小学奥数专题枚举法通用版Word文档格式.docx

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第一次报数后，单号全部站出来，然后每次余下的人中第一个开始站出来，隔一人站出来一个人，到第几次这些人全部站出来？

最后站出的人应该是第几号？

20．用1、2、3这三个数一共可以组成多少个不同的三位数？

分别为哪几个？

21．如图所示，数字1处有一颗棋子，现移动这颗棋子到数字5处。

规定每次只能移动到邻近一格，且总是向右移动，例如1→2→4→5就是一条路线。

问有多少种不同的移动路线？

22．邮局门前共有5级台阶，规定一步只能登上一级或两级，那么上这个台阶一共有多少种不同的上法？

用数组表示不同的上法。

23．商店出售饼干，现存10箱5公斤重的，4箱2公斤重的，8箱一公斤重的。

顾客要买九公斤重的饼干，为了便于携带又不开箱，售货员有多少种发货办法？

24．小云带了1张5元、4张2元的纸币和8枚1元的硬币，现在他要买一本8元的小说，问他有多少种付钱方式？

25．把三个苹果放在两个同样的抽屉里，有多少种不同的方法？

26．用0、1、2这三个数，分别能组成多少个不同的三位数？

其中最小的三位数和最大的三位数分别是多少？

27．一个盒子中装有七枚硬币，两枚1分，两枚5分，两枚1角，一枚5角，每次取出两枚，记下它们的和，然后放回盒中，如此反复取出和放回，那么记下的和最多有多少种不同的钱数？

28．三个数的和是7，如果不计次序，有几种可能？

29．从1～50这50个自然数中选取两个数字，使它们的和大于50，共有多少种不同的取法？

30．今有一角币1张、贰角币1张、伍角币1张、一元币4张、五元币2张。

这些纸币任意付款，可以付出多少种不同数额的款？

31．现在有足够数量的1角、5角及1元的硬币若干，如果想用这些硬币组成价值为20元的面额，那么一共有多少种不同的组合方法？

32．一本数学辅导书的序言共有3页，目录共有2页，随后的正文若干页。

这本书在编页码时是将序言、目录和正文分别进行编码的。

如果我们知道这本书在编码时一共使用了1355个字码。

那么这本书一共有多少页？

参考答案

1．3

【解析】

有1+2+6＝9，1+3+5＝9，2+3+4＝9，共3种，所以共有3种取法符合题意．

2．9

在选取时，我们使被加数小于加数，有被加数选1时不满足，选2时不满足，

有3+8＝11，4+7＝11，4+8＝12，5+6＝11，5+7＝12，5+8＝13，6+7＝13，6+8＝14，7+8＝15，所以共有9种取法，使得这两个数的和大于10．

3．5

2角3分为23分，当含有5分的硬币4枚时，剩下的23－5×

4＝3分，可以是1+1+1，或1+2这2种组合支付方法；

当含有5分的硬币3枚时，剩下的23－5×

3＝8分，可以是2+2+2+2，或2+2+2+1+1，或2+2+1+1+1+1这3种组合支付方法；

当含有5分的硬币2枚时，剩下的23－5×

2＝13分，而1、2分最多能组成（1+2）×

4＝12分，不满足；

那么只含有1枚5分硬币，和不含有5分硬币时，显然更不满足．

于是共有2+3＝5种支付方式．

4．8

如果3天吃完，则2+2+3＝2+3+2＝3+2+2，有3种吃法；

2天吃完，则2+5＝5+2＝3+4＝4+3，有4种吃法；

1天吃完，则那一天吃了7个；

所以共有3+4+1＝8种不同的吃法．

5．7

【解析】300＝99+100+101

＝99+101+100

＝100+99+101

＝100+101+99

＝101+99+100

＝101+100+99

＝100+100+100．

所以共有7种不同的订法．

6．10

四位数最大为9999，数字和为9+9+9+9＝36，所以数字和为34的四位数只能由如下方式组合得到：

（9，9，9，7），（9，9，8，8）

对应有9997，9979，9799，7999，9988，8899，9889，8998，9898，8989，共10种．

7．5

6份不同，每份至少一本，则最少为1+2+3+4+5+6＝21本书，25－21＝4，于是把4本数安排进入即可．

有1+2+3+4+5+10＝1+2+3+4+6+9＝1+2+3+4+7+8＝1+2+3+5+6+9＝1+3+4+5+6+7＝25，共有5种不同的分法．

8．4

每种书最少买一本，则花去3+5+7+11＝26元，买了4册，所以剩下的70－26＝44元，任意买6册即可．

显然11元的最多再买3本，花去11×

3＝33元，剩下11元买3册，3+3+5＝11，即有1种买法；

11元的再买2本，花去11×

2＝22元，剩下22元买4册，5+5+5+7＝3+5+7+7，就有2种买法；

11元的再买1本，花去11元，剩下33元买5册，5+7+7+7+7，即有1种买法；

如果11元的1本都不再买，那么44元买6册，最贵的为7元，7×

6＝42，无法花去44元，所以不满足．

于是，共有1+2+1＝4种不同的购买方法．

3元×

3，5元×

2，7元×

1，11元×

4；

2，5元×

3，11元×

3；

1，5元×

4，7元×

2，11元×

5，11元×

2．

9．9

用1，2，3，4分别代表甲，乙，丙，丁，有2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，共9种情况满足．

