高考数学一轮复习 62推理与证明 精品导学案.docx

高考数学一轮复习 62推理与证明 精品导学案.docx

《高考数学一轮复习 62推理与证明 精品导学案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 62推理与证明 精品导学案.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高考数学一轮复习62推理与证明精品导学案

第二节推理与证明

【高考目标定位】

一、合情推理与演绎推理

1、考纲点击

（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；

（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；

（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

2、热点提示

（1）以选择题、填空题的形式考查合情推理；

（2）以选择题或解答题的形式考查演绎推理

（3）题目难度不大，多以中低档题为主。

二、直接证明与间接证明

1、考纲点击

（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；

（2）了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点；

2、热点提示

（1）本考点在高考中每年都要涉及，主要以考查直接证明中的综合法为主；

（2）反证法仅作为客观题的判断方法不会单独命题。

三、数学归纳法

1、考纲点击

（1）了解数学归纳法的原理；

（2）能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

2、热点提示

（1）归纳——猜想——证明仍是高考重点；

（2）与函数、数列、不等式等知识结合，在知识的交汇处命题是热点。

【考纲知识梳理】

一、合情推理与演绎推理

注：

归纳推理和类比推理的特点与区别：

类比推理和归纳推理的结论都是有待于证明的。

归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理。

二、直接证明与间接证明

1、直接证明

注：

分析法的特点是：

从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上寻求它的充分条件；综合法的特点是：

从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件。

分析法与综合法各有其特点，有些具体的待证命题，用分析法或综合法均能证明出来，往往选择较简单的一种。

2、间接证明

反证法：

假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法。

三、数学归纳法

数学归纳证题的步骤：

（1）证明当n取第一值时命题成立：

（2）假设n=k（k≥,k∈）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立。

注：

1、第一个值是否一定为1呢？

不一定，要看题目中n的要求，如当n≥3时，则第一个值应该为3。

2、数学归纳法两个步骤有何关系？

数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递推。

两者缺一不可。

【热点难点精析】

一、合情推理与演绎推理

（一）归纳推理

※相关链接※

1、归纳推理的特点：

（1）归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；

（2）归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的。

2、归纳推理的一般步骤：

（1）通过观察个别情况发现某些相同本质；

（2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题。

注：

归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明。

※例题解析※

〖例〗设，先分别求，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明。

思路解析：

由f（x）计算各和式得出结论归纳猜想证明

解答：

，同理可得：

。

证明：

设

（二）类比推理

※相关链接※

1、类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤是：

（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；

（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。

2、类比是科学研究最普遍的方法之一。

在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造新分支的重要手段。

类比在数学中应用广泛。

数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比法猜想，而后加以证明的。

注：

类比推理推得的结论不一定正确，其正确性，有待进一步证明。

※例题解析※

〖例1〗请用类比推理完成下表：

平面

空间

三角形两边之和大于第三边

三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积

三角形的面积等于任意一边的长度与这边上高的乘积的一半

三棱锥的体积等于任意一个面的面积与该面上的高的乘积的三分之一

三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半

思路点拨：

由表格一、二两个问题的类比可知，线对面，长度对面积，从而内切圆应相对内切球，从而可解。

解答：

本题由已知前两组类比可得到如下信息：

①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三角形的面积公式中的“二分之一”，与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象。

