高中数学第一章集合与函数概念11集合113集合的基本运算教学设计新人教A版必修1Word文档格式.docx
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（3）用数学符号来叙述上述问题中，集合A，B与集合C之间的关系．
（4）试用Venn图表示A∪B＝C.
（5）请给出集合的并集定义．
（6）求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗？
请同学们考察下面的问题，集合A，B与集合C之间有什么关系？
②A＝{x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级女同学}，B＝{x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级男同学}，C＝{x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级同学}．
（7）类比集合的并集，请给出集合的交集定义，并分别用三种不同的语言形式来表达．
活动：
先让学生思考或讨论问题，然后再回答，经教师提示、点拨，并对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路，主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画，用Venn图来表示．
讨论结果：
（1）集合之间也可以相加，也可以进行运算，但是为了不和实数的运算相混淆，规定这种运算不叫集合的加法，而是叫做求集合的并集．集合C叫集合A与B的并集．记为A∪B＝C，读作A并B.
（2）所有属于集合A或属于集合B的元素组成了集合C.
（3）C＝{x|x∈A，或x∈B}．
（4）如图1所示．
（5）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集．其含义用符号表示为A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}，用Venn图表示，如图1所示．
（6）集合之间还可以求它们的公共元素组成的集合，这种运算叫求集合的交集，记作A∩B，读作A交B.①A∩B＝C，②A∪B＝C.
（7）一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集．
其含义用符号表示为：
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
用Venn图表示，如图2所示．
图2
例1集合A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞0}，C＝{x|x≥10}，则A∩B，B∪C，A∩B∩C分别是什么？
学生先思考集合中元素的特征，明确集合中的元素．将集合中元素利用数形结合在数轴上找到，那么运算结果寻求就易进行．这三个集合都是用描述法表示的数集，求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素．
解：
因为A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞0}，C＝{x|x≥10}，在数轴上表示，如图3所示，所以A∩B＝{x|0＜x＜5}，B∪C＝{x|x＞0}，A∩B∩C＝
.
图3
点评：
本题主要考查集合的交集和并集．求集合的并集和交集时，①明确集合中的元素；
②依据并集和交集的含义，直接观察或借助于数轴或Venn图写出结果.
变式训练
1．设集合A＝{x|x＝2n，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，求A∩B，A∪B.
对任意m∈A，则有m＝2n＝2·
2n－1，n∈N*，因n∈N*，故n－1∈N，有2n－1∈N，那么m∈B，即对任意m∈A有m∈B，所以A⊆B.
而10∈B但10
A，即A
B，那么A∩B＝A，A∪B＝B.
2．求满足{1,2}∪B＝{1,2,3}的集合B的个数．
满足{1,2}∪B＝{1,2,3}的集合B一定含有元素3，B＝{3}；
还可含1或2其中一个，有{1,3}，{2,3}；
还可含1和2，即{1,2,3}，那么共有4个满足条件的集合B.
3．设集合A＝{－4,2，a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，已知A∩B＝{9}，求a.
∵A∩B＝{9}，则9∈A，a－1＝9或a2＝9.
∴a＝10或a＝±
3.
当a＝10时，a－5＝5,1－a＝－9；
当a＝3时，a－1＝2不合题意；
当a＝－3时，a－1＝－4不合题意．
4．设集合A＝{x|2x＋1＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，则A∩B等于（ ）
A．{x|－3＜x＜1} B．{x|1＜x＜2}
C．{x|x＞－3}D．{x|x＜1}
解析：
集合A＝{x|2x＋1＜3}＝{x|x＜1}，
观察或由数轴得A∩B＝{x|－3＜x＜1}．
答案：
A
例2设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．
明确集合A，B中的元素，教师和学生共同探讨满足A∩B＝B的集合A，B的关系．集合A是方程x2＋4x＝0的解组成的集合，可以发现，B⊆A，通过分类讨论集合B是否为空集来求a的值．利用集合的表示法来认识集合A，B均是方程的解集，通过画Venn图发现集合A，B的关系，从数轴上分析求得a的值．
由题意得A＝{－4,0}．
∵A∩B＝B，∴B⊆A.
