用十字相乘法解一元二次方程Word下载.docx
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号时出错.
2、通过回顾，让学生观察发现：
如
（5）（x-4）（x+1）=
果把整式乘法的结果倒过来，即是
3.大部分学生采用了公
（6）x2-3x-4=
原来的因式，这样学生更加的了解
式法进行解方程，还有一
部分学生采用了配方法,
3、解下列方程：
整式乘法与因式分解之间的联系.
有一小部分灵活的学生
x2-3x-4=0
3、师生进行比赛，看谁先解出方程.
大部分学生会选择公式法进行计
发现该方程与回顾（6）
比较相似，从而直接写出
算，也有一小部分学生是采用配方
了结果；
对比发现，老师
法，师采用了“十字相乘法”.结果
快速地简便地解出了方
会让学生发现，老师早早的解出了
程.
方程，而学生都还没算出.对比性地
激起学生的好奇心.
引入
x2-3x+2=（）×
（）？
思考、讨论
通过复习题的引入，由浅入深，有熟知
自然、成功地引入了新知
新课
到新知的这一过程进行教学，可以让学
识点“十字相乘法”，也
生更加顺其自然地接受.确也可以当做
很好地引起了学生学习
是例题地进行讲解.由于是新方法的引
新知识的兴趣，以及激起
入，基本的操作都是教师.
了学生学习新知识的好
学心.
板书重要结论1：
利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.即：
十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系.
板书重要结论2：
用数学符号表示为：
x2+（p+q）=x2+（p+
思考、总结
教授“十字相乘法”的定义，让学生感受公式的推导过程，只有经历了这一过程，他们才能发现问题，汲取教训、总结经验，形成自己的认识，从而更加全面地认识了“十字相乘法”
学生的主要问题是：
1.不会把常数项进行两个因式分解，即不会拆分常数项；
2.不知道是常数项的哪两个因数；
大部分学生需要与同学讨论或在教师的辅导下，才能完善公式的推导过程.
注意问题：
1.等式的左边是一元二次三项式，二次项的系数是“1”.
2.等式右边是两个一次二项式相乘.
用“十字相乘法”解一元二次方程的前提条件是：
该一元二次方程必须是有解的情况下，
即Δ=b-4ac≥0
2
运用巩固
例1.用十字相乘法解一元二次方程.
（1）x2+3x+2=0
（2）x2+x-6=0
（3）x2-5x+6=0
（4）x2-4x-12=0
师总结：
十字左边相乘等于二次项,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数.当常数项为正数时,拆分成的两个有理数一定同号,符号与一次项系数相同.当常数项为负数时,拆分成的两个有理数异号;
绝对值大的数与一次项系数同号.常数项分解的两因数的相反数即是方程的两个解.
引导学生分析、讨论并解答
1、教师先分析了
（1），有助于学生进一步学习和巩固用“十字相乘法”解一元二次方程
2、让学生在黑板上呈现解方程的过程，展示学生的思维过程，查漏补缺，了解学生是否掌握了用“十字相乘法”解解一元二次方程和是否灵活运用“十字相乘法”解一元二次方程.
3、在操作活动过程中,培养学生积极的情感,态度，提高学生自主学习和思考的能力,让学生尽可能自己探索新知.
4、教师总结了本节课的重点和难点.
1、大部分学生都能在老师讲解
（1）后，很快地掌握使用“十字相乘法”解一元二次方程，但是也有一小部分学生还是没能理解如何拆分常数项.
2、大部分学生都能仿照
（1）来解答
（2），少数学生在常数项拆分时，处理符号还是感觉比较困难.
3、教师总结，可以让学生更加有条理地掌握和巩固“十字相乘法”解一元二次方程.
巩固练习
1、运用十字相乘法解一元二次方程.
（1）x2+7x+6=0
（2）x2-7x=-12
（3）x2-3x-10=0
（4）x2+4x-12=0
2、一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，经统计所有人一共握了66次手.这次到会的人数是多少？
分小组解答
该练习对本节知识进行巩固，使学生更好地理解所学知识并灵活运用.
该环节留给学生充分的时间与空间进行独立练习，通过练习基本能用十字相乘法解一元二次方程，收到了较好的效果.
拓展与延伸
例2：
运用十字相乘法解下列一元二次方程.
（1）3x2-2x-1=0
（2）4x2-45=31x
引导学生分析、解答
补充一元二次方程的二次项系数不是“1”的题型，使学生更加全面地掌握运用十字相乘法解一元二次方程.