由以上分析可知：

故第三行空格应填：

三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一。

（本题结论可用等体积法，将三棱锥分割成四个小三棱锥去证明，此处略）

〖例2〗平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行。

类似地，写出空间中的一个四棱锥为平行六面体的两个充要条件：

充要条件①：

充要条件②：

解答：

两组对边分别平行类比可得三组对面分别平行。

一组对边平行且相等类比可得两组对面分别平行且全等。

答案：

①三组对面分别平行；②两组对面分别平行且全等。

注：

类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象其他属性亦类似的一种推理方法。

例如分式与分数类比、平面几何与立体几何的某些对象类比等。

当然类比时有能出现错误，如：

在平面内，直线a、b、c，若a⊥b,b⊥c，则a∥c；在空间，三个平面α、β、Υ，若α⊥β,β⊥Υ，但α与Υ之间可能平行，也可能相交。

（三）演绎推理

〖例1〗

（1）证明函数在上是增函数；

（2）当时，是增函数还是减函数？

思路解析：

（1）证明本题的大前提是增函数的定义，即增函数满足：

在给定区间内任取自变量的两个值且，，小前提是函数，x∈，结论满足增函数定义。

（1）关键是看与的增区间或减区间的关系。

解答：

（1）方法一：

任取∈，则

于是，根据“三段论”可知，

在上是增函数；

方法二：

（2）∵，而是区间的子区间，∴在上是增函数。

注：

三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：

若集合M的所有元素都具体性质P，S是M的子集，那么S所有元素都具体性质P。

三段论推理中包含三个原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：

结论。

〖例2〗用三段论的形式写出下列演绎推理。

（1）若两角是对顶角，则该两角相等，所以若两角不相等，则该两角不是对顶角；

（2）矩形的对角线相等，正方形的是矩形，所以正方形的对角线相等；

（3）是有理数；

（4）y=sinx（x∈R）是周期函数。

解答：

（1）两个角是对顶角，则两角相等，…………………………………………大前提

∠1和∠2不相等………………………………………………………………………小前提

∠1和∠2不是对顶角……………………………………………………………………结论

（2）每个矩形的对角线相等………………………………………………………大前提

正方形是矩形…………………………………………………………………………小前提

正方形的对角线相等……………………………………………………………………结论

（3）所有的循环小数是有理数，………………………………………………………大前提

是循环小数，……………………………………………………………………小前提

所以是有理数……………………………………………………………………结论

（4）三角函数是周期函数，…………………………………………………………大前提

y=sinx是三角函数，……………………………………………………………………小前提

y=sinx是周期函数…………………………………………………………………………结论

二、直接证明与间接证明

（一）综合法证明不等式

※相关链接※

1、综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性。

用综合法证明题的逻辑关系是：

（A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论），它的常见书面表达是“∵，∴”或“”；

2、综合法是中学数学证明中常用方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法。

※例题解析※

〖例〗已知x+y+z=1，求证.

思路点拨：

利用，同时变形利用x+y+z=1，从而（x+y+z）2=1可证。

解答：

（二）分析法证明不等式

※相关链接※

1、分析法也是中学数学证明问题的常用方法，其主要过程是从结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件；

2、分析法是“执果索因”，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知事实。

用分析法证“若P则Q”这个命题的模式是：

为了证明命题为真，从而有……

这只需证明命题为真，从而有……

这只需证明命题为真，从而有……

……

这只需证明命题P为真。

而已知P为真，故Q必为真。

注：

用分析法证题时，一定要严格按格式书写，否则容易出错。

※例题解析※

〖例〗已知非零向量，且，求证：

。

思路解析：

。

同意注意，，将要证式子变形平方即可获证。

解答：

∵∴，要证，只需证，只需证

（三）反证法证明

※相关链接※

1、反证法是间接证明问题的一种常用方法，其证明问题的一般步骤为：

（1）反设：

假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；（否定结论）

（2）归廖：

将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；（推导矛盾）

（3）结论：

因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的廖误。

既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。

（结论成立）

注：

用反证法证明问题时要注意以下三点：

（1）必须否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全是；

（2）反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；

（3）推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的。

2、常见的“结论词”与“反设词”如下：

原结论词

反设词

原结论词

反设词

至少有一个

一个也没有

对所有x成立

存在某个x不成立

至多有一个

至少有两个

对任意x不成立

存在某个x成立

至少有n个

至多有n-1个

p或q

且

至多有n个

至多有n+1个

p且q

或

※例题解析※

〖例〗已知是互不相等的实数，求证：

由确定的三条抛物线至少有一条与轴有两个不同的交点。

思路解析：

利用反证法，否定命题的结论利用同向不等式求和推出矛盾得结论

解答：

假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与有两个不同的交点（即任何一条抛物线与轴没有两个不同的交点），由得

（四）综合问题的证明

〖例〗请先阅读：

在等式（）的两边求导，得：

，

由求导法则，得，化简得等式：

．

（1）利用上题的想法（或其他方法），试由等式（1＋x）n＝（，正整数），证明：

＝．

（2）对于正整数，求证：

（i）＝0；

（ii）＝0；

（iii）．

证明：

（1）在等式两边对求导得

移项得（*）

（2）（i）在（*）式中，令，整理得

所以

（ii）由

（1）知

两边对求导，得