数列的递推公式选学教案.docx

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数列的递推公式选学教案

数列的递推公式（选学）教案

教学设计

2．12　数列的递推公式（选学）

整体设计

教学分析　　　　　

本节作为选学内容，标对递推公式没有明确要求．考虑到它在认识数列中的作用，教材把它单列一节作为选学．实际上，递推公式作为数列的一种表示方法，有其独特的作用，高考试卷中常常见到它的踪影，因此，教学中还是把它作为必学内容对待为好．

数列作为刻画自然规律的基本数学模型，教材意图是用函数的观点和递推的观点理解数列．同上节一样本节也是通过一些例子及头前言中的事例引入递推公式．并通过例题，让学生明确数列的递推公式应包括数列的首项和公式本身．没有首项，就没有递推的基础，没有递推公式则无法向后延续．让学生体会，给出首项和递推公式，就可唯一确定一个数列．

数列的递推公式也是数列的一种表示方法，它与数列的通项公式紧密相连，但作为开始认识数列，本节不宜过分拓展，加大难度，仅限于理解递推公式的定义，并能用数列的首项和递推公式写出数列的后续各项即可．

三维目标　　　　　

1．通过本节学习，理解数列递推公式的意义，理解递推公式与通项公式的异同．会根据数列的首项和递推公式写出数列的后续各项．

2．通过探究、交流、观察、分析等教学方式，充分发挥学生的主体作用，并通过思考与讨论本头左图中的说明，体会数学于生活．

3．通过对数列递推公式的探究，培养学生动手试验，大胆猜想的优秀品质，培养学生对科学的探究精神和严肃认真的态度．

重点难点　　　　　

教学重点：

理解用递推公式定义数列的方法；能用递推公式和首项写出数列的后续各项．

教学难点：

利用数列的递推公式和首项，猜想该数列的通项公式．

时安排　　　　　

1时

教学过程

导入新　　　　　

思路1（头图引入）让学生观察头图中左图兔子的繁殖情况．假设每次生出的小兔子都是一雄一雌，并且排除兔子发生死亡的情况，这样每个月兔子的对数，依次可以排成一个数列，你能把这个数列的每一项（第一项除外）用前一项表示出吗？

由此展开新的探究．

思路2（直接引入）我们知道数列1,2,3,4，…可用通项公式an＝n表示．容易发现，这个数列从第2项起的任一项都可用它的前一项表示出，即an＝an－1＋1（n≥2），这就是数列的另一种表示方法，也就是今天我们探究的主要内容：

递推公式．由此展开探究．

推进新　　　　　

新知探究

提出问题

（1）多媒体演示图1，是工厂生产的钢管堆放示意图，你能写出它的一个通项公式吗？

你能找出它的相邻两层之间的关系吗？

（2）数列{an}的通项公式是an＝2n从第2项起，它的任一项与它相邻的前一项有什么关系？

头数列3，1sss…从第2项起，它的任一项与它相邻的前一项有什么关系呢？

（3）怎样理解递推公式？

若已知数列an＝2an－1＋1，你能写出这个数列吗？

为什么？

活动：

教师用多媒体演示工厂生产的钢管堆放示意图．引导学生观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型．由学生合作探究，必要时教师给予点拨．模型一：