∴B＝
或B≠
当B＝
时，即关于x的方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0无实数解，
则Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＜0，解得a＜－1.
当B≠
时，若集合B仅含有一个元素，则Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＝0，解得a＝－1，
此时，B＝{x|x2＝0}＝{0}⊆A，即a＝－1符合题意．
若集合B含有两个元素，则这两个元素是－4,0，
即关于x的方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0的解是－4,0.
则有
解得a＝1，则a＝1符合题意．
综上所得，a＝1或a≤－1.
1．已知非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则能使A⊆（A∩B）成立的所有a值的集合是什么？
由题意知A⊆（A∩B），即A⊆B，A非空，利用数轴得
解得6≤a≤9，即所有a值的集合是{a|6≤a≤9}．
2．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且A∪B＝A，试求实数m的取值范围．
分析：
由A∪B＝A得B⊆A，则有B＝
，因此对集合B分类讨论．
∵A∪B＝A，∴B⊆A.
又∵A＝{x|－2≤x≤5}≠
，∴B＝
，或B≠
时，有m＋1＞2m－1，∴m＜2.
时，观察图4：
图4
由数轴可得
解得2≤m≤3.
综上所述，实数m的取值范围是m＜2或2≤m≤3，即m≤3.
本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想，以及集合间关系的应用．已知两个集合的运算结果，求集合中参数的值时，由集合的运算结果确定它们的关系，通过深刻理解集合表示法的转换，把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题．这称为数学的化归思想，是数学中的常用方法，学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题.
课本本节练习1,2,3.
【补充练习】
（1）求A∩B，A∪B.
（2）用适当的符号（⊇，⊆）填空：
A∩B________A，B________A∩B，A∪B________A，A∪B________B，A∩B________A∪B.
（1）因A，B的公共元素为5,8，故两集合的公共部分为5,8，
（2）由Venn图可知
A∩B⊆A，B⊇A∩B，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∩B⊆A∪B.
2．设A＝{x|x＜5}，B＝{x|x≥0}，求A∩B.
因x＜5及x≥0的公共部分为0≤x＜5，
故A∩B＝{x|x＜5}∩{x|x≥0}＝{x|0≤x＜5}．
3．设A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是直角三角形}，求A∩B.
因三角形按角分类时，锐角三角形和直角三角形彼此孤立，故A，B两集合没有公共部分．
所以A∩B＝{x|x是锐角三角形}∩{x|x是钝角三角形}＝
4．设A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x≥3}，求A∪B.
在数轴上将A，B分别表示出来，得A∪B＝{x|x＞－2}．
5．设A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，求A∪B.
因矩形是平行四边形，故由A及B的元素组成的集合为A∪B，A∪B＝{x|x是平行四边形}．
6．已知M＝{1}，N＝{1,2}，设A＝{（x，y）|x∈M，y∈N}，B＝{（x，y）|x∈N，y∈M}，求A∩B，A∪B.
M，N中的元素是数，A，B中的元素是平面内的点集，关键是找其元素．
∵M＝{1}，N＝{1,2}，∴A＝{（1,1），（1,2）}，B＝{（1,1），（2,1）}，故A∩B＝{（1,1）}，A∪B＝{（1,1），（1,2），（2,1）}．
7．若A，B，C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有（ ）
A．A⊆CB．C⊆AC．A≠CD．A＝
思路一：
∵（B∩C）⊆B，（B∩C）⊆C，A∪B＝B∩C，
∴A∪B⊆B，A∪B⊆C.∴A⊆B⊆C.∴A⊆C.
思路二：
取满足条件的A＝{1}，B＝{1,2}，C＝{1,2,3}，排除B，D，
令A＝{1,2}，B＝{1,2}，C＝{1,2}，则此时也满足条件A∪B＝B∩C，
而此时A＝C，排除C.
