数学专题04基本不等式高一高二数学名校模拟分项解析汇编必修5Word.docx

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数学专题04基本不等式高一高二数学名校模拟分项解析汇编必修5Word

1．【黑龙江省双鸭山市第一中学2017-2018学年高二4月月考】

设，且，

则它们的大小关系是（）

A.B.

C.D.

【答案】A

2．【山东省济南外国语学校、济南第一中学等四校2017-2018学年高二上学期期末考试】在下列函数中，最小值时的是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】A.，当时，，当时，，所以不正确，B.，当时，所以不正确，C.，当时，无解，不能取得等号，也不成立，D.，当时，即，，成立，故选D.

【点睛】解决此类问题的关键条件是利用基本不等式求最值，要根据“一正，二定，三相等”的思路求解，一正是基本条件，不等式另一侧需是定值，定值是否能取得得看两个数能不能相等，尤其是第三条要引起重视，容易出错，当需要使用两次基本不等式时，还要验证两次基本不等式的定值能否同时取得.3．【广西来宾市2017-2018学年高二上学期期末教学质量调研】已知，则的最小值为（）

A.24B.28C.32D.36

【答案】C

本题选择C选项.

点睛：

在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．4．【山东省济南外国语学校、济南第一中学等四校2017-2018学年高二上学期期末考试】下列函数中最小值为的是（）

A.B.（）C.D.

【答案】C

【解析】A.，定义域为，故A的最小值不为；

B．令

因此函数单调递减，不成立．

C．当且仅当时取等号，成立．

D．时，不成立．

故选C．5．【山东省济宁市2017-2018学年高二上学期期末考试】若正数，满足，则的最小值为（）

A.B.C.D.

【答案】B

【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，将条件进行转化，利用1的代换是解决本题的关键．6．【山东省济宁市2017-2018学年高二上学期期末考试】若正数，满足，则的最小值为（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】正数，满足,则，

故答案为：

A.

点睛：

这个题目考查的是含有两个变量的表达式的最值的求法，解决这类问题一般有以下几种方法，其一，不等式的应用，这个题目用的是均值不等式，注意要满足一正二定三相等；其二，二元化一元，减少变量的个数；其三可以应用线线性规划的知识来解决，而线性规划多用于含不等式的题目中。

7．【陕西省咸阳市2017-2018学年高二上学期期末考试】已知，则函数的最小值为（）

A.1B.4C.7D.5

【答案】C

点睛：

利用基本不等式求最值的类型及方法

（1）若已经满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式求解．

（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：

“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．

（3）多次使用基本不等式求最值，此时要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号，若等号不成立，一般利用函数单调性求解．8．【河南省新乡市2017-2018学年高二年级上学期期末考试】已知，则的最小值为（）

A.3B.2C.4D.1

【答案】A

【解析】

，当时等号成立，即的最小值为，故选A.

【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：

一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.9．【广西贺州市2017-2018学年高二年级上学期期末质量检测】若直线经过圆的圆心，则的最小值是（）

A.16B.9C.12D.8

【答案】B

【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：

一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.10．【河南省林州市第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试】已知，，，则的最小值为（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】,选B11．【广西南宁市第三中学、柳州铁一中学2017-2018学年高二上学期第三次月考】若实数满足，且，则的最小值为（）

A.B.C.D.

【答案】D

点睛：

本题是均值不等式的灵活运用问题，解决此类问题，需要观察条件和结论，结合二者构造新的式子，对待求式子进行变形，方能形成使用均值不等式的条件，本题注意到，

所以把条件构造为，从而解决问题.12．【上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试】直线与双曲线的渐近线交于两点，设为双曲线上任一点，若为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（　　）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】由题意，双曲线渐近线方程为，联立直线，解得不妨设

，，，为双曲线上的任意一点，，，时等号成立），可得，故选C.

