浙教版八年级数学上册项训练一巧用分段函数解实际问题Word文档格式.docx
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专项训练二：
巧用一次函数的最值解决方案设计问题
一次函数的图象是一条直线，好像与最值“无缘”，如果给出自变量的一定取值范围，由一次函数的增减性可知，存在最值．一次函数的最值可以解决实际生活中一些最大利润问题、最低费用问题等，解题的过程中，要将实际问题转化为数学问题，建立函数模型，利用函数的性质解决问题．
最大利润问题（函数思想、分类讨论思想）
绥化）为了迎接十一假期的购物高峰，某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋
价格
甲
乙
进价（元/双）
m
m－20
售价（元/双）
240
160
已知：
用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价－进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在
（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
最低费用问题（函数思想）
2．（中考·
齐齐哈尔）在国道202公路改建工程中，某路段长4000米，由甲、乙两个工程队拟在30天内（含30天）合作完成，已知两个工程队各有10名工人（设甲、乙两个工程队的工人全部参与生产，甲工程队每人每天的工作量相同，乙工程队每人每天的工作量相同），甲工程队1天、乙工程队2天共修路200米；
甲工程队2天、乙工程队3天共修路350米．
（1）试问甲、乙两个工程队每天分别修路多少米？
（2）甲、乙两个工程队施工10天后，由于工作需要需从甲队抽调m人去学习新技术，总部要求在规定时间内完成，请问甲队可以抽调多少人？
（3）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，乙工程队每天的施工费用为0.35万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两个工程队需各修多少天？
最低费用为多少？
方案设计（分类讨论思想）
3．（中考·
黄石）某校九（3）班去大冶茗山乡花卉基地参加社会实践活动，该基地有玫瑰花和薰衣草两种花卉，活动后，小明编制了一道数学题：
花卉基地有甲、乙两家种植户，种植面积与卖花总收入如下表．（假设不同种植户种植的同种花卉每亩卖花平均收入相等）
种植户
玫瑰花种植
面积（亩）
薰衣草种植
卖花总收
入（元）
5
3
33500
7
43500
（1）试求玫瑰花、薰衣草每亩卖花的平均收入各是多少；
（2）甲、乙种植户计划合租30亩地用来种植玫瑰花和薰衣草，根据市场调查，要求玫瑰花的种植面积大于薰衣草的种植面积（两种花卉的种植面积均为整数亩），花卉基地对种植玫瑰花的种植户给予补贴，种植玫瑰花的面积不超过15亩的部分，每亩补贴100元；
超过15亩但不超过20亩的部分，每亩补贴200元；
超过20亩的部分每亩补贴300元．为了使总收入不低于127500元，则他们有几种种植方案？
专项训练三：
一次函数与几何的综合
本章中一次函数与几何的综合主要体现在利用一次函数解决几何中与面积有关的问题，或者是探究几何中符合某种特殊条件的点的存在性问题等．而解决与几何图形面积有关的问题一般情况都是已知函数表达式求点的坐标或图形的面积，或已知图形的面积求函数表达式或待定系数的值，解决这类问题通常将线段长度作为联系点的坐标和图形面积的桥梁．
利用一次函数表达式求面积
北京）如图，直线y＝2x＋3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.
（1）求A，B两点的坐标；
（2）过B点作直线BP与x轴相交于P，且使OP＝2OA，求△ABP的面积．
利用面积求一次函数表达式中待定系数的值
2．如图，已知直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A和点B，另一直线y＝kx＋b（k≠0）经过C（1，0）,且把△AOB分成两部分．
（1）若△AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值；
（2）若△AOB被分成的两部分面积比为1∶5，求k和b的值．
3．如图，正方形AOCB的边长为6，O为坐标原点，边OC在x轴的正半轴上，边OA在y轴的正半轴上，E是边AB上的一点，直线EC交y轴于F，且FA∶FO＝1∶2，S△FAE∶S四边形AOCE＝1∶3.
（1）求出点E的坐标；
（2）求直线EC的表达式．
利用一次函数解决动点探究问题
4．（中考·
西宁）如图，直线y＝kx－1与x轴、y轴分别交于B，C两点，OB∶OC＝1∶2.
（1）求B点的坐标和k的值；
（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y＝kx－1上的一个动点．在点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数表达式；
（3）探索：
①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是；
②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？
若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；
若不存在，请说明理由．
（第4题）
专项训练四：
思想方法荟萃
本章主要涉及的数学思想有：
数形结合思想、分类讨论思想、函数思想（函数与方程、不等式相互转化）．
数形结合思想
苏州）如图，已知函数y＝－x＋b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与函数y＝x的图象交于点M，点M的横坐标为2.在x轴上有一点P（a，0）（其中a＞2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y＝－
x＋b和y＝x的图象于点C，D.