10．1324,1432,2314,2413,3412

有1324，1432，2314，2413，3412满足．

11．8

设三位数为

，由分析知

是5的倍数，

c为0或5当c＝0时，b＝a+c，abc比500小，则a＝1、2、3、4，对应b＝1、2、3、4．共4种情形．

若c＝5时，a＝1、2、3、4，对应b＝6、7、8、9也是4种情形，因此一共是8种情形．

12．2

【解析】当甲穿的运动衣的号码是1，乙为2，丙为3时，则甲再取1个，乙再取6个，丙再取12个，此时共取走1+2+3+1+6+12＝25个，此时还剩下25－25＝0个，不满足；

当甲穿的运动衣的号码是1，乙为3，丙为2时，则甲再取1个，乙再取9个，丙再取8个，此时共取走1+3+2+1+9+8＝24个，此时还剩下25－24＝1个，不满足；

当甲穿的运用衣的号码是2，乙为1，丙为3时，则甲再取2个，乙再取3个，丙再取12个，此时共取走1+2+3+2+3+12＝23个，此时还剩下25－23＝2个，显然满足．

不难验证其他情况不成立．

所以甲穿的是2号运动衣．

13．14

我们记甲赢为1，甲输为0，

两局决定输赢的情况有1+1，0+0，共2种；

三局决定输赢的情况不存在（为什么？

）；

四局决定输赢的情况有1+0+1+1，1+0+0+0，0+1+1+1，0+1+0+0，共4种；

五局决定输赢的情况有1+0+0+1+1，1+0+1+0+1，1+0+0+1+0，1+0+1+0+0，0+1+1+0+0，0+1+0+1+0，0+1+1+0+1，0+1+0+1+1，共8种；

所以共有2+4+8＝14种可能．

14．

如下图，有12种符合题意的拼贴方式．

15．12

下图为一个正八边形，它的八个顶点别记为1、2、3、4、5、6、7、8．我们从顶点1考虑，三条不同长度对角线从小到大记为

、

．从顶点1出发必然连了许多对角线，考虑整个剖分三角形，若必然有顶点连了

两种对角线，不可能只连

对角线，否则根本剖分不成三角形，考虑到相互旋转而得到被认为是同一种剖分，因此考虑顶点1连了

或

对角线．

若顶点1连了

对角线1—5，这样1—5对角线也是整个正八边形对称轴，再把左右两边的梯形剖分成三角形即可，这样从顶点1考虑分别有3种不同的图形剖分，如下图所示．

3种结构记为a、b、c上边是右边的剖分，左边剖分分别是上面3处图形式对称图形，记为

，因此满足条件的正八边形剖分有下面9种：

aa，a

、bb，b

、c

、ab，a

、ac、bc．这里

，b与

，a、

，c与

，a、b，c与

，b可相互反射得到，因此有6中不同情形．

对角线，而无

对角线，可以有

对角线，如图a，先连上1－6对角线，这样剖分六边形123456时，不会出现

对角线，否则旋转一下同顶点1引

对角线是同一种情形，这样必然使得顶点1或顶点6有另外一条

对角线，若1—4为

对角线，如图e这样四边形1678与四边形1234关于轴1—5对称，中间四边形1456部分只能是连4—6右上部四边形1234剖分有2种分别主为d、e，它们的对称图形对应于四边形1678的两种剖分

