3集合间的基本运算Word文档格式.docx
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5.补集的性质
∁UU=∅,∁U∅=U,∁U(∁UA)=A.
三、典型例题
知识点一 集合并集的简单运算
例1
(1)设集合M={4,5,6,8},集合N={3,5,7,8},那么M∪N等于( )
A.{3,4,5,6,7,8}B.{5,8}
C.{3,5,7,8}D.{4,5,6,8}
(2)已知集合P={x|x<3},Q={x|-1≤x≤4},那么P∪Q等于( )
A.{x|-1≤x<3}B.{x|-1≤x≤4}
C.{x|x≤4}D.{x|x≥-1}
答案
(1)A
(2)C
解析
(1)由定义知M∪N={3,4,5,6,7,8}.
(2)在数轴上表示两个集合,如图.
规律方法 解决此类问题首先应看清集合中元素的范围,简化集合,若是用列举法表示的数集,可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果;
若是用描述法表示的数集,可借助数轴分析写出结果,此时要注意当端点不在集合中时,应用“空心点”表示.
跟踪演练1
(1)已知集合A={x|(x-1)(x+2)=0};
B={x|(x+2)(x-3)=0},则集合A∪B是( )
A.{-1,2,3}B.{-1,-2,3}
C.{1,-2,3}D.{1,-2,-3}
(2)若集合M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5,或x>5},则M∪N=________.
答案
(1)C
(2){x|x<-5,或x>-3}
解析
(1)∵A={1,-2},B={-2,3},
∴A∪B={1,-2,3}.
(2)将-3<x≤5,x<-5或x>5在数轴上表示出来.
则M∪N={x|x<-5,或x>-3}.
知识点二 集合交集的简单运算
例2
(1)已知集合A={0,2,4,6},B={2,4,8,16},则A∩B等于( )
A.{2}B.{4}
C.{0,2,4,6,8,16}D.{2,4}
(2)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B等于( )
A.{x|0≤x≤2}B.{x|1≤x≤2}
C.{x|0≤x≤4}D.{x|1≤x≤4}
答案
(1)D
(2)A
解析
(1)观察集合A,B,可得集合A,B的全部公共元素是2,4,所以A∩B={2,4}.
(2)在数轴上表示出集合A与B,如下图.
则由交集的定义可得A∩B={x|0≤x≤2}.
规律方法 求交集就是求两集合的所有公共元素组成的集合,和求并集的解决方法类似.
跟踪演练2 已知集合A={x|-1<x≤3},B={x|x≤0,或x≥
},求A∩B,A∪B.
解 ∵A={x|-1<x≤3},B={x|x≤0,或x≥
},
把集合A与B表示在数轴上,如图.
∴A∩B={x|-1<x≤3}∩{x|x≤0,或x≥
}
={x|-1<x≤0,或
≤x≤3};
A∪B={x|-1<x≤3}∪{x|x≤0或x≥
}=R.
知识点三 已知集合交集、并集求参数
例3 已知A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1,或x>5},若A∩B=∅,求实数a的取值范围.
解 由A∩B=∅,
(1)若A=∅,有2a>a+3,∴a>3.
(2)若A≠∅,如下图:
∴
解得-
≤a≤2.
综上所述,a的取值范围是{a|-
≤a≤2,或a>3}.
规律方法 1.与不等式有关的集合的运算,利用数轴分析法直观清晰,易于理解.若出现参数应注意分类讨论,最后要归纳总结.
2.建立不等式时,要特别注意端点值是否能取到,分类的标准取决于已知集合,最好是把端点值代入题目验证.
跟踪演练3 设集合A={x|-1<x<a},B={x|1<x<3}且A∪B={x|-1<x<3},求a的取值范围.
解 如下图所示,
由A∪B={x|-1<x<3}知,1<a≤3.
知识点四 简单的补集运算
例4
(1)设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},则∁UA等于( )
A.{1,2}B.{3,4,5}
C.{1,2,3,4,5}D.∅
(2)若全集U=R,集合A={x|x≥1},则∁UA=________.
答案
(1)B
(2){x|x<1}
解析
(1)∵U={1,2,3,4,5},A={1,2},
∴∁UA={3,4,5}.
(2)由补集的定义,结合数轴可得∁UA={x|x<1}.
规律方法 1.根据补集定义,当集合中元素离散时,可借助Venn图;
当集合中元素连续时,可借助数轴,利用数轴分析法求解.
2.解题时要注意使用补集的几个性质:
∁UU=∅,∁U∅=U,A∪(∁UA)=U.
跟踪演练1 已知全集U={x|x≥-3},集合A={x|-3<x≤4},则∁UA=________.