关系；
（2）当A＝
时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系；
（3）当A＝B＝{1,2}时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系．
由
（1）
（2）（3）你发现了什么结论？
图5
依据集合的交集和并集的含义写出运算结果，并观察与集合A，B的关系．用Venn图来发现运算结果与集合A，B的关系．
（1）
（2）（3）中的集合A，B均满足A⊆B，用Venn图表示，如图5所示，就可以发现A∩B，A∪B与集合A，B的关系．
A∩B＝A⇔A⊆B⇔A∪B＝B.
用类似方法，可以得到集合的运算性质，归纳如下：
A∪B＝B∪A，A⊆（A∪B），B⊆（A∪B）；
A∪A＝A，A∪
＝A，A⊆B⇔A∪B＝B；
A∩B＝B∩A；
（A∩B）⊆A，（A∩B）⊆B；
A∩A＝A；
A∩
＝
；
A⊆B⇔A∩B＝A.
本节主要学习了：
1．集合的交集和并集．
2．通常借助于数轴或Venn图来求交集和并集．
1．课外思考：
对于集合的基本运算，你能得出哪些运算规律？
2．请你举出现实生活中的一个实例，并说明其并集、交集和补集的现实含义．
3．书面作业：
课本习题1.1，A组，6,7,8.
由于本节课内容比较容易接受，也是历年高考的必考内容之一，所以在教学设计上注重加强练习和拓展课本内容．设计中通过借助于数轴或Venn图写出集合运算的结果，这是突破本节教学难点的有效方法．
第2课时
作者：
赵冠明
问题：
①分别在整数范围和实数范围内解方程（x－3）（x－
）＝0，其结果会相同吗？
②若集合A＝{x|0＜x＜2，x∈Z}，B＝{x|0＜x＜2，x∈R}，则集合A，B相等吗？
学生回答后，教师指明：
在不同的范围内集合中的元素会有所不同，这个“范围”问题就是本节学习的内容，引出课题．
①用列举法表示下列集合：
A＝{x∈Z|（x－2）
＝0}；
B＝{x∈Q|（x－2）
C＝{x∈R|（x－2）
＝0}.
②问题①中三个集合相等吗？
为什么？
③由此看，解方程时要注意什么？
④问题①中，集合Z，Q，R分别含有所解方程时所涉及的全部元素，这样的集合称为全集，请给出全集的定义．
⑤已知全集U＝{1,2,3}，A＝{1}，写出全集中不属于集合A的所有元素组成的集合B.
⑥请给出补集的定义．
⑦用Venn图表示∁UA.
组织学生充分讨论、交流，使学生明确集合中的元素，提示学生注意集合中元素的范围．
①A＝{2}，B＝
，C＝
②不相等，因为三个集合中的元素不相同．
③解方程时，要注意方程的根在什么范围内，同一个方程，在不同的范围其解会有所不同．
④一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U.
⑤B＝{2,3}．
⑥对于一个集合A，全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集．
集合A相对于全集U的补集记为∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x
A}．
⑦如图6所示，阴影表示补集．
图6
思路1
让学生明确全集U中的元素，回顾补集的定义，用列举法表示全集U，依据补集的定义写出∁UA，∁UB.
本题主要考查补集的概念和求法．用列举法表示的集合，依据补集的含义，直接观察写出集合运算的结果．
常见结论：
∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）；
∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）.
等于（ ）
A．{1,6} B．{4,5}
C．{1,2,4}D．{3,5}
B
UQ）等于（ ）
A．{1,2}B．{3,4,5}
例2设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}．求A∩B，∁U（A∪B）．
学生思考三角形的分类和集合的交集、并集和补集的含义．结合交集、并集和补集的含义写出结果．A∩B是由集合A，B中公共元素组成的集合，∁U（A∪B）是全集中除去集合A∪B中剩下的元素组成的集合．
根据三角形的分类可知A∩B＝
，
A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，
∁U（A∪B）＝{x|x是直角三角形}.
1．已知集合A＝{x|3≤x＜8}，求∁RA.
∁RA＝{x|x＜3，或x≥8}．
2．设S＝{x|x是至少有一组对边平行的四边形}，A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，求B∩C，∁AB，∁SA.
