专题26因式分解章末达标检测卷北师大版解析版Word文档下载推荐.docx
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A.
【点睛】此题考查了因式分解﹣运用公式法,熟练掌握平方差公式是解本题的关键.
4.(3分)(2019秋•浦东新区校级期中)下列各式中,正确分解因式的个数为( )
①x3+2xy+x=x(x2+2y)
②x2+2xy+4y2=(x+2y)2
③﹣2x2+8y2=﹣(2x+4y)(x﹣2y)
④a3﹣abc+a2b﹣a2c=a(a﹣c)(a+b)
⑤(m﹣n)(2x﹣5y﹣7z)+(m﹣n)(3y﹣10x+3z)=﹣(m﹣n)(8x+2y+4z)
A.1B.2C.3D.4
【分析】因式分解的基本方法有提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等,分解的结果要分解到不能再分解为止,根据这些基本的分解方法及分解要求逐个选项分析即可.
①左边为三项,右边乘开为两项,故错误;
②右边(x+2y)2=x2+4xy+4y2≠左边,故错误;
③公因数2未提出来,故错误;
④a3﹣abc+a2b﹣a2c
=(a3+a2b)﹣(abc+a2c)
=a2(a+b)﹣ac(a+b)
=a(a﹣c)(a+b)
④正确;
⑤等式右边的(8x+2y+4z)未提取公因数2,故错误.
综上,只有④正确.
【点睛】本题考查了因式分解的方法,熟练掌握分解的基本方法及分解要求,是解题的关键.
5.(3分)(2019秋•浦东新区校级期中)已知二次三项式21x2+ax﹣10可分解成两个整系数的一次因式的乘积,那么( )
A.a一定是奇数B.a一定是偶数
C.a一定是负数D.a可为奇数也可为偶数
【分析】根据十字相乘法的分解方法,以及奇数+偶数=奇数,奇数﹣偶数=奇数即可求解.
二次三项式21x2+ax﹣10中,
21是奇数,可以写成2个奇数积的形式,
10是偶数,可以写成1奇1偶积的形式,
∵奇数×
奇数=奇数,奇数×
偶数=偶数,奇数+偶数=奇数,奇数﹣偶数=奇数,
∴a一定是奇数.
【点睛】考查了因式分解﹣十字相乘法等,运用十字相乘法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程.
6.(3分)(2019秋•东营期中)若
x+y=2,则多项式
的值为( )
A.2B.4C.8D.16
【分析】根据条件可得x+2y=4,再把多项式
分解,然后代入求值即可.
∵
x+y=2,
∴x+2y=4,
∴
=
(x2+4xy+4y2)=
(x+2y)2=
×
16=8,
【点睛】此题主要考查了提公因式法分解因式,关键是正确确定公因式.
7.(3分)(2019秋•恩阳区期中)小强是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:
x﹣y,a﹣b,2,x2﹣y2,a,x+y,分别对应下列六个字:
华、我、爱、美、游、中,现将2a(x2﹣y2)﹣2b(x2﹣y2)因式分解,结果呈现的密码信息可能是( )
A.爱我中华B.我游中华C.中华美D.我爱美
【分析】利用提公因式法和平方差公式分解因式的结果为2(x+y)(x﹣y)(a﹣b),然后找出对应的汉字即可对各选项进行判断.
2a(x2﹣y2)﹣2b(x2﹣y2)=2(x2﹣y2)(a﹣b)=2(x+y)(x﹣y)(a﹣b),
信息中的汉字有:
华、我、爱、中.
所以结果呈现的密码信息可能为爱我中华.
【点睛】本题考查了因式分解的应用:
利用因式分解解决求值问题;
利用因式分解解决证明问题;
利用因式分解简化计算问题.
8.(3分)(2019秋•龙口市期中)多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y,另一个因式是( )
A.x+2y+1B.x+2y﹣1C.x﹣2y+1D.x﹣2y﹣1
【分析】首先将原式重新分组,进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案.
x2﹣4xy﹣2y+x+4y2
=(x2﹣4xy+4y2)+(x﹣2y)
=(x﹣2y)2+(x﹣2y)
=(x﹣2y)(x﹣2y+1).
【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式,正确分组是解题关键.
9.(3分)(2019春•邵东县期中)对于任意整数n,多项式(n+7)2﹣(n﹣3)2的值都能被( )整除.
A.20B.7C.21D.n+4
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可.
(n+7)2﹣(n﹣3)2
=[(n+7)﹣(n﹣3)][(n+7)+(n﹣3)]
=10(2n+4)
=20(n+2),
故多项式(n+7)2﹣(n﹣3)2的值都能被20整除.
