数学建模电力生产问题Word下载.docx
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我们身边处处都需要电，小到电灯、电扇，大到飞机、卫星.对电力资源的合理利用是目前重要任务之一.在可持续发展的社会中，如何节约资源、提高效率是当前社会面临的重要问题之一，本题即是要求合理分配发电机使用数量，以减小发电成本的问题。
题目要求：
为满足每日电力需求（单位为兆瓦（MＷ）），可以选用四种不同类型的发电机。
每日电力需求如下表1。
表1：
每日用电需求（兆瓦）
时段（0-2４）
0-６
6-9
9-１2
1２—1４
14－18
18-２2
22-24
需求
１2
每种发电机都有一个最大发电能力，当接入电网时，其输出功率不应低于某一最小输出功率。
所有发电机都存在一个启动成本，以及工作于最小功率状态时的固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个成本,即边际成本。
这些数据均列于表2中。
表2：
发电机情况
可用数量
最小输出功率（ＭＷ）
最大输出功率（ＭW）
固定成本（元/小时）
每兆瓦边际成本（元/小时）
启动成本
型号１
2.７
5０00
型号2
１
2.２
１600
型号３
1２
。
２４０0
型号4
３
3。
12０0
只有在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机。
与启动发电机不同，关闭发电机不需要付出任何代价。
本文要解决的问题有：
问题一：
试确定在每个时段应分别使用各型号发电机的数量，以使每天的总成本最小，并求出最小总成本.
问题二：
在现实生活中，用电量不可能恒定不变，所以为了更符合实际,增强方案的可行性，要求发电机要保留一定的发电能力，以应对突发情况。
所以假设:
在任何时刻,正在工作的发电机组必须留出20％的发电能力余量，以防用电量突然上升.试确定每个时段又应分别使用各型号发电机的数量,以使每天的总成本最小,并求出此时的最小总成本。
二．模型的假设
假设１：
在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机。
假设2：
发电机工作期间不发生任何故障。
假设3:
发电机之间的摩擦不消耗功率.
假设4：
发电机输出过程其功率始终保持不变。
假设5：
关闭发电机过程不做任何考虑.
假设6：
关闭和启动发电机时均是瞬时完成，不记相应使用的时间。
假设７：
发电机自身不消耗功率。
假设8:
在一时段内，每小时所需要的功率
相等.
三．符号说明
符号
符号说明
时段，取1、2、3、4、5、6、7
发电机型号，取1、2、3、4
第i时段型号ｊ发电机使用数量
第i时段单个型号j的功率
发电机在第i时段的工作时间
发电机在第i时段的总成本
每天的总成本
型号ｊ发电机的最小输出功率
型号j发电机的固定成本
型号j发电机工作时的每兆瓦边际成本
每台型号j的启动成本
第i时段ｊ型号发电机的总启动成本
第ｉ时段每小时所需要的功率
四．模型的建立与求解
问题
（一）
1.1 模型分析
该问题是一个分段求解问题，比较复杂不易求出精确的最优解，故只能近似求出其最优解来。
我们把每天分为７个时段，通过求每个时段发电机使用的总成本来求每天的总成本，即为各各时段总成本之和.然后要确定发电机在每个时段所使用的发电机的型号以及所使用的数量和输出的实际功率,而每个时段的总成本是由三个部分组成的,分别为:
固定成本、启动成本、边际成本。
据此对每个时段建立模型及其相应的约束条件，又各各时段中若已经启动的发电机就不用再启动,所以无需相应的额外启动成本,故第1时段与后6个时段计算情况不同，所以我们要分时段来求各时段的启动成本。
1．２模型的建立
1.2。
1确定目标函数
我们确定的目标函数是为了解决电力生产优化问题。
在满足需求量的情况下,为了使每天发电成本最低，则需要每个时段有最小成本,所以我们建立如下目标函数
为了解决问题,我们进一步研究每个时段的最小成本，由于成本由启动成本、固定成本、边际成本组成，所以我们经分析可得出第i时段的总成本为：
因为
代表第i时段j型号发电机的总启动成本，在第１是时段时,开多少发电机,就需要多少次启动成本.而从第二次开始，如果比上一时间段开机少,本时段就不需要此启动成本；
如果开机比上一时段多，则只需要计算多出发电机的启动成本.所以，我们最终得出第i时段j型号的启动成本公式为：
１.2.2确定约束条件
ⅰ.因为
代表第ｉ时段型号j发电机使用数量，所以
应小于等于本型号发电机总的数量，且为整数，即：
（
为整数）
ⅱ。
同时由于
代表第i时段单个型号j的功率,所以
的大小应该介于最小输出功率与最大输出功率之间,即：
ⅲ．发电机的发电量要满足电量需求,而
代表第i时段每小时所需要的功率,所以每小时发电量要大于等于
，即：
１。
2.３综上所述,得到问题一的最优化模型
（
必须取整数）
1。
３模型的求解.