答案 {x|x=-3,或x>4}
解析 借助数轴得∁UA={x|x=-3,或x>4}.
知识点五 交集、并集、补集的综合运算
例5
(1)已知集合A、B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且∁U(A∪B)={4},B={1,2},则A∩∁UB等于( )
A.{3}B.{4}
C.{3,4}D.∅
(2)设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则(∁RS)∪T等于( )
A.{x|-2<x≤1}B.{x|x≤-4}
C.{x|x≤1}D.{x|x≥1}
解析
(1)∵U={1,2,3,4},∁U(A∪B)={4},
∴A∪B={1,2,3}.又∵B={1,2},
∴{3}⊆A⊆{1,2,3}.
又∁UB={3,4},
∴A∩∁UB={3}.
(2)因为S={x|x>-2},所以∁RS={x|x≤-2}.
而T={x|-4≤x≤1},
所以(∁RS)∪T={x|x≤-2}∪{x|-4≤x≤1}
={x|x≤1}.
规律方法 1.集合的交、并、补运算是同级运算,因此在进行集合的混合运算时,有括号的先算括号内的,然后按照从左到右的顺序进行计算.
2.当集合是用列举法表示时,如数集,可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合;
当集合是用描述法表示时,如不等式形式表示的集合,则可借助数轴求解.
跟踪演练2 设全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求∁R(A∪B)及(∁RA)∩B.
解 把全集R和集合A、B在数轴上表示如下:
由图知,A∪B={x|2<x<10},
∴∁R(A∪B)={x|x≤2,或x≥10}.
∵∁RA={x|x<3,或x≥7},
∴(∁RA)∩B={x|2<x<3,或7≤x<10}.
要点六 补集的综合应用
例6 已知全集U=R,集合A={x|x<-1},B={x|2a<x<a+3},且B⊆∁RA,求a的取值范围.
解 由题意得∁RA={x|x≥-1}.
(1)若B=∅,则a+3≤2a,即a≥3,满足B⊆∁RA.
(2)若B≠∅,则由B⊆∁RA,得2a≥-1且2a<a+3,
即-
≤a<3.
综上可得a≥-
.
规律方法 1.与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解,涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况;
2.不等式中的等号在补集中能否取到,要引起重视,还要注意补集是全集的子集.
跟踪演练3 已知集合A={x|x<a},B={x<-1,或x>0},若A∩(∁RB)=∅,求实数a的取值范围.
解 ∵B={x|x<-1,或x>0},
∴∁RB={x|-1≤x≤0},
因而要使A∩(∁RB)=∅,结合数轴分析(如图),
可得a≤-1.
四、课堂练习
1.若集合A={0,1,2,3},B={1,2,4},则集合A∪B等于( )
A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}
C.{1,2}D.{0}
答案 A
解析 集合A有4个元素,集合B有3个元素,它们都含有元素1和2,因此,A∪B共含有5个元素.故选A.
2.设A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R|x2+x-6=0},则如图中阴影部分表示的集合为( )
A.{2}B.{3}C.{-3,2}D.{-2,3}
解析 注意到集合A中的元素为自然数,因此易知A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},而直接解集合B中的方程可知B={-3,2},因此阴影部分显然表示的是A∩B={2}.
3.集合P={x∈Z|0≤x<3},M={x∈R|x2≤9},则P∩M等于( )
A.{1,2}B.{0,1,2}
C.{x|0≤x<3}D.{x|0≤x≤3}
答案 B
解析 由已知得P={0,1,2},M={x|-3≤x≤3},故P∩M={0,1,2}.
4.已知集合A={x|x>2,或x<0},B={x|-
<x<
},则( )
A.A∩B=∅B.A∪B=R
C.B⊆AD.A⊆B
解析 ∵A={x|x>2,或x<0},B={x|-
∴A∩B={x|-
<x<0,或2<x<
},A∪B=R.故选B.
5.设集合M={x|-3≤x<7},N={x|2x+k≤0},若M∩N≠∅,则实数k的取值范围为________.
答案 k≤6
解析 因为N={x|2x+k≤0}={x|x≤-
且M∩N≠∅,所以-
≥-3⇒k≤6.
6.若全集M={1,2,3,4,5},N={2,4},则∁MN等于( )
A.∅B.{1,3,5}
C.{2,4}D.{1,2,3,4,5}
解析 ∁MN={1,3,5},所以选B.
7.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},B={2,3,4},则B∩∁UA等于( )
A.{2}B.{3,4}
C.{1,4,5}D.{2,3,4,5}
解析 ∵U={1,2,3,4,5},A={1,2},
∴∁UA={3,4,5},
∴B∩∁UA={2,3,4}∩{3,4,5}={3,4}.
