对称式和轮换对称式及问题详解Word文档下载推荐.docx

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8．设2（3x﹣2）+3=y，2（3y﹣2）+3=z，2（3z﹣2）+3=u且2（3u﹣2）+3=x，则x=　_________　．

9．若数组（x，y，z）满足下列三个方程：

、、，则xyz=　_________　．

10．设x、y、z是三个互不相等的数，且x+=y+=z+，则xyz=　_________　．

二．选择题（共2小题）

11．已知，，，则的值是（　　）

A．B．C．D．

12．如果a，b，c均为正数，且a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，那么abc的值是（　　）

A．672B．688C．720D．750

三．解答题（共1小题）

13．已知b≥0，且a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，求a+b+c+d的最大值．

答案与评分标准

　　．

考点：

对称式和轮换对称式。

分析：

首先将将三式全部取倒数，然后再将所得三式相加，即可得：

++=+++，再整理，配方即可得：

（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣1）2=0，则可得此三角形是边长为1的等边三角形，则可求得此三角形的面积．

解答：

解：

∵a=，b=，c=，

∴全部取倒数得：

=+，=+，=+，

将三式相加得：

++=+++，

两边同乘以2，并移项得：

﹣+﹣+﹣+3=0，

配方得：

（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣1）2=0，

∴﹣1=0，﹣1=0，﹣1=0，

解得：

a=b=c=1，

∴△ABC是等边三角形，

∴△ABC的面积=×

1×

=．

故答案为：

．

点评：

此题考查了对称式和轮换对称式的知识，考查了配方法与等边三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是将三式取倒数，再利用配方法求解，得到此三角形是边长为1的等边三角形．

2．已知实数a、b、c，且b≠0．若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b，x2y1﹣x1y2=a，x1y1+ax2y2=c，则y12+ay22的值为　　．

∵x12+ax22=b①，x2y1﹣x1y2=a②，x1y1+ax2y2=c③．首先将第②、③组合成一个方程组，变形把x1、x2表示出来，在讲将x1、x2的值代入①，通过化简就可以求出结论．

∵x12+ax22=b①，x2y1﹣x1y2=a②，x1y1+ax2y2=c③．

由②，得

④，

把④代入③，得

⑤

把⑤代入③，得

⑥

把⑤、⑥代入①，得

+=b

∴，

∴（a3+c2）（y12+ay22）=b（y12+ay22）2

∴y12+ay22=．

本题是一道代数式的转化问题，考查了对称式和轮换对称式在代数式求值过程中的运用．

=，=，则（a+c+e）﹣（b+d+f）的值为　﹣　．

根据题意将六个式子相乘可得（abcdef）4=1，又a，b，c，d，e，f为正数，即abcdef=1，再根据所给式子即可求出a，b，c，d，e，f的值，继而求出答案．

根据题意将六个式子相乘可得（abcdef）4=1，且a，b，c，d，e，f为正数，

∴abcdef=1，

∴bcdef=，

∵=4，

∴bcdef=4a，

∴4a=，

∴a=．

同理可求出：

b=，c=，d=2，e=3，f=4．

∴原式=++3﹣﹣2﹣4，

﹣．

本题是一道分式的化简求值试题，考查了分式的轮换对称的特征来解答本题，有一定难度，根据所给条件求出a，b，c，d，e，f的值是关键．

4．已知bc﹣a2=5，ca﹣b2=﹣1，ac﹣c2=﹣7，则6a+7b+8c=　44或﹣44　．

令bc﹣a2=5…①，ca﹣b2=﹣1…②，ac﹣c2=﹣7…③，用①式减②式得bc﹣a2﹣ca+b2=c（b﹣a）+（b+a）（b﹣a）=（a+b+c）（b﹣a）=6，②式减③式得ca﹣b2﹣ab+c2=a（c﹣b）+（c+b）（c﹣b）=（a+b+c）（c﹣b）=6，于是求出b和a、c之间的关系，进一步讨论求出a、b和c的值，6a+7b+8c的值即可求出．

令bc﹣a2=5…①，ca﹣b2=﹣1…②，ac﹣c2=﹣7…③，

①式减②式得bc﹣a2﹣ca+b2=c（b﹣a）+（b+a）（b﹣a）=（a+b+c）（b﹣a）=6，

②式减③式得ca﹣b2﹣ab+c2=a（c﹣b）+（c+b）（c﹣b）=（a+b+c）（c﹣b）=6，

所以b﹣a=c﹣b，即b=，代入②得ca﹣=﹣1，

4ac﹣（a+c）2=﹣4，（a﹣c）2=4，a﹣c=2或a﹣c=4，

当a﹣c=2时，a=c+2，b==c+1，代入③式得（c+2）（c+1）﹣c2=﹣7，3c+2=﹣7，c=﹣3，

所以a=﹣1，b=﹣2，此时6a+7b+8c=6×

（﹣1）+7×

（﹣2）+8×

（﹣3）=﹣44，

当a﹣c=﹣2时，a=c﹣2，b==c﹣1，代入③式得（c﹣2）（c﹣1）﹣c2=﹣7﹣3c+2=﹣7，c=3，

所以a=1，b=2此时6a+7b+8c=6×

1+7×

2+8×

3=44，

所以6a+7b+8c=﹣44或6a+7b+8c=44，

故答案为44或﹣44．

本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是求出b=，此题难度不大．

5．x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2，x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3．则y12+y22=　5　．