B∩C＝{x|x是正方形}，∁AB＝{x|x是邻边不相等的平行四边形}，∁SA＝{x|x是梯形}．
3．已知全集I＝R，集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}，B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足（∁IA）∩B＝{2}，（∁IB）∩A＝{4}，求实数a，b的值．
a＝
，b＝－
∵U＝R，A＝{x|x≤2＋
}，∴∁UA＝{x|x＞2＋
}．而4,5,6都大于2＋
，∴（∁UA）∩B＝{4,5,6}．
思路2
例1已知全集U＝R，A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|－3≤x≤3}，求：
（1）∁UA，∁UB；
（2）（∁UA）∪（∁UB），∁U（A∩B），由此你发现了什么结论？
（3）（∁UA）∩（∁UB），∁U（A∪B），由此你发现了什么结论？
学生回想补集的含义，教师指导学生利用数轴来解决．依据补集的含义，借助于数轴求得．
在数轴上表示集合A，B，如图7所示，
图7
（1）由图得∁UA＝{x|x＜－2，或x＞4}，∁UB＝{x|x＜－3，或x＞3}．
（2）由图得（∁UA）∪（∁UB）＝{x|x＜－2，或x＞4}∪{x|x＜－3，或x＞3}＝{x|x＜－2，或x＞3}；
∵A∩B＝{x|－2≤x≤4}∩{x|－3≤x≤3}＝{x|－2≤x≤3}，
∴∁U（A∩B）＝∁U{x|－2≤x≤3}＝{x|x＜－2，或x＞3}．
∴得出结论∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．
（3）由图得（∁UA）∩（∁UB）＝{x|x＜－2，或x＞4}∩{x|x＜－3，或x＞3}＝{x|x＜－3，或x＞4}；
∵A∪B＝{x|－2≤x≤4}∪{x|－3≤x≤3}＝{x|－3≤x≤4}，∴∁U（A∪B）＝∁U{x|－3≤x≤4}＝{x|x＜－3，或x＞4}．∴得出结论∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）.
UA）∪（∁UB）等于（ ）
D
2．设集合I＝{x||x|＜3，x∈Z}，A＝{1,2}，B＝{－2，－1，2}，则A∪（∁IB）等于（ ）
A．{1} B．{1,2}C．{2} D．{0,1,2}
例2设全集U＝{x|x≤20，x∈N，x是质数}，A∩（∁UB）＝{3,5}，（∁UA）∩B＝{7,19}，（∁UA）∩（∁UB）＝{2,17}，求集合A，B.
学生回顾集合的运算的含义，明确全集中的元素．利用列举法表示全集U，根据题中所给的条件，把集合中的元素填入相应的Venn图中即可．求集合A，B的关键是确定它们的元素，由于全集是U，则集合A，B中的元素均属于全集U，由于本题中的集合均是有限集并且元素的个数不多，可借助于Venn图来解决．
由题意借助于Venn图，如图8所示，
图8
本题主要考查集合的运算、Venn图以及推理能力．借助于Venn图分析集合的运算问题，使问题简捷地获得解决，将本来抽象的集合问题直观形象地表示出来，这正体现了数形结合思想的优越性.
课本本节练习4.