学生在解这一类方程时，采用十字相乘法解方程感觉比较吃力，大部分学生都选择采用了公式法.
课堂小结
1、用十字相乘法解一元二次方程的基本思路和关键是什么？
2、在应用十字相乘法解一元二次方程时，应注意的问题有哪些？
3、十字相乘法解一元二次方程法体现了怎样的数学思想?
学生讨论、归纳总结
鼓励学生结合本节课的内容谈自己的收获与感想,进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中.
该环节先让学生畅所欲言，然后教师进行总结本节课的学习历程，培养学生归纳概括能力和语言表达能力，也让学生感受到十字相乘法解推导的思维过程，发展学生逻辑思维能力，提高学生推理技能和运算能力.
布置作业
1、运用十字相乘法解下列一元二次方程.
（1）x2-x-2=0
（2）x2+12x+27=0
（3）x2=x+56
（4）-3x2+22x-24=0
（5）（x+1）2-3（x+1）+2=0
2、解下列方程.
某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利
44元.在每天降价幅度
不超过10元的情况下，
若每件降价1元，则每
天可多售5件.如果每
天要盈利1600元，每件应降价多少元？
独立完成
加以巩固
用十字相乘法解一元二次方程
一、学情分析
由于学生使用的是北京师范大学出版社出版的版本，而整个初中的北师大版本对“十字相乘法”这一知识点没有作要求，学生在初一初二基本都没有学过“十字相乘法”，所以教学起来比较困难.但是学生能用因式分解法求解形如
x（x-a）=0和x2-a2=0的特殊方程”，那么学生在对因式分解这一知识掌握的
情况下，再结合初二已有的因式分解、多项式乘法（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd
让学生掌握了因式分解与多项式乘法之间的互逆联系，认识到因式分解除了提公因式法和公式法和分组分解法，还有一种方法是十字相乘法.那么由浅入深地进行教学，学生掌握起来还是比较容易的.
二、教学任务分析
茂名地区的学生所采用的初中数学教材基本都是北京师范大学出版社出版的，整个初中数学教材中都没有要掌握“十字相乘法”这一知识点的要求，而人教版却要求到，现在广东省中考改革，采用统一试题，考试大纲采用的是人教版的版本.再者，在解一元二次方程的应用时，数据比较大，如果用配方法和公式法进行解方程，使得过程复杂且易出错，学生如若学会了使用“十字相乘法”解方程，那么解题的速度会更快快,能够节约时间,而且运用算量不大,不容易出错.作为一名使用北师大版本初三的数学老师，我认为是应该补充这一知识的教学.为此，本节课的教学目标是：
1.能根据具体一元二次方程的特征，判断能否使用“十字相乘法”来进行求解，体会解决问题方法的适应性和使用性；
2.掌握“十字相乘法”解一元二次方程
2.掌握因式分解法中的“十字相乘法”并灵活运用“十字相乘法”解一元二次方程和解一元二次方程的实际问题；
3.通过因式分解法的“十字相乘法”的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会转化的思想.
教学重点：
能熟练应用“十字相乘法”进行解一元二次方程和解一元二次方程的实际问题.
教学难点：
1、在运用“十字相乘法：
x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）”解一元二次方程时，能准确地找出a、b.
2、用“十字相乘法”解二次项系数不是“1”的一元二次方程.三、教学过程
[环节一]复习巩固活动内容：
1、因式分解法的定义
（1）（x-1）（x+3）==
（2）x2+2x-3=
（3）（x-1）（x-3）==
（4）x2-4x+3=
（5）（x-4）（x+1）==（6）x2-3x-4=
（1）x2-3x-4=0
目的：
1、通过复习因式分解法的定义，让学生更加的熟悉和掌握因式分解法解一元二次方程，也让学生深刻体会到解一元二次方程是把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解，体现了一种“降次”的思想.那么对接下来学习的“十字相乘法”起到一个铺垫的作用.
如果把整式乘法的结果倒过来，即是原来的因式，这样学生更加的了解整式乘法与因式分解之间的联系.
3、师生进行比赛，看谁先解出方程.大部分学生会选择公式法进行计算，也有一小部分学生是采用配方法，师采用了“十字相乘法”.结果会让学生发现，老师早早的解出了方程，而学生都还没算出.对比性地激起学生的好奇心.