，这样正八边形的剖分为

d、

e、

e共3种．

若6—3为

对角线，

这样的图形与图

是同一个图形，它不过是把顶点6旋转到顶点1即可．

所以，共有9+3＝12种不同的方法．

16．4

【解析】

（1）2张10元，1张5元，3张1元，1张5角，3张1角；

（2）1张10元，3张5元，3张1元，1张5角，1张2角，1张1角；

（3）1张20元，4张2元，8张1角；

（4）3张10元，收30元找回1元2角；

17．4

【解析】分拆时，将自然数按从达到小的顺序出现，一共有4种不同的分拆方法：

4=3+1，4=2+2，4=2+1+1，4=1+1+1+1。

18．7

共有三个重量不同的砝码，可以取出其中的一个，两个，三个来称量。

一一来列举这三种情况。

取一个砝码可称：

1克、3克、9克。

有3种。

取两个砝码可称：

1+3=4（克）、1+9=10（克）、3+9=12（克），3种。

取三个砝码可称：

1+3+9=13（克），有1种。

注意到1、3、9、4、10、12、13各不相同，所以可以称出：

3+3+1=7（种）

19．16

【解析】根据题目的特点，先用排列法把题中的条件问题列出来，再用枚举法完成题目要求。

排好队的人依次是1，2，3，4，5，．．．．．．28，29，30

次数

出队号码

第一次

1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29

第二次

2，6，10，14，18，22，16，30

第三次

4，12，20，28

第四次

8，24

第五次

16

从上面的列表中我们毫无遗漏的排列，得出到第五次这些人全部站出来，最后在个人是16号。

20．6个；

123、132、213、231、312、321

【解析】根据百位上的数字不同，我们可以将它们分成三类

第一类：

百位上数字为1，有123、132

第二类；

百位上数字为2，有213、231

第三类：

百位上数字为3，有312、321

可以组成123、132、213、231、312、321共6个不同数字

21．5

【解析】从1要移到5，从结果想，要移到5只有从4、3向右移动一格到邻近一格5，即5←4或5←3；

要移到4，只有从3、2向右移动一格到邻近的4，即：

4←3或4←2；

．．．．．．用树形图填写如下

数一数，图中1的个数就是移动的路线数。

故共有5条不同的路线。

22．8

（1）（1，1，1，1，1）表示每步只上一级，只有一种上法；

（2）（2，1，1，1）（1，2，1，1），（1，1，2，1，），（1，1，1，2），表示有一步上两个台阶，其他几步都各上一个台阶，共有4种上法；

（3）（2，2，1），（1，2，2），（2，1，2），表示有两步各上两个台阶，有一步上一个台阶，这种上法共有3种。

因此，上台阶一共有1+4+3=8种不同上法。

23．7

【解析】9=5+2+2=5+2+1+1=5+1+1+1+1=2+2+2+2+1=2+2+2+1+1+1=2+2+1+1+1+1+1

=2+1+1+1+1+1+1+1

一共有7种。

24．7

【解析】8=5+2+1=5+1+1+1=2+2+2+2=2+2+2+1+1=2+2+1+1+1+1=2+1+1+1+1+1+1

=1+1+1+1+1+1+1+1

一共7种。

25．2

【解析】可以放（2，1）或者（3，0）个，由于两个抽屉一样，（2，1）和（1，2）一样，所以只有2种。

26．102,210

【解析】列出所有这样的三位数，因为0不能在首位，所以共有102，120，201，210，一共4个，其中最大的是210，最小的是102。

27．9

【解析】列出所有的情况，和可以是1分+1分=2分；

1分+5分=6分；

5分+5分=1角；

1分+1角=1角1分；

5分+1角=1角5分；

1角+1角=2角；

1分+5角=5角1分；

5分+5角=5角5分；

1角+5角=6角。

一共9种。

28．4

【解析】不计次序的话，将7拆分开，7=1+1+5=1+2+4=1+3+3=2+2+3一共4种。

29．625

【解析】取法有很多，找到规律使数法简单且不重复不遗漏是解题的关键。

解：

若两数中较大的是50，则另一个可以取1,2,3，…，49，共49种取法；

若两数中较大的是49，则另一个可以取1,2,3，…，48，共47种取法；

若两数中较大的是48，则另一个可以取1,2,3，…，47，共45种取法；

……

若两数中较大的是26，则另一个只能取25，共1种取法。

因此共有1+3+5+…+47+49=625种取法。

说明在运用枚举法时，一定要找出问题的本质，按照一定的规律去设计枚举的形式。

30．119

【解析】本题如直接枚举，情况复杂，很难求出正确答案。

我们可以先考虑付款的数额范围，在此范围内，再考虑那些不能构成的付款数额，将其剔除。

由题意，付款的最小数额为1角，最大数额为14.8元。

其间1角的整数倍共有148种款额。

另一方面，4角、9角，这两种数额是这些钱币无法付出的，所以1.4元、1.9元、2.4元、2.9元、3.4元、3.9元、…、14.4元，这些数额也无法付出。

上述这些付不出的数额共29种，应剔除。

所以能付出的数额应是148-29=119（种）。

说明本题采用逆向思维，把本来比较复杂的正面枚举改为较简单的反面枚举。

这是我们做题时的常见的策略。

31．441

【解析】若全用1元的，共需20个1元硬币，这时只有1种组合方法；

若用19个1元硬币，则还需2个5角硬币或者1个5角与5个1角的硬币，或10个1角的硬币，这时共有3种组合方法；

若用18个1元硬币，则还需4个5角硬币或者3个5角与5个1角的硬币，或2个5角的硬币与10个1角的硬币，或1个5角的硬币与15个1角的硬币，或20个1角的硬币，这时共有5种组合方法；

依次类推，若用17个1元硬币，则有7种组合方法；

若用1个1元的硬币，则有39种组合方法；

若不用1元硬币，则有41种组合方法。

于是，共有1+3+5+…+39+41=441种不同的组合方法。

32．491

【解析】我们知道，一页的编码是一位数时，编码时只用一个字码；

当一页的编码是两位数时，每页用两个字码；

当一页的编码是三位数时，每页则用三个字码。

因此，设这本书正文有x页，可得方程：

3+2+9×

1+90×

2+（x-99）×

3＝1355，解得x=486。

即正文有486页，所以这本书一共有491页。