122 第1课时Word文件下载.docx

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③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？

其中是组合问题的个数是（　　）

A.0B.1C.2D.3

答案　C

4.从10名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数为________.

解析　不同选法种数即为从10个不同元素中取出3个元素的组合数C＝120.

答案　120

类型一　组合概念的理解（互动探究）

【例1】判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数.

（1）10人相互通一次电话，共通多少次电话？

（2）10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？

（3）从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？

（4）从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？

[思路探究]

探究点一　组合的特点是什么？

提示　组合的特点：

组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素自然也是不同的，即“从n个不同的元素中取出m个元素”.

探究点二　区分某一问题是组合问题与排列问题的关键是什么？

提示　关键是交换某两个元素的位置对结果是否产生影响，即与选取的顺序是否有关.

解　

（1）是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为C＝45.

（2）是组合问题，因为每两支球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为C＝45.

（3）是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别，组合数为C＝120.

（4）是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的，排列数为A＝720.

规律方法　排列、组合问题的判断方法

（1）区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序.

（2）区分有无顺序的方法是：

把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；

若无新变化，即说明无顺序，是组合问题.

【训练1】判断下列问题是组合还是排列，并用组合数或排列数表示出来.

（1）若已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，则集合的子集中有3个元素的有多少？

（2）8人相互发一个电子邮件，共写了多少个邮件？

（3）在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？

有多少种不同的飞机票价？

解　

（1）已知集合的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题，共有C个.

（2）发邮件与顺序有关，是排列问题，共写了A个电子邮件.

（3）飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题，有A种飞机票；

票价只与两站的距离有关，故票价的种数是组合问题，有C种票价.

类型二　组合数公式的应用

【例2】

（1）计算：

C＋C＋C；

（2）求值：

C＋C；

（3）解方程：

C＝C.

解　

（1）C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝5050.

（2）由组合数定义知：

∴4≤n≤5，又∵n∈N*，∴n＝4或5.

当n＝4时，C＋C＝C＋C＝5；

当n＝5时，C＋C＝C＋C＝16.

（3）由原方程及组合数性质可知

3n＋6＝4n－2，或3n＋6＝18－（4n－2），

∴n＝2，或n＝8，而当n＝8时，

3n＋6＝30＞18，不符合组合数定义，故舍去.

因此n＝2.

规律方法　

（1）公式C＝

＝，一般用于求值计算；

（2）公式C＝（m，n∈N*，且m≤n），一般用于化简证明.在具体选择公式时要根据题目特点正确选择.

（3）根据题目特点合理选用组合数的两个性质C＝C，C＝C＋C，能起到简化运算的作用，需熟练掌握.

【训练2】

（1）计算：

（2）求C＋C的值；

（3）证明：

（1）解　C＋C＝C＋C＝＋200＝4950＋200＝5150.

（2）解　由组合数定义知：

即

∴≤n≤，

∵n∈N*，

∴n＝10，

∴C＋C＝C＋C＝C＋C＝＋31＝466.

（3）证明　C＝·

＝

＝C.

类型三　组合的简单应用

【例3】现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.

（1）现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？

（2）选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？

（3）现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？

解　

（1）从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C＝＝45（种）.

（2）可把问题分两类情况：

第一类，选出的2名是男教师有C种方法；

第二类，选出的2名是女教师有C种方法.根据分类加法计数原理，共有C＋C＝15＋6＝21（种）不同选法.

（3）从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，共有选法C×

C＝×

＝90（种）.

规律方法　组合问题的一般解法：

（1）判断是否为组合问题；

（2）是否分类或分步；

（3）根据组合相关知识进行求解.

【训练3】一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球.

（1）共有多少种不同的取法？

（2）其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？

（3）其中不含红球，共有多少种不同的取法？

解　

（1）从口袋里的8个球中任取5个球，不同取法的种数是C＝C＝＝56.

（2）从口袋里的8个球中任取5个球，其中恰有一个红球，可以分两步完成：

第一步，从7个白球中任取4个白球，有C种取法；

第二步，把1个红球取出，有C种取法.

故不同取法的种数是：

C·

C＝C＝C＝35.

（3）从口袋里任取5个球，其中不含红球，只需从7个白球

中任取5个白球即可，不同取法的种数是C＝C＝＝21.

[课堂小结]

1.排列与组合的联系与区别

（1）联系：

二者都是从n个不同的元素中取m（m≤n）个元素.

（2）区别：

排列问题中元素有序，组合问题中元素无序.

2.关于组合数的计算：

（1）涉及具体数字的可以直接用公式C＝＝计算；

（2）涉及字母的可以用阶乘式C＝计算；

（3）计算时应注意利用组合数的性质C＝C简化运算.

1.给出三个事件：

①10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种不同的分法；

②从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列构成一个三位数，这样的三位数共有多少个；

③10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次，其中是组合问题的有（　　）

A.0个B.1个C.2个D.3个

答案　D

2.C＋C的值为（　　）

A.72B.36C.30D.42

3.从2，3，5，7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；

任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.