实际效果：
1.大部分学生都能理解并背出因式分解法的定义；
一小部分只能理解，并没能完整背出；
2.在回顾这一环节，大部分学生能够进行解答，还有一部分学生在处理符号时出错.
3.大部分学生采用了公式法进行解方程，还有一部分学生采用了配方法,有一小部分灵活的学生发现该方程与回顾（6）比较相似，从而直接写出了结果；
对比
发现，老师快速地简便地解出了方程.[环节二]引入新课
内容：
生：
老师您是如何快速地解出方程的？
师：
老师掌握了一种你们还没掌握的简便方法.生：
是什么方法？
先不告诉你们是什么方法.我们先来探究下多项式的乘法，把结果倒过来，你们会逆着求出原来的因式吗？
我们记住左边的因式就行了·
·
但是这种情况下：
x2-3x+2=（）×
（）？
生：
学生们尝试了很久都没有结果.
本题中，常数项2可以分为1×
2、－1×
（－2），再观察一次项系数是－3，
—3可以看做是－1+（－2），结合多项式的乘法可以发现，
（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab
，即x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）
，所以，
x2-3x+2=x2+[（-1）+（-2）]x+（-1）⨯（-2）=（x-1）（x-2）.如果x2-3x+2=0，即
1
x2-3x+2=（x-1）（x-2）=0，所以x-1=0,x-2=0，所以x
=1,x2
=2.我在复习
析：
其实有些同学发现，虽然复习巩固的2（6）是因式分解，复习巩固3
（1）是解一元二次方程，但它们之间有一定联系的.复习巩固2（5）
“（x-4）（x+1）=x2-3x-4”与复习巩固2（6）（复
习巩固3
（1））“x2-3x-4=（x-4）（x+1）=0”，
它们之间的左右两边实际上是互逆的，多项式乘法与因式分解就如加法与减法，乘法与除法之间的互逆联系一样.注意整式乘法与因式分解、因式分解法解方程三者之间的联系.
引入也是采用了这种方法：
解
（1）x2-3x-4=0
（x+1）（x-4）=0
x+1=0,x-4=0
x1=-1,x2=4
原来解一元二次方程除了公式法和配方法和一般的因式分解法，还有这么简便的方法的.
这种方法实际上也是因式分解法解方程中的一种，它的命名是“十字相乘法”.目的：
通过复习题的引入，由浅入深，有熟知到新知的这一过程进行教学，可以
让学生更加顺其自然地接受.确也可以当做是例题地进行讲解.由于是新方法的引入，基本的操作都是教师.
效果：
自然、成功地引入了新知识点“十字相乘法”，也很好地引起了学生学习新知识的兴趣，以及激起了学生学习新知识的好学心.
[环节三]探究新知内容：
数学上是如何定义“十字相乘法”的呢？
十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数.
x2+（p+q）=x2+（p+q）x+pq.证明过程：
∵（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq
∴x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）
x+p
x+q
px+qx=（p+q）x
那么用“十字相乘法”解一元二次方程可得：
解：
∵x2+（p+q）x+pq=0
∴（x+p）（x+q）=0
∴x+p=0,x+q=0
∴x1=-p,x2=-q
3.等式右边是两个一次二项式相乘.
4.用“十字相乘法”解一元二次方程的前提条件是：
该一元二次方程必须是有解的情况下，即∆=b2-4ac≥0.
学生自主推导一次“十字相乘法”发现规律：
这个“十字相乘法”实际是由“多项式乘法法则”反过来的运算.
教授“十字相乘法”的定义，让学生感受公式的推导过程，只有经历了这一过程，他们才能发现问题，汲取教训、总结经验，形成自己的认识，从而更加全面地认识了“十字相乘法”.
3.不会把常数项进行两个因式分解，即不会拆分常数项；
4.不知道是常数项的哪两个因数；
大部分学生需要与同学讨论或在教师的辅导下，才能完善公式的推导过程.[环节四]运用巩固
例1.用十字相乘法解一元二次方程.
（1）x2+3x+2=0
（师生共同解决）
（仿照公式，让学生尝试进行解题）
（3）x2-5x+6=0
（学生上黑板解答，师讲评）
解方程
（1）时，Δ=32-4⨯1⨯2=1>
0,方程有解，可以使用“十字相乘法”.
