弹性力学基础程尧舜同济课后习题解答免费Word文档格式.docx

1、x 2a 2a 5 t zy = -a G 最大剪应力出现在截面的边界上。由于对称性，出现在每条边上的最大剪应力应该相 等，所以只要求 x - a = 0 这条边上的最大剪应力就可以了，在这条边上，有 M 2 （a - 3 y 2 t zx = 0 ， t zy = 15 3 5 2a 因此最大剪应力为 M t max = 15 3 3 2a 。 9.3 半径为 a 的圆截面扭杆有半径为 b 的圆弧槽， 且b 如图 9.12 所示。 求应力分量、 a， 2 2 最大剪应力以及抗扭刚度。提示：两条圆弧的方程是 r - b = 0 和 r - 2acosq = 0 。 B 设应力函数为 j = （

2、r 2 - b 2 （r - 2a cosq 。 r y 解：两条圆弧的方程是 f1 = r 2 - b 2 = 0 和 r f 2 = r - 2a cosq = 0 ，所以猜测应力函数为 q a b B 2 2 j = （r - b （r - 2a cosq A O r 2 上式在截面边界上为零。 将上式代入方程 j = -2 ， 可知 B 应取 -1/ 2 ，因此 2 图9.12 j = 1 （b 2 - r 2 + 2ar cosq - 2ab cosq 2 r 用 A* 表示整个大圆的区域，则 A* 和 A 的面积差小于 p b 2 / 2 。 2a D = 2j dA = （2ar

3、 cosq - r 2 dA + b 2 （1- cosq dA r A A A = （2ar cosq - r 2 dA + O（b = A* x p a 4 + O（b 2 应力分量为 t zr =a G 1 j b2 = -a Ga（1- 2 sinq r q r 2 j t zq = -a G =a Gr - a（1+ b2 cosq r r 在小圆上，有 36 t zr = 0 ，t zq =aG（b - 2acosq ； 在大圆上，有 （1 2 t zr = -a Ga（1- b2 sinq ，t zq =a Ga（1- b2 cosq 2 由（1和（2式可知，最大剪应力发生在小圆

4、的 q = 0 处，其绝对值为 r r （2 t max =aG（2a -b 2aGa 。 9.4 已知截面边界为椭圆 x2 y2 + =1 a 2 b2 的杆，扭转刚度为 GD = p a 3b3G ，求上述边界与椭圆 a 2 + b2 （ l 2 1 x2 y 2 1 + = a 2 b2 l 2 所围成的空心截面杆的扭转刚度。 解：大椭圆所围区域用 A0 表示， 小椭圆所围区域用 A1 ， 截面用 A 表示， A = A0 - A1 。 在 A0 中定义函数 a +b a b （1 2 2 b x2 y 2 j= a （1- 2 - 2 2 2 容易验证上式满足方程 2j = -2 ，也

5、满足条件 j c 2 2 b 1 jc = a （1- 2 = K1 = 常数 2 a + b2 l 1 0 =0 和 又 -2 A = j,bb dA = j,b nb ds = A c j j ds = ds + ds n n c c c 0 1 = j,bb dA + c0 c1 j ds = -2 A0 + n c 1 即 c1 n ds = 2（ A - A = 2 A1 0 j 所以式（1定义的函数是本问题的应力函数。因为在 c1 上，j - K1 = 0 ，所以根据已知 条件，有 D = 2 K1 A1 + 2j dA = 2 K1 A1 + 2 j dA - 2 j dA A

6、A0 A1 37 = 2 （j - K1 dA = A0 A1 p a 3b3 - p （a / l 3 （b / l 3 = （1- 1 p a 3b3 a 2 + b 2 （a / l 2 + （b / l 2 l 4 a 2 + b2 。 解法二：横截面为大椭圆的实心杆扭转时，因为小椭圆是应力函数的等值线，所以与 小椭圆对应的材料和外部材料之间没有相互作用力，这相当于两根独立的杆件在一起 扭转，因此有 p a3b3 - p （a / l 3 （b / l 3 = （1- 1 p a3b3 。 a 2 + b 2 （a / l 2 + （b / l 2 l 4 a 2 + b2 9.5 一

7、闭口薄壁杆具有图 9.13 所示的横截面，壁厚 d 是常数。试证明：杆扭转时中间腹壁 D = D0 - D1 = 上无剪应力；并导出用扭矩 M 表示的远离角点处的应力公式和单位长度的扭转角。 c0 c1 d c2 a a 图9.13 a 解：应力函数 j 在外边界上的值为零，在左内边界上 c1 的值为 K1 ，在右内边界上 c2 的值为 K 2 。由于壁很薄，由书中的式（9.17可以近似地得到 K1 d 3a + 3a + K1 - K 2 d a = 2a 2 ， a = 2a 2 。 K2 d K 2 - K1 d 解上面的方程组，得 2 K1 = K 2 = ad 3 对本问题的薄壁杆，近似地有 8 D = 2 K1 A1 + 2 K 2 A2 = d a 3 3 M 3M = 所以 a = GD 8d a 3G 左右薄壁上的剪应力为 t 1 =a G K1 K 2 K - K2 2 = a aG ，t 2 =a G 2 = a aG 中间腹壁上的 t 3 =a G 1 =0 。 d 3 d 3 d 38