解析　∵m＝C，n＝A，∴m∶n＝1∶2.

答案　1∶2

4.已知＝，求正整数n的值.

解　已知可化简为＋1＝，

即C＝C.

＝，

整理得n2－3n－54＝0，

解得n＝9或n＝－6（舍去），

所以n＝9.

基础过关

1.已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为（　　）

A.3B.4C.12D.24

解析　C＝4.

2.把三张游园票分给10个人中的3人，分法有（　　）

A.A种B.C种C.CA种D.30种

解析　三张票没区别，从10人中选3人即可，即C.

3.已知C＝C，则x的值为（　　）

A.2B.6C.D.2或6

解析　由C＝C知，x－2＝2x－4或（x－2）＋（2x－4）＝12，解得x＝2或x＝6.

4.甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种.

解析　甲选2门有C种选法，乙选3门有C种选法，丙选3门有C种选法.∴共有C·

C＝96（种）选法.

答案　96

5.从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有________种.

解析　根据结果分类：

第一类，两台甲型机，有C·

C＝30；

第二类，两台乙型机，有C·

C＝40.根据分类加法计数原理，共有C·

C＋C·

C＝70.

答案　70

6.设x∈N*，求C＋C的值.

解　由题意可得：

解得2≤x≤4，

∵x∈N*，∴x＝2或x＝3或x＝4.

当x＝2时原式的值为4；

当x＝3时原式的值为7；

当x＝4时原式的值为11.

∴所求的值为4或7或11.

7.直线x＝1，y＝x，将圆x2＋y2＝4分成A，B，C，D四个区域，用五种不同的颜色给他们涂色，要求共边的两区域颜色互异，每个区域只涂一种颜色，共有多少种不同的涂色方法？

解　第1步，涂A区域有C种方法；

第2步，涂B区域有C种方法；

第3步，涂C区域和D区域；

若C区域涂A区域已填过颜色，则D区域有4种涂法；

若C区域涂A、B剩余3种颜色之一，即有C种涂法，则D区域有C种涂法.故共有C·

（4＋C·

C）＝260种不同的涂色方法.

8.已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有次品为止.

（1）若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次测试才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？

（2）若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？

解　

（1）先排前4次测试，只能取正品，有A种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C·

A＝A种测法，再排余下4件的测试位置，有A种测法.所以共有不同测试方法A·

A·

A＝103680（种）.

（2）第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现.所以共有不同测试方法C·

（C·

C）A＝576（种）.

能力提升

9.某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案的种数有（　　）

A.35B.70C.210D.105

解析　先从7人中选出3人有C＝35种情况，再对选出的3人相互调整座位，共有2种情况，故不同的调整方案种数为2C＝70.

10.用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（　　）

A.243B.252C.261D.279

解析　所有三位数的个数为9×

10×

10＝900.没有重复数字的三位数有CA＝648，所以有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.

11.某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种________种.（结果用数值表示）

解析　设餐厅至少还需准备x种不同的素菜.

由题意，得C·

C≥200，

从而有C≥20.即x（x－1）≥40.

又x≥2，所以x的最小值为7.

答案　7

12.若对任意x∈A，则∈A，就称A是“具有伙伴关系”的集合，集合M＝的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为________.

解析　把－1，1，与3，与2看作4个元素，从这4个元素中任取1个，2个，3个，4个所得组合构成的集合即是满足条件的集合，所有具有伙伴关系的集合个数为C＋C＋C＋C＝15.

答案　15

13.第21届世界杯足球赛于2019年夏季在俄罗斯举办，共32支球队有幸参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强（每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强），这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这届世界杯总共将进行多少场比赛？

解　可分为如下几类比赛：

（1）小组循环赛：

每组有C＝6（场），8个小组共有48场；

（2）八分之一淘汰赛：

8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，每两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；

（3）四分之一淘汰赛：

根据赛制规则，8强中每两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；

（4）半决赛：

根据赛制规则，4强每两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；

（5）决赛：

2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队比赛1场决出第三、四名，共有2场.综上，由分类加法计数原理知，共有48＋8＋4＋2＋2＝64（场）比赛.

探究创新

14.规定C＝，其中x∈R，m是正整数，且C＝1，这是组合数C（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广.

（1）求C的值；

（2）组合数的两个性质：

①C＝C；

②C＋C＝C是否都能推广到C（x∈R，m是正整数）的情形；

若能推广，请写出推广的形式并给出证明，若不能，则说明理由.

解　

（1）C＝＝－C＝－11628.

（2）性质①不能推广.例如，当x＝时，C

有意义，但C

无意义；

性质②能推广，它的推广形式是C＋C＝C，x∈R，m为正整数.

证明：

当m＝1时，有C＋C＝x＋1＝C；

当m≥2时，C＋C＝

＝＝C.

综上，性质②的推广得证.