根据题意令x1=sinθ，x2=cosθ，又知x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3，列出方程组解出y1和y2，然后求出y12+y22的值．

令x1=sinθ，x2=cosθ，

又知x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3，

故，

y1=cosθ+3sinθ，y2=3cosθ﹣sinθ，

故y12+y22=5．

故答案为5．

本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是令x1=cosθ，x2=sinθ，此题难度不大．

6．设a=，b=，c=，且x+y+z≠0，则=　1　．

∵a=，b=，c=分别代入，，表示出，，的值，然后化简就可以求出结果了．

∴=

=

∴=++

∵x+y+z≠0

∴原式=1．

1．

本题是一道代数式的化简求值的题，考查了代数式的对称式和轮换对称式在化简求值中的运用．具有一定的难度．

7．已知，，其中a，b，c为常数，使得凡满足第一式的m，n，P，Q，也满足第二式，则a+b+c=　　．

令P=（m+9n）x，Q=（9m+5n）x（x≠0），由可得：

==，解出a、b和c的值即可．

令P=（m+9n）x，Q=（9m+5n）x（x≠0），

又知，

即==，

解得a=2，c=，b=﹣，

即a+b+c=2﹣+=．

故答案为．

本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是令P=（m+9n）x，Q=（9m+5n）x，此题难度不大．

8．设2（3x﹣2）+3=y，2（3y﹣2）+3=z，2（3z﹣2）+3=u且2（3u﹣2）+3=x，则x=　　．

专题：

计算题。

先化简各式，将各式联立相加，然后分别将y、z和u关于x的式子代入消去y、z和u，即可求出x的值．

将各式化简得：

，

（1）+

（2）+（3）+（4）得：

x+y+z+u=⑤，

分别将y、z和u关于x的式子代入⑤中，得：

x+6x﹣1+6（6x﹣1）﹣1+=，

x=．

本题考查对称式和轮换对称式的知识，难度适中，解题关键是将y、z和u关于x的式子代入消除y、z和u．

、、，则xyz=　162　．

将3个方程分别分别由第一个方程除以第二方程，再由第一个方程除以第三个方程．就可以把x、y用含z的式子表示出来，然后代入第一个方程就可以求出z、x、y的值，从而求出其结果．

由①÷

②，得

y=④

③，得

x=⑤

把④、⑤代入①，得

，解得

z=9

∴y=6，x=3

∴原方程组的解为：

∴xyz=3×

6×

9=162．

162．

本题是一道三元高次分式方程组，考查了运用分式方程的轮换对称的特征解方程的方法，解方程组的过程以及求代数式的值的方法．

10．设x、y、z是三个互不相等的数，且x+=y+=z+，则xyz=　±

1　．

分析本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的情形，由左边的两个等式可得出zy=，同理可得出zx=，xy=，三式相乘可得出xyz的值．

由已知x+=y+=z+，

得出x+=y+，

∴x﹣y=﹣=，

∴zy=①

同理得出：

zx=②，

xy=③，

①×

②×

③得x2y2z2=1，即可得出xyz=±

±

此题考查了对称式和轮换式的知识，有一定的难度，解答本题的关键是分别求出yz、zx、xy的表达式，技巧性较强，要注意观察所给的等式的特点．

先将上面三式相加，求出+，+，+，再将化简即可得出结果．

∵，∴+=15①，

∵，∴+=17②；

∵，∴+=16③，

∴①+②+③得，2（++）=48，

∴++=24，

则===，

故选D．

本题考查了对称式和轮换对称式，是基础知识要熟练掌握．

首先将a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170分别展开，即可求得ab+ac=152①，bc+ba=162②，ca+cb=170③，然后将三式相加，即可求得ab+bc+ca值，继而求得bc，ca，ab的值，将它们相乘再开方，即可求得abc的值．

∵a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，

∴ab+ac=152①，

bc+ba=162②，

ca+cb=170③，

∴①+②+③得：

ab+bc+ca=242④，

④﹣①得：

bc=90，

④﹣②得：

ca=80，

④﹣③得：

ab=72，

∴bc•ca•ab=90×

80×

72，

即（abc）2=7202，

∵a，b，c均为正数，

∴abc=720．

故选C．

此题考查了对称式和轮换对称式的知识，考查了方程组的求解方法．此题难度较大，解题的关键是将ab，ca，bc看作整体，利用整体思想与方程思想求解．

分别表示出a，b，c，d，然后通过分别代入，使最后成为只含b的代数式，b的范围知道从而得解．

∵a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，

∴2b+c=6，c=6﹣2b，

代入a+b=c+1得a=7﹣3b，

代入b+c=d+2得d=4﹣b，

则a+b+c+d=17﹣5b，

因为b≥0，

所以当b取0时，a+b+c+d的最大值为17．

本题对称式和轮换对称式，关键是根据代数式的运算，用代入法，转换成关于b的代数式，从而求出取值范围．