首先,我们分析题目得到，总成本由启动成本、固定成本、边际成本组成。
启动成本：
分析易知，启动成本只与本型号发电机的数量有关，与其输出功率无关。
其值为：
各型号发电机数量与其各自的启动成本之积的求和.
固定成本：
因为当发电机接入电网时,其输出功率不应低于其最小输出功率,而发电机功率大于等于最小功率时有固定的每小时成本（即固定成本）,所以固定成本与其输出功率大小无关,只与本型号启动的发电机数量有关。
各型号发电机数量与其固定成本、工作时间之积的求和。
边际成本:
如果发电机输出功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个成本,即边际成本,此部分成本不仅与发电机数量有关，还与发电机输出功率有关.其值为:
各型号发电机数量乘以工作时间乘以各自边际成本乘以超出功率。
所以,经过上述分析，我们应用LIＮＧO程序进行编程（程序见附录）计算,最终得出每时段各型号发电机的使用数量及其各自的功率。
由各型号发电机使用数量及各自功率可求出各时段内的最小成本及一天的最小总成本,具体的数据见表一：
表一:
问题一求解结果
６—9
９—12
１2—１４
14-18
1８-22
２2-24
型号1发电机数量
5
型号1发电机功率
——
175
0０
１７50
型号2发电机数量
型号２发电机功率
15０0
型号3发电机数量
型号3发电机功率
２０0０
型号４发电机数量
型号4发电机功率
-—
21６7
181６
注:
表中“—－”表示发电机数量为0时，讨论功率没意义。
１．4问题一的结果分析
对表一进行深入观察可知：
型号2、型号3发电机使用频率相当高，且多为满功率工作，而型号1发电机虽然有10台，但其使用数量不多，所以建议对型号2、型号3进行定时维修,或增配型号2及型号3发电机数量，可适当减少型号１发电机的数量,以降低成本.
经过对结果数据的再分析、再检验,结合网上的调查情况与相关资料，我们的结果的确较为符合实际情况，有较大的参考价值,比较优越.
问题
（二）
2.１模型的讨论
根据对问题一的分析,我们已经基本理清了计算发电成本的思路。
在本问中,我们只需对问题一加以约束、改进,就可以得出结果。
本问所加要求为:
在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出２0%的发电余量,以防止突然上升.我们对此问题进行安全性较高的保守计算:
在计算电力需求量时,由于发电机在某些时候可能保留了20％的发电能力，所以此时发电机要按80％的输出功率计算；
而在考虑成本及限制条件时，又因为发电机在某些时候可能会全力发动,所以此时发电机要按100%的输出功率计算，而其余的求解思路与问题一一致.