（1）求点A的坐标；
（2）若OB＝CD，求a的值．
分类讨论思想
2．若直线y＝x＋k，x＝1，x＝4和x轴围成的直角梯形的面积等于9，试求k的值．
函数思想
3．5月份，某品牌衬衣正式上市销售，5月1日的销售量为10件，5月2日的销售量为35件，以后每天的销售量比前一天多25件，直到日销售量达到最大后，销售量开始逐日下降，至此，每天的销售量比前一天少15件，直到5月31日销售量为0.设该品牌衬衣的日销售量为P（件），销售日期为n（日），P与n之间的关系如图所示．
（1）试求第几天销售量最大；
（2）直接写出P关于n的函数表达式（注明n的取值范围）；
（3）经研究，该品牌衬衣的日销售量超过150件的时间为该品牌的流行期，请问：
该品牌衬衣本月在市面上的流行期为多少天？
答案
专项训练一
1．D 点拨：
①由题图可知，一次购买种子数量不超过10千克时，销售价格为50÷
10＝5（元/千克），正确；
②由题图可知，超过10千克的部分种子的价格为（150－50）÷
（50－10）＝2.5（元/千克），
所以，一次购买30千克种子时，付款金额为50＋2.5×
（30－10）＝100（元），正确；
③由于一次购买10千克以上种子时，超过10千克的部分种子的价格为2.5元/千克，而2.5÷
5＝0.5，所以打五折，正确；
④由于一次购买40千克种子需要付款50＋2.5×
（40－10）＝125（元），
分两次购买且每次购买20千克种子需要2×
[50＋2.5×
（20－10）]＝150（元），
而150－125＝25（元），
所以一次购买40千克种子比分两次购买且每次购买20千克种子少花25元钱，正确．
故选D.
本题利用了分类讨论思想，解决本题的关键是从图象中读取信息，求出种子数量不超过10千克的销售价格及超过10千克部分的销售价格．
2．解：
（1）当x≤10时，有y＝ax.将x＝10，y＝15代入，得15＝10a，a＝1.5.故当x≤10时，y＝1.5x.
当x＝8时，y＝1.5×
8＝12.
故应收水费12元．
（2）当x＞10时，设y＝bx＋m.将x＝10，y＝15和x＝20，y＝35分别代入，得解得
故当x＞10时，y＝2x－5.
（3）∵1.5×
10＋1.5×
10＋2×
4＜46，∴甲、乙两家上月用水均超过10吨．
设甲、乙两家上月用水量分别为n吨、t吨，
则解之，得
故居民甲上月用水16吨，居民乙上月用水12吨．
点拨：
本题体现了数形结合思想，解题的关键是从图象中找出有用的信息，用待定系数法求出表达式，再解决问题．
3．解：
（1）①当点P在边AB上，即0≤x＜3时，y＝×
4x＝2x；
②当点P在边BC上，即3≤x＜7时，y＝×
4×
3＝6；
③当点P在边CD上，即7≤x≤10时，y＝×
4（10－x）＝－2x＋20.
∴y＝
（2）函数图象如图所示．
本题考查了分段函数在动态几何中的运用，体现了数学中的分类讨论思想．分点P在边AB，BC，CD上，其所对应的函数表达式不相同．分段求出相应的函数表达式，再画出相应的函数图象．
专项训练二
1．解：
（1）依题意得，＝，
整理得，3000（m－20）＝2400m，
解得m＝100.
经检验，m＝100是原分式方程的解，
所以m＝100.
（2）设购进甲种运动鞋x双，则购进乙种运动鞋（200－x）双，
根据题意得
解不等式①得x≥95，
解不等式②得x≤105，
所以不等式组的解集是95≤x≤105.
因为x是正整数，105－95＋1＝11，
所以该专卖店有11种进货方案．
（3）设总利润为W元，则W＝（240－100－a）x＋80（200－x）＝（60－a）x＋16000（95≤x≤105）．
①当50＜a＜60时，60－a＞0，W随x的增大而增大，
所以，当x＝105时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双；
②当a＝60时，60－a＝0，W＝16000，
（2）中所有方案获利都一样；
③当60＜a＜70时，60－a＜0，W随x的增大而减小，
所以，当x＝95时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．
本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到关于所求的量的相等关系或不等关系；
（3）题要根据一次项系数的情况分类讨论．
（1）设甲工程队每天修路x米，乙工程队每天修路y米，
依题意得解得
答：
甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米．
（2）依题意得10×
100＋20×
×
100＋30×
50≥4000，
解得m≤.
∵0＜m＜10，∴0＜m≤，
又∵m为正整数，∴m＝1或2.
∴甲队可以抽调1人或2人．
（3）设甲工程队修a天，乙工程队修b天，
依题意得100a＋50b＝4000，
∴b＝80－2a.
∵0≤b≤30，∴0≤80－2a≤30，
解得25≤a≤40，
又∵0≤a≤30，∴25≤a≤30.
设总费用为W万元，依题意得：
W＝0.6a＋0.35b
＝0.6a＋0.35（80－2a）
＝－0.1a＋28.
∵－0.1＜0，
∴W随a的增大而减小，
∴当a＝30时，W取得最小值，最小值为－0.1×
30＋28＝25，
此时b＝80－2a＝80－2×
30＝20.