自上而下

第1层钢管数为4，即14＝1＋3；

第2层钢管数为，即2＝2＋3；

第3层钢管数为6，即36＝3＋3；

第4层钢管数为7，即47＝4＋3；

第层钢管数为8，即8＝＋3；

第6层钢管数为9，即69＝6＋3；

第7层钢管数为10，即710＝7＋3

若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且an＝n＋3（1≤n≤7）．

模型二：

上下层之间的关系

自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1，

即a1＝4；a2＝＝4＋1＝a1＋1；a3＝6＝＋1＝a2＋1

依此类推：

an＝an－1＋1（2≤n≤7）．

在教师的引导点拨下，学生最终能得到以上两种数学模型，教师适时给以点评．首先表扬学生的这种探究问题的精神，不怕困难敢于钻研，而且推得两个很重要的结论．对于推得的an＝n＋3，只要将n的具体值代入，我们就会很快地求出某一层的钢管数．因为这一关系反映了每一层的钢管数与其层数之间的对应规律，这会给我们的统计与计算带很大方便，这是由特殊到一般的数学思想方法的运用，是非常正确和成功的．对于推得an＝an－1＋1（2≤n≤7且n∈N*）的同学就更值得表扬，因为这是我们没有见过的，这就是创新，这就是聪明智慧的闪现．这个关系式说明：

只要知道a1，则以后的每一项都等于它的前项加1，这样就可以求出第二项，以此类推即可求出其他项．这就是我们今天要探究的一个重点内容，也就是数列的另一种表示法，递推公式法．我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式．递推公式很重要，显然教材上涉及的内容不多，但在每年的高考卷上都有所体现，应引起注意．下一节要学习的等差数列就是最简单的递推数列．

引导学生给递推公式这样下定义：

通过给出数列的第一项（或前若干项），并给出数列的某一项与它的前一项（或前若干项）的关系式表示数列，这种表示数列的式子叫做这个数列的递推公式．

注意：

递推公式也是给出数列的一种方法．如下列数字排列的一个数列：

3,,8,13,21,34,,89，递推公式为a1＝3，a2＝，an＝an－1＋an－2（3≤n≤8）．掌握递推公式的关键一点是把握其中的递推关系，应特别注意探究和发现递推关系中前项和后项，或前、后几项之间的关系．

有了以上探究活动，学生很容易探究出问题

（2）（3），至此，学生对数列的表示方法有了全面的理解，为数列的后续内容的学习打下了坚实的基础．

讨论结果：

（1）略

（2）a1＝2，an＝2an－1（n＝2,3,4，…）；

数列3，a1＝1，an＝s（an－1）（n＝2,3,4，…）．

（3）递推公式包括已知的第1项（或前几项）才能写出这个数列的后续各项．前者是递推的基础，后者是递推的延续．因此仅知an＝2an－1＋1无法写出这个数列的各项．

应用示例

例1已知a1＝2，an＋1＝2an，写出前项，并猜想an

活动：

根据a1＝2及an＋1＝2an，学生很容易求出前项，分别是2,4,8,16,32由观察可猜想an＝2n，这种解法在选择题或填空题中是非常有效的，但若改为求an，这种解法则是不完整的．

由anan－1＝2，可得到以下解法：

anan－1×an－1an－2×an－2an－3×…×a2a1＝ana1＝2n－1，

∴an＝2n

解：

∵a1＝2，an＋1＝2an，

∴a2＝2×a1＝4，

a3＝2×a2＝8，

a4＝2×a3＝16，

a＝2×a4＝32

∵a2＝2×2＝22，a3＝2×22＝23，a4＝16＝24，

∴猜想an＝2n变式训练

　已知a1＝2，an＋1＝an－4，求an

解：

由an＋1－an＝－4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起，

　　　an－an－1＝－4

an－1－an－2＝－4

an－2－an－3＝－4

　　　……

＋　　　a2－a1＝－4　　　　　　　an－a1＝－4n－1

∴an＝2－4（n－1）．

例2（教材本节例1）

活动：

本例由学生自己完成，并通过本例边注中的提问，让学生进一步体会数列两种表示方法的特色，用递推公式写出数列的前几项后，引导学生观察、归纳并猜想该数列的通项公式，虽有一定难度，但学生应有这个能力．教师可引导学生分析，如果不代入a1的值，由依次计算的结果可能更容易看到an与n的函数关系：