2。
2模型建立
2.1确定目标函数
在满足需求量的情况下，为了使每天发电成本最低，则需要每个时段有最小成本,所以我们建立如下目标函数
为了解决问题，我们进一步研究每个时段的最小成本,由于成本由启动成本、固定成本、边际成本组成，所以我们经分析可得出第i时段的总成本为:
代表第i时段j型号发电机的总启动成本，在第1是时段时，开多少发电机,就需要多少次启动成本。
而从第二次开始,如果比上一时间段开机少，本时段就不需要此启动成本;
如果开机比上一时段多,则只需要计算多出发电机的启动成本。
所以,我们最终得出第i时段j型号的启动成本公式为：
2．２.2确定约束条件
ⅰ。
代表第i时段型号j发电机使用数量，所以
应小于等于本型号发电机总的数量，且必须为整数,即:
必须为整数）
ⅱ．由于
代表第i时段单个型号ｊ的功率,所以
的大小应该介于最小输出功率与最大输出功率之间。
然而,本文中因为发电机可能会保留20％的发电能力，所以,为了安全起见，在发电机以80%的发电能力工作时,其８0％的输出功率也应大于等于最小输出功率，即:
ⅲ．发电机的发电量要满足电量需求，而
代表第i时段每小时所需要的功率，所以每小时发电量要大于等于
然而，本文中因为发电机可能会保留20%的发电能力，所以，为了安全起见，在发电机以８０%的发电能力工作时,其每小时发电量也应要大于等于
即:
2.2.3综上所述，得到问题二的最优化模型
必须取整数。
）
２．3模型的求解
本问求解过程与问题一类似,只需注意以下几点：
因为工作的发电机组必须留出2０％的发电余量,所以限制条件中的发电量需求条件、输出功率条件均有所改变,按最新修改的问题二最优化模型，利用LIＮＧＯ软件重新编程（程序见附录）计算,最终得出每时段各型号发电机的使用数量及其功率。
由各型号发电机使用数量及其功率可求出各时段内的最小成本及一天的最小总成本，具体数据见表二。
表二:
问题二求解结果
0-6
9—１２
12—14
22—24
7
--
１75
５0
165６
937
型号2发电机功率
1２5
型号３发电机功率
2000
型号4发电机数量
－—
25
25０
2250
23
５887
27
表中“--”表示发电机数量为0时,讨论功率没意义.
2．４模型二的分析
对表二进行深入观察可知:
型号２、型号3发电机使用频率相当高，且多为满功率工作。
所以建议对型号2、型号3进行定时维修，或增配型号2及型号3发电机数量.通过与表一对比分析得：
型号１发电机在问题二的前提下使用数量得以提高。
本模型中,在计算电力需求量时，由于发电机在某些时候可能保留了20%的发电能力，所以此时发电机要按８0%的输出功率计算；
而在考虑成本及限制条件时,又因为发电机在某些时候可能会全力发动，所以此时发电机要按100%的输出功率计算。
分析易知,这样分析，安全性大大提高。
本模型对题目要求（发电机保留２0%发电能力）考虑周到，大大提高了模型的安全性,虽然短期内成本略有所加，但从长远角度来看,还是大大降低了发电厂的成本，增加了收益.
五．模型的误差分析
本题主要是一个有关分段求最优解的问题，因此其最终解是一个近似值，存在一定的误差,前面对于模型的假设可知，发电机自身不消耗功率那是不可能的，其之间由于有摩擦力以及要散热等都需要消耗功率，另外，发电机输出过程其功率始终保持不变也是理想情况下才存在的，所以也有一定的误差,还有在开启以及关闭发电机时不仅有功率损耗方面的误差,而且还有时间方面的误差，这些都会对模型的建立有一定程度上的影响。
六．模型评价
模型的优点
1.1本文采用了最优化的算法。
在满足使用的前提下，运用最优化算法，使每个时间段使用的发电机数量最少以达到提高效率，降低成本的目的。
１．2分七个时间段，每个时间段的计算公式相当类似，计算时只需改变其中的几个常数及变量范围即可，简单方便。
３本文解答的第二问中，运用了最安全保守的计算体系，提高了本算法的可行性，使之更加符合实际,有较大的调整空间.从长远角度看，也降低了成本,增加收益。
1.4我们建立的数学模型,求出了第一天内发电机使用计划。
通过我们求得各时段各型号发电机使用的数量分析看来，在后来的时间２４：
00与00：
00的交替过程中，只须改变几台发电机的开关情况。
第二天就可以依然按着前一天的计划方案继续工作,这样就构成了一个循环，无论使用计划时间多长都可以实现.
1.５本文采用了ｌiｎgo程序编程.利用linｇｏ程序方便解决线性规划问题的优点，来得出各时段各型号发电机使用的数量以使其成本最低。
１.6有顺序，有步骤地给出优化方案,把复杂的问题简单明朗化,显得通俗易懂。
模型的不足
1本文的算法虽然原理较为简单，但是运算时间相对而言较长.