8.已知M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有( )
A.2个B.4个
C.6个D.8个
解析 ∵P={1,3},∴子集有22=4个.
9.已知全集U=Z,集合A={0,1},B={-1,0,1,2},则图中阴影部分所表示的集合为( )
A.{-1,2}B.{-1,0}
C.{0,1}D.{1,2}
解析 图中阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B,因为A={0,1},B={-1,0,1,2},所以(∁UA)∩B={-1,2}.
10.若全集U=R,集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0},则∁UA=________.
答案 {x|0<x<1}
解析 ∵A={x|x≥1}∪{x|x≤0},
∴∁UA={x|0<x<1}.
五、巩固训练
1.已知集合A={x|x≥0},B={x|-1≤x≤2},则A∪B等于( )
A.{x|x≥-1}B.{x|x≤2}
C.{x|0<x≤2}D.{x|1≤x≤2}
解析 结合数轴得A∪B={x|x≥-1}.
2.已知集合M={x|(x-1)2<4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N等于( )
A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}
C.{-1,0,2,3}D.{0,1,2,3}
解析 集合M={x|-1<x<3,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N={0,1,2},故选A.
3.设集合M={x|x2+2x=0,x∈R},N={x|x2-2x=0,x∈R},则M∪N等于( )
A.{0}B.{0,2}
C.{-2.0}D.{-2,0,2}
答案 D
解析 集合M={0,-2},N={0,2},故M∪N={-2,0,2},选D.
4.设集合M={x|-3<x<2},N={x|1≤x≤3},则M∩N等于( )
A.{x|1≤x<2}B.{x|1≤x≤2}
C.{x|2<x≤3}D.{x|2≤x≤3}
解析 ∵M={x|-3<x<2}且N={x|1≤x≤3},
∴M∩N={x|1≤x<2}.
5.设A={x|-3≤x≤3},B={y|y=-x2+t}.若A∩B=∅,则实数t的取值范围是( )
A.t<-3B.t≤-3
C.t>3D.t≥3
解析 B={y|y≤t},结合数轴可知t<-3.
6.若集合A={x|x≤2},B={x|x≥a},满足A∩B={2},则实数a=________.
答案 2
解析 ∵A∩B={x|a≤x≤2}={2},
∴a=2.
7.已知集合A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}.
(1)求A∩B;
(2)若集合C={x|2x+a>0},满足B∪C=C,求实数a的取值范围.
解
(1)∵B={x|x≥2},∴A∩B={x|2≤x<3}.
(2)∵C={x|x>-
},B∪C=C⇔B⊆C,
∴-
<
2,∴a>-4.
8.集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( )
A.0B.1C.2D.4
解析 ∵A∪B={0,1,2,a,a2},
又A∪B={0,1,2,4,16},
∴{a,a2}={4,16},∴a=4.
9已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},且B≠∅,若A∪B=A,则( )
A.-3≤m≤4B.-3<m<4
C.2<m<4D.2<m≤4
解析 ∵A∪B=A,∴B⊆A.又B≠∅,
即2<m≤4.
10.设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|-1<x≤4},C={x|-3<x<2}且集合A∩(B∪C)={x|a≤x≤b},则a=________,b=________.
答案 -1 2
解析 ∵B∪C={x|-3<x≤4},∴A(B∪C).
∴A∩(B∪C)=A,
由题意{x|a≤x≤b}={x|-1≤x≤2}.
∴a=-1,b=2.
11.已知A={x|-2≤x≤4},B={x|x>a}.
(1)若A∩B≠A,求实数a的取值范围;
(2)若A∩B≠∅,且A∩B≠A,求实数a的取值范围.
解
(1)如图可得,在数轴上实数a在-2的右边,可得a≥-2;
(2)由于A∩B≠∅,且A∩B≠A,所以在数轴上,实数a在-2的右边且在4的左边,可得-2≤a<4.
12.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|2a≤x≤a+3},若A∪B=A,求实数a的取值范围.
解 ∵A∪B=A,∴B⊆A.
若B=∅时,2a>a+3,即a>3;
若B≠∅时,
解得-1≤a≤2,
综上所述,a的取值范围是{a|-1≤a≤2,或a>3}.
13.已知集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|x<-1,或x>16},分别根据下列条件求实数a的取值范围.
(1)A∩B=∅;
(2)A⊆(A∩B).
解
(1)若A=∅,则A∩B=∅成立.
此时2a+1>3a-5,
即a<6.
若A≠∅,如图所示,则
解得6≤a≤7.
综上,满足条件A∩B=∅的实数a的取值范围是{a|a≤7}.
(2)因为A⊆(A∩B),且(A∩B)⊆A,
所以A∩B=A,即A⊆B.
显然A=∅满足条件,此时a<6.
