北师大版高中数学必修二学案第一章 51 平行关系的判定Word文档格式.docx

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思考1　三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？

思考2　三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？

平面与平面平行的判定定理

如果一个平面内的______________都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

⇒α∥β

类型一　直线与平面平行的判定问题

例1　如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且

＝

.

求证：

MN∥平面SBC.

引申探究

本例中若M，N分别是SA，BD的中点，试证明MN∥平面SBC.

反思与感悟　利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤

上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：

利用三角形、梯形中位线的性质；

利用平行四边形的性质；

利用平行线分线段成比例定理．

跟踪训练1　在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．

例2　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E，F分别是棱AB，BC，A1C1的中点，求证：

EF∥平面A1CD.

反思与感悟　证明以柱体为背景包装的线面平行证明题时，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点时，常利用取中点去寻找平行线．

跟踪训练2　如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1.

（1）求证：

BC1∥平面AB1D1；

（2）若E，F分别是D1C，BD的中点，求证：

EF∥平面ADD1A1.

类型二　平面与平面平行的判定

例3　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

（1）B，C，H，G四点共面；

（2）平面EFA1∥平面BCHG.

反思与感悟　判定平面与平面平行的四种常用方法

（1）定义法：

证明两个平面没有公共点，通常采用反证法．

（2）利用判定定理：

一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．

（3）转化为线线平行：

平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.

（4）利用平行平面的传递性：

若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

跟踪训练3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：

当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?

1．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有（　　）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

2．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面（　　）

A．不可能作出

B．只能作出一个

C．能作出无数个

D．上述三种情况都存在

3．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是（　　）

A．平面E1FG1与平面EGH1

B．平面FHG1与平面F1H1G

C．平面F1H1H与平面FHE1

D．平面E1HG1与平面EH1G

4．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作（　　）

A．1个或2个B．0个或1个

C．1个D．0个

5.如图，四棱锥P－ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°

，CD⊥AD，F、E分别是PA，AD的中点，求证：

平面PCD∥平面FEB.

1．直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化．

2．证明面面平行的一般思路：

线线平行⇒线面平行⇒面面平行．

3．准确把握线面平行及面面平行两个判定定理，是对线面关系及面面关系作出正确推断的关键．

答案精析

问题导学

知识点一

思考　平行．

梳理　此平面内一条直线平行

知识点二

思考1　不一定．

思考2　平行．

梳理　两条相交直线　a∩b＝P

题型探究

例1　证明　连接AN并延长交BC于点P，连接SP.

因为AD∥BC，所以

，

又因为

所以

，所以MN∥SP，

又MN

平面SBC，SP平面SBC，

所以MN∥平面SBC.

证明　连接AC，由平行四边形的性质可知，AC必过BD的中点N，在△SAC中，M，N分别为SA，AC的中点，MN∥SC，又因为SC平面SBC，MN⃘平面SBC，所以MN∥平面SBC.

跟踪训练1　平面ABD与平面ABC

解析　如图，取CD的中点E，连接AE，BE.

则EM∶MA＝1∶2，

EN∶BN＝1∶2，

所以MN∥AB.

又AB平面ABD，MN

平面ABD，

所以MN∥平面ABD，

同理，AB平面ABC，MN

平面ABC，

所以MN∥平面ABC.

例2　证明　∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，F为A1C1的中点，

∴A1F綊

AC，

∵D、E分别是棱AB，BC的中点，

∴DE綊

∴A1F綊DE，

则四边形A1DEF为平行四边形，

∴EF∥A1D.

又EF

平面A1CD且A1D平面A1CD，

∴EF∥平面A1CD.

跟踪训练2　证明　

（1）∵BC1

平面AB1D1，AD1平面AB1D1，BC1∥AD1，∴BC1∥平面AB1D1.

（2）∵点F为BD的中点，∴F为AC的中点，又∵点E为D1C的中点，∴EF∥AD1，∵EF

平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1，∴EF∥平面ADD1A1.

例3　证明　

（1）因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，

所以GH是△A1B1C1的中位线，

所以GH∥B1C1.

又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，

所以B，C，H，G四点共面．

（2）因为E，F分别是AB，AC的中点，

所以EF∥BC.

因为EF

平面BCHG，BC平面BCHG，

所以EF∥平面BCHG.

因为A1G∥EB，A1G＝EB，

所以四边形A1EBG是平行四边形，

所以A1E∥GB.

因为A1E

平面BCHG，GB平面BCHG，

所以A1E∥平面BCHG.

因为A1E∩EF＝E，

所以平面EFA1∥平面BCHG.

跟踪训练3　解　当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.

∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，连接PQ，如图，易证四边形PQBA是平行四边形，∴QB∥PA.

又∵AP平面APO，QB

平面APO，

∴QB∥平面APO.

∵P，O分别为DD1，DB的中点，

∴D1B∥PO.

同理可得D1B∥平面PAO，

又D1B∩QB＝B，

∴平面D1BQ∥平面PAO.

当堂训练

1．D　2.D　3.A　4.B

5．证明　连接BD，在△ABD中，

∠BAD＝60°

，AB＝AD，

∴△ABD是等边三角形，E为AD的中点，

∴BE⊥AD，又CD⊥AD，

∴在四边形ABCD中，BE∥CD.

又CD

平面FEB，BE平面FEB，

∴CD∥平面FEB.

在△APD中，EF∥PD，

同理可得PD∥平面FEB.

又CD∩PD＝D，

∴平面PCD∥平面FEB.