2由于分时段计算,且后一时间段的计算需要依靠前一时间段的计算结果，所以此算法独立性不强,需要每个时间段的结果必须准确.
七．模型的改进与推广
1、模型的改进：
（1）建模时没有考虑发电机启动机器关闭的时间消耗，若考虑这些时间消耗将会使费用相应的增加，因此我们可以对该模型启动以及关闭时间进行缩短;
（2）所建的模型是针对其输出功率始终保持不变的,但实际上其在传送以及散热等方面都会损耗，因此功率也是不断变化的，若考虑这些损耗,将会使计算趋于复杂不易得到近似的最优解,因此应改变发电设施使输出功率基本保持不变或变化很小。
（3）由于发电机可能发生故障,所以建议每种型号都备份几台，特别是使用频率高的型号2、型号3发电机。
２、模型的推广:
该种分段式求最优解的问题在经济市场经常出现，如股票的分段涨跌，发电厂电力的配置，银行不同方式的存利率,以及对不同市场的投资。
八．参考文献
［1］宣明数学建模与数学实验,浙江 浙江大学出版社 20１0
[2］谢金星优化建模与LＩＮDＯ／LINGO软件,北京 清华大学出版社２00５
[3］宋来忠数学建模与实验,北京 科学出版社 2０0５
九．附录
问题一程序：
!
第1时段;
mｏdeｌ:
ｍｉn=５000*ｘ1１+22５0*6*x１1+（ｙ11—750）＊6＊2.７*x１１+１6０0＊x1２＋1800＊6＊x12+（y12—100０）＊6＊2。
２*x１2+2400*x1３+3７50*6＊x１3+（ｙ13—１200）*6＊1.8*x13+1200＊ｘ14+4800＊6*x14+（y1４—１800）＊６＊3.８＊ｘ14；
x11*ｙ11+ｘ1２*y12＋x1３*ｙ13+x１4＊y14〉=１2000;
x11>
=０;
x１1<
=１0;
y11>
＝7５0；
y１1〈=1750;
ｘ12>
=0;
x12<
=4;
y1２〉＝10０0;
ｙ１2〈=1500;
x1３>
=0；
ｘ13<
=8；
ｙ13>
=１２００；
y1３〈＝2000；
x1４〉=0；
x14〈=３;
y1４〉=1800；
ｙ14〈＝3500；
＠gin（ｘ11）；
＠gｉｎ（x12）;
＠gｉｎ（x13）;
@gin（ｘ1４）;
eｎd
第2时段；
modｅl：
min=５０00*x21＋2２50＊3＊ｘ２1+（y21－７50）*3＊2.7*x21＋1６0０*＠iｆ（4-x２２#ge＃０，０,x22—４）+18０0＊３*x22+（y22—1000）*３*2.2＊x２２+2400＊＠ｉｆ（３-x２3#gｅ＃0,0,x23－3）+3750＊3＊x23+（y23-1200）*3＊1.8＊x23+1200*x2４+4800*3*x24+（ｙ24－１80０）＊３*３。
8＊x24；
x21*y21＋ｘ2２*y2２+x２３＊y23+ｘ２4*y２４>
＝３20０0;
x2１〉=０；
ｘ21<
=1０;
y21>
=750；
y２1＜=１750;
x22>
ｘ22<
＝４；
y22＞=1００0；
y２2〈＝1５0０；
ｘ23＞=0；
x２3＜=8；
ｙ2３＞=1200;
y２3<
＝２00０；
x２４〉=0；
x24＜=3；
y24〉=1800；
y24〈＝3500;
＠gｉn（x２1）;
＠giｎ（x2２）；
＠gｉn（x23）;
＠gin（x２4）;
end
！
第３时段;
mｏdel：
min=5000＊＠if（5-ｘ31#ｇe#０,0，x31-5）+22５0＊3*ｘ31+（y31—750）＊3＊２。
7＊x３1+16０0＊＠if（4—ｘ3２＃gｅ#0,0,x３2－４）+1８00＊3＊x32+（ｙ32—100０）*3*2。
2＊x32+2400*@ｉf（8—ｘ33#ｇe＃0，0,ｘ33-8）＋３7５0*3*X33＋（y33-12０0）＊3＊３。
