解析几何方法技巧2圆锥曲线的综合应用Word文档格式.docx
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解设椭圆的切线方程为y=x+b，代入椭圆方程，得3x2+4bx+Ib1-1=0.
由△=（4b）2—4X3X（2b2—2）=0,得b=±
3.
当b=.3时，直线y=x+,3与y=x+2.3的距离di=^，将b=.3代入方程3x2+4bx+2b2
—2二0,
解得x=—^^3,此时y=f,
即椭圆上的点-弩，中到直线y=x+23的距离最小，最小值是今;
当b=—.3时，直线y=x—3到直线y=x+23的距离d2=苧，将b=—,3代入方程3x2
2
+4bx+2b—2=0，
解得x=^^3，此时y=—中，
即椭圆上的点習，一3到直线y=x+23的距离最大，最大值是罗.
方法3:
参数法
1选取合适的参数表示曲线上点的坐标；
2求解关于这个参数的函数最值.
可以用参数表示某个曲线并求得最值的问题•
【例3】？
在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆詈+y2=1上的一个动点，贝US=x+y
的最大值为.
x2
解析因为椭圆"
3■+y2=1的参数方程为
故可设动点P的坐标为（.3cos札sin妨，
其中0W如2n
大值2.故填2.
答案2
方法4:
基本不等式法
1将最值用变量表示.
2利用基本不等式求得表达式的最值.
最值问题中的多数问题可用此法.
【例4】？
设椭圆中心在坐标原点，A（2,0）,B（0,1）是它的两个顶点，直线y=kx（k>
0）与椭圆相交于E,F两点，求四边形AEBF面积的最大值.
解依题设得椭圆的方程为x2+—1.
直线AB,EF的方程分别为x+2y=2,y=kx（k>
0）.
设E（xi,kxi）,F（X2,kx2），其中xi<
X2,
222
且xi,x2满足方程（1+4k2）x2=4,故x2=—=•①
根据点到直线的距离公式和①式，得点E,F到AB的距离分别为
|xi+2kxi—2|_21+2k+pi+4k2hi二—"
5—二+祀，
|x2+2kx2—2|21+2k—寸i+4k2h2二躬=£
1+4屹，
又AB|=22+i=,5,所以四边形AEBF的面积为
i,i++2k
S=2|AB|（hi+h2）=NS1+4k2
i+4k2+4k
-叫一“-三2屉
i
当2k=i,即k=2时，取等号.
所以四边形AEBF面积的最大值为22.
二、圆锥曲线的范围问题
【考情快递】圆锥曲线中的范围问题是高考中的常见考点，一般出选择题、填空题.
方法i:
曲线几何性质法
①由几何性质建立关系式；
②化简关系式求解.
利用定义求解圆锥曲线的问题•
右支上，且|PFi|=4|PFi|，贝吐匕双曲线的离心率e的取值范围是.
解析根据双曲线定义|PFi|—|PFi匸la,设|PFi|=r,
la|a
则|PFi|=4r，故3r=la,即r=§
|PFi|^y.
la
根据双曲线的几何性质，|PFi|>
c—a,即§
>
c—a,
即a*3，即©
三3.又e>
1,
故双曲线的离心率e的取值范围是1,5.故填1,5
答案1,I
方法i：
判别式法
1.联立曲线方程，消元后求判别式；
②根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲线性质求解.
当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于
零、小于零.此类问题可用判别式法求解•
【例i】?
（i011浏阳一中月考）在平面直角坐标系xOy中，经过点（0,i）且斜率为k的直线I
一xii
与椭圆1+yi=1有两个不同的交点P和Q.
（1）求k的取值范围；
⑵设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常数k,使得向量OP+OQ与AB共线？
如果存在，求k值；
如果不存在，请说明理由.
解
（1）由已知条件，知直线I的方程为y=kx+i,
代入椭圆方程，得卷+（kx+.i）i=1,整理得i+kix?
+i2kx+1=0•①由直线I与椭圆有两个不同的交点P和Q,
得△=8ki—4i+ki=4ki—1>
0,
解得kv—或k＞子，
即k的取值范围为（一％,—2）u£
2，+xj
（2）设P（xi,yi）,Q（x2,y2）,则OP+OQ=（xi+x2,yi+y2）.
由方程①，知X1+X2=—.②
又yi+y2=k（xi+x2）+22=i+爲•③由A（2,0）,B（0,1）,得AB=（—.2,1）.
所以OP+OQ与AB共线等价于xi+X2=—2（yi+y2）,
将②③代入，解得
由
（1）知kv—彳或k＞彳，
故不存在符合题意的常数k.
三、圆锥曲线的定值、定点问题
【考情快递】此类问题也是高考的热点，圆锥曲线中的定值问题是指某些几何量不受运动变化的点的影响而有固定取值的一类问题，定点问题一般是指运动变化中的直线或曲线恒过平面内的某个或某几个定点而不受直线和曲线的变化影响的一类问题.
方法1:
特殊到一般法
1根据特殊情况确定出定值或定点；
2对确定出来的定值或定点进行证明.
根据特殊情况能找到定值（或定点）的问题.
已知双曲线C:
x2—y2=1,过圆0:
x2+y2=2上任意一点作圆的切线I，若I交双曲线于A,B两点，证明：
/AOB的大小为定值.
证明当切线的斜率不存在时，切线方程为x=±
2.
当x=,2时，代入双曲线方程，得y=±
2,
即A（.2,.2）,B（.2,—.2）,此时/AOB=90°
同理，当x=—,2时，/AOB=90°
.
则r1^=頁，即卩b2=2（1+k2）1+k2
由直线方程和双曲线方程消掉y,
得（2-k2）x2-2kbx—（b2+2）=0,
由直线I与双曲线交于A,B两点.故2-k2工0•设A（xi,yi）,B（x2,y2）.