【方法点睛】本题主要考查双曲线的的渐近线、向量相等的应用以及平面向量的坐标运算、不等式的性质，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：

（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：

建立坐标系转化为解析几何问题解答，解答本题的关键是根据坐标运算．

13．【新疆兵团第二师华山中学2017-2018学年高二下学期第一次月考】若直线

经过圆的圆心，则的最小值为___________．

【答案】

14．【浙江省亳州市2017-2018学年度第一学期期末高二质量检测】已知，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】

，当且仅当时取等号

点睛：

在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.15．已知x，y∈R，且1≤x2＋y2≤2，z＝x2＋xy＋y2，则z的取值范围是________．

【答案】

16．【福建省宁德市2017-2018学年高二上学期期末质量检测】若，，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】

点睛：

在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.

17．【山西省运城市康杰中学2017-2018学年高二下学期期中考试】已知均为正实数.

（I）求证：

；

（II）求证：

.

【答案】（I）见解析；（II）见解析.

【解析】试题分析：

（I）将分式通分后，在分子中运用基本不等式后可得不等式，

，，然后求和后利用基本不等式可得结论成立．（II）在所给不等式的每个分母中利用基本不等式进行化简，然后再利用基本不等式求解．

由①+②+③得：

，

当且仅当时各个等号同时成立．

∴．

（II）∵

，

当且仅当时各个等号同时成立．

∴．18．【2017-2018学年陕西省汉中市汉台中学西乡中学高二上学期期末联考】

（1）若，，，求证：

.

（2）已知实数，，且，若不等式，对任意的正实数恒成立，求实数的取值范围。

【答案】

（1）见解析；

（2）.

【解析】试题分析：

（1）第

（1）问，利用常量代换和基本不等式证明.

（2）第

（2）问，利用基本不等式求解.

所以，当且仅当，，即，时等号成立，故只要即可，所以实数的取值范围是19．【广东省揭阳市第三中学2017-2018学年高二上学期期末考试】已知正数满足；

（1）求的取值范围；

（2）求的最小值.

【答案】

（1）

（2）4

【解析】试题分析：

（1）由，，根据基本不等式，即可求解的取值范围；

（2）由，即可利用基本不等式求解的最小值．

（2），

，

当且仅当时取等号，

∴的最小值为4.20．

（1）求的最小值；

（2）若，且，求的最大值．

【答案】

（1）；

（2）.

【解析】试题分析：

（1）将原式变形为，令，则，然后利用函数的单调性求解可得最值．

（2）由于为定值，解题时先将原式变形得到的形式，然后利用基本不等式求解，注意等号成立的条件．

试题解析：

（1），

令，则，

又当时，函数单调递增，

∴当时，有最小值，且最小值为，

故的最小值是．

∴的最大值为．

点睛：

利用基本不等式求最值的方法

（1）若已经满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式求解．

（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：

“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．

（3）多次使用基本不等式求最值，此时要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号；若等号不成立，一般利用函数单调性求解．21．【山东省垦利第一中学等四校2017-2018学年高二上学期期末考试】十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划.年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆），需另投入成本万元，且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.

（1）求出2018年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）

（2）2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？

并求出最大利润.

【答案】

（1）；

（2）当时，即年生产百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为万元.

解析：

（1）当时，

；

当时，

；

∴.

（2）当时，，

∴当时，；

当时，，

当且仅当，即时，；

∴当时，即年生产百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为万元.22．【广东省江门市2017-2018学年高二上学期调研测试】一种设备的单价为元，设备维修和消耗费用第一年为元，以后每年增加元（是常数）.用表示设备使用的年数，记设备年平均费用为，即（设备单价设备维修和消耗费用）设备使用的年数.

（Ⅰ）求关于的函数关系式；

（Ⅱ）当，时，求这种设备的最佳更新年限.

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）15年

【解析】试题分析：

（Ⅰ）由题意可知设备维修和消耗费用构成以为首项，为公差的等差数列，结合等差数列前n项和公式可得

（Ⅱ）由题意结合均值不等式的结论有，则，当且仅当时，年平均消耗费用取得最小值，即设备的最佳更新年限是15年.

（Ⅱ）∵，所以

，，

当且仅当，即，时，年平均消耗费用取得最小值

所以设备的最佳更新年限是15年

点睛：

（1）利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．

（2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．