．D

【解析】

试题解析：

∵AH=2，HB=1，

∴AB=3，

∵l1∥l2∥l3，

∴.

故选D．

4．D

【解析】

解：

∵AD：

DB=1：

2，∴AD：

AB=1：

3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=1：

9．故选D．

5．A

【解析】

【分析】

判定三角形相似的方法：

①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．

【详解】

解：

A、由已知我们可以得到这是两个正三角形，从而可以根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似；

B、不正确，因为没有指明这个45°的角是顶角还是底角，则无法判定其相似；

C、正确，已知一个角为105°，则我们可以判定其为顶角，这样我们就可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似；

D、正确，因为是等腰直角三角形，则我们可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定这两个三角形相似．

故选B．

【点睛】

本题考查学生对常用的相似三角形的判定方法的掌握情况，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．

6．B

【解析】

试题分析：

如图，连接BE．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=90°，在Rt△ADE中，AE===，∵S△ABE=S矩形ABCD=3=•AE•BF，∴BF=．故选B．

考点：

相似三角形的判定与性质；矩形的性质．

7．B

【解析】

∵，，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴．

故选．

8．A

【解析】

试题分析：

如图，根据三角形的重心是三条中线的交点，根据等腰直角三角形可知CD=3，可连接CP并延长交AB于D，则∠CDB=90°，连接BP交AC于点E，并延长到F，使EF=PE，然后可知△AEF≌△CEP，可得∠FAD=90°，CP=AF=3-DP，因此可根据两角对应相等的两三角形相似，可得△BPD∽△BFD，即，由此得到，解得PD=1.

故选：

A.

考点：

1、三角形的重心，2、等腰直角三角形，3、相似三角形的判定与性质

9．1.5或2.5

【解析】

①过P作PN⊥BC，交BC于点N，如图所示：

则∠PNQ=∠APN=90°，

∵四边形ABCD为正方形，边长为4cm，E为CD边的中点，

∴AD=DC=PN=4，∠D=90°，DE＝2

∴AE=，

在Rt△ADE和Rt△PNQ中，

∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），

∴∠DAE=∠NPQ，

∵∠APQ+∠NPQ=90°，

∴∠APQ+∠DAE=90°，

∴∠AMP=90°，

∵M为AE的中点，

∴AM=＝，

∵∠AMP=∠D=90°，∠PAM=∠EAD，

∴△APM∽△AED，

∴，即，

∴AP=2.5；

②根据对称性得：

PD=2.5

AP=AD-PD=4-2.5＝1.5；

故答案是：

1.5或2.5。

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．

10．BC·DE

【解析】

因为：

△CAB∽△DEB，则

11．

【解析】

试题分析：

∵∠ADC=∠BDE，∠C=∠E，∴△ADC∽△BDE，∴，

∵AD=4，BC=8，BD：

DC=5：

3，∴BD=5，DC=3，∴DE=．故选B．

考点：

相似三角形的判定与性质．

12．.

【解析】

解：

连接BD，与AC相交于O，∵点E、F分别是AD、AB的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥DB，且EF=DB，∴△AEF∽△ADB，∴，∴，∴，∴AG=GO，又OA=OC，∴AG：

GC=1：

3，∴AG：

GC=1：

4．故答案为：

．

点睛：

考查了三角形的中位线，平行四边形的性质的应用，主要考查学生的推理能力．

13．

【解析】试题分析：

根据题意可知AB=2，BP=1，根据勾股定理可知AP=，根据图像可得：

△ABP和△CEP相似，则，即，解得：

CE=.

点睛：

本题主要考查的就是圆的基本性质以及三角形相似的应用.解决本题的关键就是能够根据题意得出三角形相似，然后根据相似的性质求出未知线段的值.在解答圆中的相似问题时，我们一定要学会根据弧和角之间的关系得出角相等，然后再利用相似进行计算.在圆里面的很多题目我们需要通过转化成直角三角形来进行求解.

14．

【解析】

如图所示，过点作于点，交直线于点．

∵，

∴所以，

又∵，

∴，

∴，

故．

设，则，

在中，由勾股定理得，

，

．

在中，由勾股定理得

，

故．

点睛：

本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，学会添加适当的辅助线，构造出相似三角形，能综合运用定理进行推理是解此题的关键.

15．③④

【解析】

试题分析：

在△ADE中，∠ADE+∠AED+∠A=180°，又∠AED+∠DEC+∠BEC=180°，可得∠ADE+∠AED+∠A=∠AED+∠DEC+∠BEC，由∠A=∠DEC，可得∠ADE=∠BEC，又∠A=∠B，根据两角对应相等的两三角形相似，可得△ADE∽△BEC，可得，又AE=BE，得到，又∠DEC=∠B，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可知△CDE∽△CEB，然后根据相似三角形的对应角相等，可得∠DCE=∠BCE，因此EC平分∠BCD，即④成立；同理△ADE∽△EDC，因此DE平分∠ADC；即③成立；而①DE平分∠AEC不一定成立；②CE平分∠DEB不一定成立．

故答案为：

③④.

16．6．

【解析】

试题分析：

根据中位线的性质可得：

DE∥BC，DE=BC，则△DOE∽△COB，则，解得：

OB=2OE=4，则BE=OB+OE=4+2=6.

点睛：

本题主要考查的就是三角形相似的判定与应用以及三角形中位线的性质，解决本题的关键就是根据中位线的性质得出三角形相似.三角形的中位线平行且等于第三