要使该工程的施工费用最低，甲工程队需修30天，乙工程队需修20天，最低费用为25万元．
本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用．读懂题目信息，理清题中数量关系，准确找出等量关系与不等量关系分别列出方程组和不等式是解题的关键，（3）题先根据总工作量表示出甲、乙两个工程队修的天数的关系是解题的关键．
（1）设玫瑰花、薰衣草每亩卖花的平均收入分别为x元、y元，依题意得：
解得
玫瑰花、薰衣草每亩卖花的平均收入分别为4000元、4500元．
（2）设种植玫瑰花m亩，则种植薰衣草的面积为（30－m）亩，依题意得m＞30－m，解得m＞15.
当15＜m≤20时，有4000m＋4500（30－m）＋15×
100＋（m－15）×
200≥127500，解得m≤20，
故15＜m≤20（m为正整数）．
当m＞20时，有4000m＋4500（30－m）＋15×
100＋5×
200＋（m－20）×
300≥127500，
解得m≤20，不合题意．
综上所述，有5种种植方案．种植方案如下：
种植类型
种植面积（亩）
方案一
方案二
方案三
方案四
方案五
玫瑰花
16
17
18
19
20
薰衣草
14
13
12
11
10
专项训练三
（1）令y＝0，得x＝－，∴A点的坐标为.
令x＝0，得y＝3，∴B点的坐标为（0，3）．
（2）设P点坐标为（a，0），依题意，得a＝±
3.
∴P点的坐标为P1（3，0）或P2（－3，0）．
∴S△ABP1＝×
3＝，
S△ABP2＝×
3＝.
∴△ABP的面积为或.
（1）根据题意得A（2，0），B（0，2）．
（第2题）
∵C是OA的中点，S△OBC＝S△ABC.
∴y＝kx＋b经过B（0，2），把（0，2），（1，0）分别代入y＝kx＋b，解得k＝－2，b＝2.（如图
（1））
（2）设直线y＝kx＋b与OB交于M（0，h），如图
（2），△AOB被分成的两部分的面积比为1∶5，得S△OMC＝S△AOB，则×
1×
h＝×
2×
2.
∴h＝，∴M（0，）．
经过点M作直线MN∥OA，交AB于N，
则S△OMC＝S△CAN.
∵N在直线y＝－x＋2上，∴a＝，∴N.
∴y＝kx＋b经过M，C（1，0）或N，C（1，0），将M，C或N，C的坐标分别代入y＝kx＋b，可解得或
（1）∵S△FAE∶S四边形AOCE＝1∶3，∴S△FAE∶S△FOC＝1∶4.
∴AE·
AF∶OC·
OF＝1∶4.
∵＝，
∴＝.
∵OA＝OC＝6，∴AE＝3，∴点E的坐标为（3，6）．
（2）设直线EC的表达式为y＝kx＋b.
∵直线y＝kx＋b过点E（3，6）和C（6，0），
∴解得
∴直线EC的表达式为y＝－2x＋12.
4．解：
（1）∵直线y＝kx－1与y轴相交于点C，∴OC＝1.
∵OB∶OC＝1∶2，∴OB＝，∴B点的坐标为点.
把B点的坐标代入y＝kx－1得k＝2.
（2）由
（1）知y＝2x－1，∴S＝×
OB×
y＝×
（2x－1）＝x－.
（3）①当S＝时，由x－＝，得x＝1，y＝2x－1＝1.
∴当A点的坐标为（1，1）时，△AOB的面积为.
②存在，满足条件的所有P点的坐标为：
P1（1，0），P2（2，0），P3（，0），P4（－，0）．
专项训练四
（1）∵点M在函数y＝x的图象上，且横坐标为2，
∴点M的纵坐标为2.
∵点M（2，2）在一次函数y＝－x＋b的图象上，
∴－×
2＋b＝2.∴b＝3.
∴y＝－x＋3.
令y＝0，得x＝6，
∴点A的坐标为（6，0）．
（2）由题意得C，D（a，a）．
∵OB＝CD，∴a－＝3.
∴a＝4.
把点A（1，0），B（4，0）的横坐标分别代入y＝x＋k，得C（1，1＋k），D（4，4＋k），
则梯形ACDB的面积＝（AC＋BD）·
AB＝9，即（|1＋k|＋|4＋k|）×
3＝9，即|1＋k|＋|4＋k|＝6.
（1）当k＞－1时，1＋k＋4＋k＝6，解得k＝（如图
（1））；
（2）当－4＜k≤－1时，－1－k＋4＋k＝3≠6；
（3）当k≤－4时，－1－k－4－k＝6，解得k＝－（如图
（2））．
综上可知，k的值为或－.
（1）设第a天的销售量最大，所以日销售量从最大开始减小到0的天数为（31－a），依题意得10＋25（a－1）＝15（31－a），解得a＝12.
故第12天销售量最大．
（2）P＝
（3）由题意，得解得6.6＜n＜21.
整数n的值可取7，8，9，…，20，共14个．
所以该品牌衬衣本月在市面上的流行期为14天.
初中数学试卷
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