8＊x33+１200*@if（３-x34＃ge#0,0，x3４—3）+4800*3*ｘ34+（y３4-1８00）＊3＊３．８＊ｘ３4；
x31*ｙ31＋x３2＊y３2+x3３＊ｙ３3＋x3４＊y34〉=25000；
ｘ３1〉=0;
ｘ31〈＝10；
y３１〉=７50;
y31＜=１75０；
x32＞＝0；
ｘ32<
=４；
y3２>
=1000;
y32〈=1500；
x33>
ｘ33<
=8;
y3３>
=1200；
y3３＜＝200０；
x３4>
x3４〈=3；
y3４〉=１800；
y34<
=35０0;
＠ｇin（x31）;
＠gｉｎ（x32）；
@gin（x3３）；
@gin（x３4）;
第4时段；
modｅl:
ｍiｎ=５000*@iｆ（５－x41＃ｇｅ#0,0，x41—5）+2250＊2*x4１+（y41—７5０）*２*2。
7*ｘ41+１600＊＠if（4—x42#ge#0，0,x４2-4）+１8０0＊2*ｘ4２＋（y42-100０）＊２＊2．2＊ｘ42＋2400*＠if（8—x43＃ｇe＃0，０,x4３－８）+37５0*2＊x43+（y43－1２００）＊2*1.８*x43＋1２０0*＠if（2－x４4＃ｇe＃0,0，ｘ４4－２）+4８00*2＊x44+（y44-1800）*2*3．8＊ｘ44;
x４1＊ｙ41＋x4２*ｙ42+x4３*ｙ43＋x４４*y44〉=3６000；
x41〉=０;
x41＜=1０;
y4１>
=750;
ｙ４1＜＝1750；
x42>
x4２<
=4；
y42>
＝１0００;
y42〈＝1500；
ｘ43＞=0;
x43〈=8；
y43＞＝1200；
y4３〈=2000；
x４４>
ｘ４4<
＝3;
ｙ44>
=18０0;
y４４<
＝35００；
＠ｇin（x41）;
@ｇiｎ（x４２）;
@gin（x43）;
@gｉｎ（ｘ44）；
第5时段；
ｍodｅｌ：
ｍｉn=50０0＊＠ｉf（６—ｘ51＃gｅ＃0，0，x5１-6）+2250＊４＊x5１+（y５1—750）＊4＊2.７＊x5１+1６00＊@ｉf（4-ｘ52＃gｅ#0,０，x52—4）＋18０0＊４＊x52＋（y５2－10００）*4＊２。
２＊x52+2400＊@if（8—x5３＃ｇe＃0，０,ｘ５３—8）+3750＊4＊x53+（y53—1200）＊4＊１。
8＊ｘ53＋1200*＠ｉf（3－ｘ54#ｇｅ#０，0,x5４—3）+4８0０*4＊x54+（y54－1800）*４＊3.８＊x54；
x５1＊y５１+x52＊y５２+ｘ53＊y５3+x54*y5４＝2500０；
x５１＞=0;
ｘ51<
=10;
y51>
＝７50；
y5１〈＝1750;
ｘ52〉=0;
x52＜=４；
ｙ52〉=100０;
y52<
＝15０0；
x５３>
x53<
y５3〉=1２00；
y53<
=2000;
ｘ54>
x5４<
=3；
y54>
=1800；
ｙ54〈=350０；
@gｉn（x5１）；
@ｇin（x５2）;
@gin（x５3）；
＠ｇiｎ（x5４）；
第６时段;
ｍiｎ=5000*x61+2250*4*ｘ６１+（y６1-7５0）＊4＊２．7＊x61＋1600＊@iｆ（4—x６2＃ge＃0,0，ｘ62-４）＋１800＊4*x62＋（y62-1000）*4＊2．2*x62+2400＊@if（8-ｘ６3＃gｅ#0，0,x63—8）+3750＊４*ｘ6３+（y63-１20０）＊4＊1.８＊x63＋1200*＠if（３-x64#gｅ＃0,0，x6４-3）＋４8０0*4＊x６４+（y64—1800）＊4＊3．8＊x64;
x61
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