弹性力学基础程尧舜同济课后习题解答免费Word文档格式.docx

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x2a2a5tzy=-aG最大剪应力出现在截面的边界上。

由于对称性，出现在每条边上的最大剪应力应该相等，所以只要求x-a=0这条边上的最大剪应力就可以了，在这条边上，有M2（a-3y2tzx=0，tzy=15352a因此最大剪应力为Mtmax=15332a。

9.3半径为a的圆截面扭杆有半径为b的圆弧槽，且b如图9.12所示。

求应力分量、a，22最大剪应力以及抗扭刚度。

提示：

两条圆弧的方程是r-b=0和r-2acosq=0。

B设应力函数为j=（r2-b2（r-2acosq。

ry解：

两条圆弧的方程是f1=r2-b2=0和rf2=r-2acosq=0，所以猜测应力函数为qabB22j=（r-b（r-2acosqAOr2上式在截面边界上为零。

将上式代入方程Ñ

j=-2，可知B应取-1/2，因此2图9.12j=1（b2-r2+2arcosq-2abcosq2r用A*表示整个大圆的区域，则A*和A的面积差小于pb2/2。

2aD=2ò

jdA=ò

（2arcosq-r2dA+b2ò

（1-cosqdArAAA=ò

（2arcosq-r2dA+O（b=A*xpa4+O（b2应力分量为tzr=aG1¶

jb2=-aGa（1-2sinqr¶

qr2¶

jtzq=-aG=aG[r-a（1+b2cosq]¶

rr在小圆上，有36

tzr=0，tzq=aG（b-2acosq；

在大圆上，有（12tzr=-aGa（1-b2sinq，tzq=aGa（1-b2cosq2由（1和（2式可知，最大剪应力发生在小圆的q=0处，其绝对值为rr（2tmax=aG（2a-b»

2aGa。

9.4已知截面边界为椭圆x2y2+=1a2b2的杆，扭转刚度为GD=pa3b3G，求上述边界与椭圆a2+b2（l2>

1x2y21+=a2b2l2所围成的空心截面杆的扭转刚度。

解：

大椭圆所围区域用A0表示，小椭圆所围区域用A1，截面用A表示，A=A0-A1。

在A0中定义函数a+bab（122bx2y2j=a（1-2-222容易验证上式满足方程Ñ

2j=-2，也满足条件jc22b1jc=a（1-2=K1=常数2a+b2l10=0和又-2A=ò

j,bbdA=ò

j,bnbds=ò

Ac¶

j¶

jds=ò

ds+ò

ds¶

n¶

nccc01=ò

j,bbdA+ò

c0c1¶

jds=-2A0+ò

nc1即c1ò

¶

nds=2（A-A=2A10¶

j所以式（1定义的函数是本问题的应力函数。

因为在c1上，j-K1=0，所以根据已知条件，有D=2K1A1+2ò

jdA=2K1A1+2ò

jdA-2ò

jdAAA0A137

=2ò

（j-K1dA=A0A1pa3b3-p（a/l3（b/l3=（1-1pa3b3a2+b2（a/l2+（b/l2l4a2+b2。

解法二：

横截面为大椭圆的实心杆扭转时，因为小椭圆是应力函数的等值线，所以与小椭圆对应的材料和外部材料之间没有相互作用力，这相当于两根独立的杆件在一起扭转，因此有pa3b3-p（a/l3（b/l3=（1-1pa3b3。

a2+b2（a/l2+（b/l2l4a2+b29.5一闭口薄壁杆具有图9.13所示的横截面，壁厚d是常数。

试证明：

杆扭转时中间腹壁D=D0-D1=上无剪应力；

并导出用扭矩M表示的远离角点处的应力公式和单位长度的扭转角。

c0c1dc2aa图9.13a解：

应力函数j在外边界上的值为零，在左内边界上c1的值为K1，在右内边界上c2的值为K2。

由于壁很薄，由书中的式（9.17可以近似地得到K1d´

3a+´

3a+K1-K2da=2a2，a=2a2。

K2dK2-K1d解上面的方程组，得2K1=K2=ad3对本问题的薄壁杆，近似地有8D=2K1A1+2K2A2=da33M3M=所以a=GD8da3G左右薄壁上的剪应力为t1=aGK1K2K-K22=aaG，t2=aG2=aaG中间腹壁上的t3=aG1=0。

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