a2＝a11－a1；a3＝a11－2a1，a4＝a11－3a1，a＝a11－4a1，…，an＝a11－n－1•a1＝23－2n变式训练

　已知数列{an}的递推公式是an＋2＝3an＋1－2an，且a1＝1，a2＝3

求：

（1）a；

（2）127是这个数列中的第几项？

解：

（1）∵a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，

∴a3＝3a2－2a1＝7，

a4＝3a3－2a2＝1，

a＝3a4－2a3＝31

（2）由递推公式，可得a6＝3a－2a4＝63，a7＝3a6－2a＝127，

∴127是此数列的第7项．

例3（教材本节例2）

活动：

本例为数列这一大节的最后一个教材例题，具有一定的综合性，难度较大．要求学生有较坚实的数形结合基础和解题能力．这种解题的综合能力，要努力去训练，学生才能掌握．具体讲解时，可把P1，P2，P3的坐标都写出让学生观察发现an与an＋1间的关系．

变式训练

在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln（1＋1n），则an等于（　　）

A．2＋lnn　　B．2＋（n－1）lnn

．2＋nlnnD．1＋n＋lnn

答案：

A

解析：

方法一，由a2＝a1＋ln2＝2＋ln2，排除、D；由a3＝a2＋ln（1＋12）＝2＋ln3，排除B故选A

方法二，由已知，an＋1－an＝lnn＋1n，a1＝2，

∴an－an－1＝lnnn－1，an－1－an－2＝lnn－1n－2，

…

a2－a1＝ln21，

将以上n－1个式子累加得

an－a1＝lnnn－1＋lnn－1n－2＋…＋ln21

＝ln（nn－1•n－1n－2•…•21）＝lnn，

∴an＝2＋lnn

例4如图甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由如图乙所示的一连串直角三角形演化而成，其中A1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，记A1，A2，A3，…，A7，A8的长度所在的数列为{ln}（n∈N*,1≤n≤8）．

甲

　　　　　乙

（1）写出数列的前4项；

（2）写出数列{ln}的一个递推关系式；

（3）求{ln}的通项公式；

（4）如果把图中的三角形继续作下去，那么A9，A2007的长度分别是多少？

活动：

本例虽然题干看起很繁杂，但难度并不大，可让学生独立探究解决，学生充分理解题意后会很快完成第

（1）问，关于递推公式，教师可点拨学生递推公式的关键是递推关系，也就是前项和后项的关系，这是递推公式的核心所在．教师可借此进一步向学生点拨：

①数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．

②递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式．

解：

（1）l1＝A1＝1，l2＝A2＝2，l3＝A3＝3，l4＝A4＝2

（2）通过观察图形，可知：

An＋1，An,1组成直角三角形，而An＋1＝ln＋1，An＝ln

∴由勾股定理可得l2n＋1＝l2n＋1（n∈N*,1≤n≤8）．

（3）ln＝n

（4）A9＝l9＝3，A2007＝2007＝3223

点评：

递推关系在教材上的要求并不高，仅是明了递推公式是数列的一种表示方法，并能根据给出的数列递推公式写出其中的几项，对繁难复杂的递推公式，如3项或2项以上的递推公式不作要求．

知能训练

1．若数列{an}前n项的值各异，且an＋8＝an对任意的n∈N*都成立，则下列数列中可取遍{an}的前8项值的数列为（　　）

A．{a2n＋1}　　　　　　B．{a3n＋1}．{a4n＋1}　　　　　D．{a6n＋1}

2．已知an＝an－2＋an－1（n≥3），a1＝1，a2＝2，bn＝anan＋1，则数列{bn}的前4项依次是__________．

答案：

1．B　解析：

取＝0,1,2，…，8验证，周期为8

2．前4项依次是12，23，3，8

堂小结

1．先由学生自己总结归纳本节所学到的数学知识，即数列的简单表示法：

通项公式、列表法、图象法、简单的递推公式法．探求和发展了数列的各项之间的关系及其规律，并用合适的表示法表示这种规律．

2．教师强调，通过例题进一步明确了数列的图象是一些离散的点，并通过实际例子探究出数列的递推公式．由于教材内容对此要求不高，因此我们在例题或