或
由
解得a∈∅;
解得a>
综上,满足条件A⊆(A∩B)的实数a的取值范围是{a|a<6,或a>
}.
13.已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},则∁U(A∪B)等于( )
A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4}
解析 ∵A={1,2},B={2,3},∴A∪B={1,2,3},
∴∁U(A∪B)={4}.
14.已知A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则(∁RA)∩B等于( )
A.{-2,-1}B.{-2}
C.{-1,0,1}D.{0,1}
解析 因为集合A={x|x>-1},
所以∁RA={x|x≤-1},
则(∁RA)∩B={x|x≤-1}∩{-2,-1,0,1}
={-2,-1}.
15.设U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则A∩(∁UB)等于( )
A.{x|0≤x<1}B.{x|0<x≤1}
C.{x|x<0}D.{x|x>1}
解析 ∁UB={x|x≤1},∴A∩(∁UB)={x|0<x≤1}.
16.设全集U是实数集R,M={x|x<-2,或x>2},N={x|1≤x≤3}.如图所示,则阴影部分所表示的集合为( )
A.{x|-2≤x<1}B.{x|-2≤x≤3}
C.{x|x≤2,或x>3}D.{x|-2≤x≤2}
解析 阴影部分所表示的集合为∁U(M∪N)=(∁UM)∩(∁UN)={x|-2≤x≤2}∩{x|x<1或x>3}={x|-2≤x<1}.故选A.
5.已知集合A={x|0≤x≤5},B={x|2≤x<5},则∁AB=________.
答案 {x|0≤x<2,或x=5}
解析 如图:
由数轴可知:
∁AB={x|0≤x<2,或x=5}.
17.设全集U=R,集合A={x|x≥0},B={y|y≥1},则∁UA与∁UB的包含关系是________.
答案 ∁UA∁UB
解析 ∵∁UA={x|x<0},∁UB={y|y<1}={x|x<1}.
∴∁UA∁UB.
18.已知全集U=R,A={x|-4≤x≤2},B={x|-1<x≤3},P=
,
(2)求(∁UB)∪P;
(3)求(A∩B)∩(∁UP).
解
(1)A∩B={x|-1<x≤2}.
(2)∵∁UB={x|x≤-1,或x>3},
∴(∁UB)∪P=
(3)∵∁UP=
∴(A∩B)∩(∁UP)={x|-1<x≤2}∩
={x|0<x≤2}.
19.已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},且A∪(∁RB)=R,则实数a的取值范围是( )
A.a≤1B.a<1
C.a≥2D.a>2
答案 C
解析 如图所示,若能保证并集为R,则只需实数a在数2的右边(含端点2),所以a≥2.
20.如图,I是全集,M、P、S是I的3个子集,则阴影部分所表示的集合是( )
A.(M∩P)∩SB.(M∩P)∪S
C.(M∩P)∩(∁IS)D.(M∩P)∪(∁IS)
解析 依题意,由题干图知,阴影部分对应的元素a具有性质a∈M,a∈P,a∈∁IS,所以阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩(∁IS),故选C.
21.某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________.
答案 12
解析 设两项运动都喜欢的人数为x,画出Venn图得到方程
15-x+x+10-x+8=30
⇒x=3,
所以,喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人).
22.已知A={x|-1<x≤3},B={x|m≤x<1+3m}.
(1)当m=1时,求A∪B;
(2)若B⊆∁RA,求实数m的取值范围.
解
(1)m=1,B={x|1≤x<4},
A∪B={x|-1<x<4}.
(2)∁RA={x|x≤-1,或x>3}.
当B=∅时,即m≥1+3m得m≤-
,满足B⊆∁RA,
当B≠∅时,使B⊆∁RA成立,
则
解得m>3.
综上可知,实数m的取值范围是
23.已知集合A={x|-4≤x≤-2},集合B={x|x-a≥0}.
(1)若A⊆B,求a的取值范围;
(2)若全集U=R,且A⊆(∁UB),求a的取值范围.
解 ∵A={x|-4≤x≤-2},B={x|x≥a},
(1)由A⊆B,结合数轴(如图所示)
可知a的范围为a≤-4.
(2)∵U=R,∴∁UB={x|x<a},要使A⊆∁UB,
须a>-2.
24.若集合A={x|ax2+3x+2=0}中至多有一个元素,求实数a的取值范围.
解 假设集合A中含有2个元素,即ax2+3x+2=0有两个不相等的实数根,则
解得a<
且a≠0,则a的取值范围是{a|a<
,且a≠0}.
在全集U=R中,集合{a|a<
,且a≠0}的补集是{a|a≥
,或a=0},
所以满足题意的a的取值范围是{a|a≥
,或a=0}.