22
yiy?
=（kxi+b）（kx2+b）=kX1X2+kb（xi+X2）+b
-k2b2-2k22k2b22b2-k2b22b2-2k2
2-k22-k2
=++=
2-k22-k22-k22-k2'
-b2-22b2-2k2b2—2l+k2
故xiX2+yiy2=
I
2-k22-k22-k2由于b2-2（1+k2）,
故xix2+yiy2—0,即O）AOB-0,ZAOB-90°
综上可知，若I交双曲线于A,B两点，
则/AOB的大小为定值90°
方法2:
引进参数法
1引进参数表示变化量；
2研究变化的量与参数何时没有关系，找到定值或定点.
定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与
参数没有关系的点（或值）即是定点（或定值）•
y
B
V
—
r
与x轴不垂直的直线，分别与曲线Ci,C2依次交于B,C,D,E四点.若G为CD的中点、
H为BE的中点，证明|CD|•HUj为定值.
y3）,D（x4,y4）,
证明由题意，知Fi（—1,0）,F2（1,0）,设B（xi,yi）,E（x2,松,C（x3,
直线y=k（x—i）,代入x2+罟=1,
得8y+12+9y2—72=0,即（8+9k2）y2+16ky—64k2=0,
nt[16k64k2
则y1+y2=—8+9k2,y1y2=—8+9k2.
同理，将y=k（x—1）代入y2=4x,得ky2—4y—4k=0,
冲4
则y3+y4=k,y3y4=—4,
所以IBE||GF2|_|y1—y2|別3+y41
|CD||HF2_^-y4|2|y1+y2|
yl+—4y1y2
+'
•町+丫斗2—4y3y4
准线是x_—1,由抛物线的定义知：
点P到直线x_—1的距离等于点P到焦点F的距离;
于是，问题转化为：
在曲线上求一点P,
AF交曲线于P点.
使点P到点A（—1,1）的距离与点P到F（1,0）的距离之和最小；
显然，连故最小值为22+1,即为.5.
答案C
2.椭圆bx2+a2y2=a2b2（a>
b>
0）和圆X+y2=g+cj有四个交点，其中c为椭圆的半焦距,
则椭圆离心率e的范围为（）.
八53
7ve<
5
C孑e<
f
B.0ve<
¥
5
-35
D•号<
e<
E
c53
?
E<
5-
解析此题的本质是椭圆的两个顶点（a,0）与（0,b）一个在圆外、一个在圆内即:
答案A
3.（2011长郡中学1次月考）设F是椭圆号+詈=1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的
点Pi（i=1,2,3,…），使|FP1|,|FP2|,|FP3|,…组成公差为d的等差数列，贝Ud的取值范围为
同理kpB=y2亀，由于FA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
因此yiryo^-72!
^'
即yi+沪—2yo（yo>
°
），
答案—2
5•椭圆b2x2+a2y2二a2b2（a>
0）的左焦点为F，过F点的直线I交椭圆于A,B两点，F为线段AB的中点，当△FFO的面积最大时，求直线I的方程.
解求直线方程，由于F（—c,0）为已知，仅需求斜率k，
y1+y2
设A（xi，yi），B（x2，y2），F（x°
，y°
），则y°
=—2，
由于Sapfo=ilOF||y°
l—2ly°
l只需保证|y°
最大即可，
y=kx+C2222242
由'
?
（b+ak）y—2bcky—bk=0，
Jb2x2+a2y2=a2b2
得：
SapfoW詈，此时辭a2|k|?
k=±
a，故直线方程为：
y=±
a（x+c）.
a
6.（长沙雅礼中学最新月考）已知。
O'
过定点A（0,p）（p>
0），圆心O'
在抛物线C:
x2二2py（p>
0）上运动，MN为圆O'
在轴上所截得的弦.
（1）当O'
点运动时，|MN|是否有变化？
并证明你的结论；
⑵当OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，试判断抛物线C的准线与圆O'
的位置关系，并说明理由.
解⑴设O'
（xo,yo），则x2=2pyo（yo>
0）,
则oo'
的半径o'
a匸xo+yO—p2,
OO'
的方程为（x—xo）2+（y—yo）2=x0+（yo—p）2,令y=o,并把x2=2pyo，代入得x2—2xox+x2—p2=o,解得刘=xo—p,X2=xo+p,所以|MN|=|xi—X2|=2p,这说明|MN|是不变化，其为定值2p.
（2）不妨设M（xo—p,o）,N（xo+p,o）.
由题2QA匸|OM|+|ON|，得2p=|xo—p|+|xo+p|,
x0+p2
2p，
所以一p<
xo<
p.
到抛物线准线y=—p的距离d=yo+
的半径O'
A|=—x0+gp—p2
1
=2p.x0+4p4.因为r>
d?
x0+4p4>
（x0+p2）2?
x0v3p2,
又x0<
p2v3p2（p>
0）,所以r>
d,
即OO'
与抛物线的准线总相交.
解析若公差d>
0,则|FP1|最小，|FP1|h一7-1;
数列中的最大项为•7+1,并设为第n项，
则7+1=7-1+（n-1）d?
n=彳+1>
21?
d<
11
注意到d>
0,得0<
d<
10;
若d<
0,易得—d<
0.
那么，d的取值范围为—10，0U0,箱.
答案卜100Uf0,韵
4.过抛物线y2=2px（p>
0）上一定点P（X0,y°
）（y0>
0）作两直线分别交抛物线于Ag,y"
B（x2,y2）,当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，则y1y0y2的值为.
解析设直线PA的斜率为kP\,PB的斜率为kPB,
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