1．设全集U＝R，A＝{x|2x＋1＞0}，试用文字语言表述∁UA的意义．
A＝{x|2x＋1＞0}，即不等式2x＋1＞0的解集，∁UA中元素均不能使2x＋1＞0成立，即∁UA中元素应当满足2x＋1≤0.∴∁UA即不等式2x＋1≤0的解集．
2．如图11所示，U是全集，M，P，S是U的三个子集，则阴影部分表示的集合是________．
图11
观察图可以看出，阴影部分满足两个条件：
一是不在集合S内；
二是在集合M，P的公共部分内，因此阴影部分表示的集合是集合S的补集与集合M，P的交集的交集，即（∁US）∩（M∩P）．
（∁US）∩（M∩P）
则A等于（ ）
A．{1,2} B．{2,3} C．{3,4} D．{1,4}
如图12所示．
图12
由于（∁UA）∩（∁UB）＝{2}，（∁UA）∩B＝{1}，则有∁UA＝{1,2}．∴A＝{3,4}．
C
（ ）
A．{1}B．{1,3}C．{3}D．{1,2,3}
∵∁IB＝{1,3}，∴A∪（∁IB）＝{1}∪{1,3}＝{1,3}．
某班有学生50人，解甲、乙两道数学题，已知解对甲题者有34人，解对乙题者有28人，两题均解对者有20人，问：
（1）至少解对其中一题者有多少人？
（2）两题均未解对者有多少人？
先利用集合表示解对甲、乙两道数学题的各种类型，然后根据题意写出它们的运算，问题便得到解决．
设全集为U，A＝{只解对甲题的学生}，B＝{只解对乙题的学生}，C＝{甲、乙两题都解对的学生}，则A∪C＝{解对甲题的学生}，B∪C＝{解对乙题的学生}，
A∪B∪C＝{至少解对一题的学生}，∁U（A∪B∪C）＝{两题均未解对的学生}．
由已知，A∪C有34个人，C有20个人，
从而知A有14个人；
B∪C有28个人，C有20个人，所以B有8个人．因此A∪B∪C有N1＝14＋8＋20＝42（人），∁U（A∪B∪C）有N2＝50－42＝8（人）．
∴至少解对其中一题者有42个人，两题均未解对者有8个人．
本节课学习了：
①全集和补集的概念和求法．
②常借助于数轴或Venn图进行集合的补集运算．
课本习题1.1A组 9,10，B组 4.
本节教学设计注重渗透数形结合的思想方法，因此在教学过程中要重点指导学生借助于数轴或Venn图进行集合的补集运算．由于高考中集合常与以后学习的不等式等知识紧密结合，本节对此也予以体现，可以利用课余时间学习有关解不等式的知识．
【备选例题】
【例1】已知A＝{y|y＝x2－4x＋6，x∈R，y∈N}，B＝{y|y＝－x2－2x＋7，x∈R，y∈N}，求A∩B，并分别用描述法、列举法表示它．
y＝x2－4x＋6＝（x－2）2＋2≥2，A＝{y|y≥2，y∈N}，
又∵y＝－x2－2x＋7＝－（x＋1）2＋8≤8，∴B＝{y|y≤8，y∈N}．
【例2】设S＝{（x，y）|xy＞0}，T＝{（x，y）|x＞0，且y＞0}，则（ ）
A．S∪T＝S B．S∪T＝T C．S∩T＝S D．S∩T＝
S＝{（x，y）|xy＞0}＝{（x，y）|x＞0且y＞0，或x＜0且y＜0}，则T⊆S，所以S∪T＝S.
【例3】某城镇有1000户居民，其中有819户有彩电，有682户有空调，有535户彩电和空调都有，则彩电和空调至少有一种的有________户．
设这1000户居民组成集合U，其中有彩电的组成集合A，有空调的组成集合B，如图13所示．有彩电无空调的有819－535＝284（户）；
有空调无彩电的有682－535＝147（户），因此二者至少有一种的有284＋147＋535＝966（户）．填966.
图13
966
【知识拓展】
差集与补集
有两个集合A，B，如果集合C是由所有属于A但不属于B的元素组成的集合，那么C就叫做A与B的差集，记作A－B（或A\B）．
例如，A＝{a，b，c，d}，B＝{c，d，e，f}，C＝A－B＝{a，b}．
也可以用Venn图表示，如图14所示（阴影部分表示差集）．
图14
图15
特殊情况，如果集合B是集合I的子集，我们把I看作全集，那么I与B的差集I－B，叫做B在I中的补集，记作
也可以用Venn图表示，如图15所示（阴影部分表示补集）．
从集合的观点来看，非负整数的减法运算，就是已知两个不相交集合的并集的基数，以及其中一个集合的基数，求另一个集合的基数，也可以看作是求集合I与它的子集B的差集的基数．
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