其常数项时2,而2可以拆分的因数有1和2，-1和-2，一次项的系数是3,1+2=3，
－1+（－2）≠3，所以选择的因数是：
1和2.
（1）解：
（x+1）（x+2）=0
x+1=0,x+2=0
x1=-1,x2=-2
x
+1
x+2
1x+2x=3x
学生：
方程
（2）的Δ=12-4⨯1⨯（-6）=1+24=25>
0，方程有解，可以用十字相乘
法进行解方程.常数项是-6，-6可以拆分的因数有：
1×
6,2×
3，-2×
3,2×
（-3），
-1×
6，1×
（-6），一次项系数是1，只有-2+3=1，所以-6拆分的两个因数是：
-2和3.
（2）解：
（x+3）（x-2）=0x+3
x+3=0,x-2=0x－2
x1=-3,x2=2
+3x+（-2x）=+x
指定学生上黑板板书（3）、（4），师讲评.
（3）解：
（x-2）（x-3）=0
x－
x-2=0,x-3=0析：
x－3
x1=2,x2=3
-2x+（-3x）=-5x
（4）解：
（x+2）（x-6）=0
x－6
x+2=0,x-6=0
x1=-2,x2=6
2x+（-6x）=-4x
十字左边相乘等于二次项,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数.当常数项为正数时,拆分成的两个有理数一定同号,符号与一次项系数相同.当常数项为负数时,拆分成的两个有理数异号;
2、让学生在黑板上呈现解方程的过程，展示学生的思维过程，查漏补缺，了解学生是否掌握了用“十字相乘法”解解一元二次方程和是否灵活运用“十字相乘法”解一元二次方程.
1、大部分学生都能在老师讲解
（1）后，很快地掌握使用“十字相乘法”解一元二次方程，但是也有一小部分学生还是没能理解如何拆分常数项.
2、大部分学生都能仿照
（1）来解答
（2），少数学生在常数项拆分时，处理符号还是感觉比较困难.
[环节五]巩固及变式练习
2、运用十字相乘法解一元二次方程.
3、一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，经统计所有人一共握了66次手.这次到会的人数是多少？
[1]
该练习对本节知识进行巩固，使学生更好地理解所学知识并灵活运用.效果：
[环节六]拓展与延伸内容：
我们现在运用十字相乘法解一元二次方程的方程的二次项系数是1，那么当二次项的系数不是1，而是其他数字时又该如何进行分解呢？
（2）4x2-45=31x[2]
[环节七]课堂小结内容：
目的：
该环节先让学生畅所欲言，然后教师进行总结本节课的学习历程，培养学生归纳概括能力和语言表达能力，也让学生感受到十字相乘法解推导的思维过程，发展学生逻辑思维能力，提高学生推理技能和运算能力.
[环节八]布置作业
（2）x2+12x+27=0[3]
（3）x2=x+56[4]
（4）-3x2+22x-24=0[5]
（5）（x+1）2-3（x+1）+2=0[6]
某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元.在每天降价幅度不超过10元
的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件.如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？
[7]
三、教学反思
本节课，我首先通过了复习因式分解、多项式乘法，解一元二次方程，为接下来的新课“用十字相乘法解一元二次方程”作铺垫.然后通过多项式乘法的结果倒过来找因式，从而自然地引入新课，授课过程由浅入深，循序渐进，学生接受起来也容易.通过复习、比较，通过设疑不仅激发了学生学习数学的兴趣，还激起了学生自主参与的积极性和主动性，为自主探究新知创造了条件，同时激起了学生积极的情感态度.在教学时，我创设了一种自主探究、相互交流、相互合作的课堂氛围，让学生主动自觉地去观察、分析、概括、发现规律，培养他们的自主探究能力，帮助他们感悟数学思想、积累数学活动经验.
四、试题出处
1、[1]北京师范大学出版社九年级数学第二章复习题第58页第19题
2、[2]北京师范大学出版社九年级数学第二章复习题第56页第2题第（5）小题
3、[3]北京师范大学出版社九年级数学第二章复习题第56页第2题第
（2）小题
4、[4]北京师范大学出版社九年级数学第二章复习题第56页第2题第（3）小题
5、[5]北京师范大学出版社九年级数学第二章复习题第56页第2题第（6）小题
6、[6]北京师范大学出版社九年级数学第二章复习题第56页第3题第（3）小题
7、[7]北京师范大学出版社九年级数学第二章习题2.10问题解决第55页第1题
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