【点睛】此题主要考查了因式分解的应用,熟练应用平方差公式是解题关键.
10.(3分)(2019春•新田县期中)由图得到的等式中正确的有( )
①a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2;
②a2+b2+2ab=(a+b)2;
③a2+b2﹣2ab=(a﹣b)2;
④b2+c2+2bc=(b+c)2;
⑤b2+c2+ab+bc+ac=(a+b+c)(b+c).
⑥(a+b+c)2﹣(b+c)2=a2+2ab+2ac
⑦
(a+b+c)(a+b+c)=a2+b2+c2+ab+bc+ac
A.①②③④⑤B.①②③⑥⑦C.①②④⑥D.①②③④⑦
【分析】观察图形,由面积之间的和差关系即可求解.
①由图可以得到a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2;
②由图可以得到a2+b2+2ab=(a+b)2;
③由图不可以得到a2+b2﹣2ab=(a﹣b)2;
④由图可以得到b2+c2+2bc=(b+c)2;
⑤由图可以得到b2+c2+ab+2bc+ac=(a+b+c)(b+c),不可以得到b2+c2+ab+bc+ac=(a+b+c)(b+c);
⑥由图可以得到(a+b+c)2﹣(b+c)2=a2+2ab+2ac;
⑦由图不可以得到
(a+b+c)(a+b+c)=a2+b2+c2+ab+bc+ac.
故由图得到的等式中正确的有①②④⑥.
【点睛】考查了图形的面积计算,关键是弄懂图形面积之间的和差关系.
二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)
11.(3分)(2019春•灌阳县期中)把多项式9a5﹣ab2因式分解的结果是 a(3a2+b)(3a2﹣b) .
【分析】先提取a,再利用平方差公式分解即可.
9a5﹣ab2=a(9a4﹣b2)=a(3a2+b)(3a2﹣b),
故答案为:
a(3a2+b)(3a2﹣b).
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
12.(3分)(2019秋•龙口市期中)多项式8x2myn﹣1﹣12xmyn中各项的公因式为 4xmyn﹣1 .
【分析】先确定系数的最大公约数,再确定各项的相同字母,并取相同字母的最低指数次幂.
系数的最大公约数是4,各项相同字母的最低指数次幂是xmyn﹣1,
所以公因式是4xmyn﹣1,
4xmyn﹣1.
【点睛】本题主要考查公因式的定义,准确掌握公因式的确定方法是解题的关键.
13.(3分)(2019秋•唐河县期中)如图,边长为a,b的长方形的周长为10,面积为6,则a3b+ab3的值为 78 .
【分析】先把所给式子提取公因式ab,再整理为与题意相关的式子,代入求值即可.
根据题意得:
a+b=5,ab=6,
则a3b+ab3=ab(a2+b2)=ab[(a+b)2﹣2ab]=6×
(52﹣2×
6)=6×
13=78.
78.
【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握,又考查了代数式求值的方法,同时还隐含了数学整体思想和正确运算的能力.
14.(3分)(2019秋•任城区期中)已知x2+4mx+16能用完全平方公式因式分解,则m的值为 ±
2 .
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断就确定出m的值.
∵关于x的多项式x2﹣4mx+16能用完全平方公式进行因式分解,
∴m=±
2,
±
2.
【点睛】此题考查了因式分解﹣运用公式法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
15.(3分)(2019秋•浦东新区校级期中)在对某二次三项式进行因式分解时,甲同学因为看错了一次项系数而将其分解为2(x﹣1)(x﹣9),乙同学因为看错了常数项而将其分解为2(x﹣2)(x﹣4),请写出正确的因式分解的结果 2(x﹣3)2 .
【分析】根据乘法和因式分解的关系,排除甲乙看错的项,得到原二次三项式,再因式分解即可.
∵2(x﹣1)(x﹣9)=2x2﹣20x+18,
2(x﹣2)(x﹣4)=2x2﹣12x+16,
∵甲同学因为看错了一次项系数,
∴多项式的二次项和常数项分别是2x2、18,
∵乙同学因为看错了常数项,
∴多项式的二次项和一次项分别是2x2、﹣12x,
所以该二次三项式为:
2x2﹣12x+18.
2x2﹣12x+18
=2(x2﹣6x+9)
=2(x﹣3)2
2(x﹣3)2
【点睛】本题考查了因式分解和多项式乘法的关系及多项式的因式分解.根据题意,确定原来的二次三项式是解决本题的关键.
16.(3分)(2019秋•浦东新区校级期中)已知a,b,c是正整数,a>b,且a2﹣ab﹣ac+bc=11,则a﹣c= 11或1 .
【分析】根据因式分解的分组分解法即可求解.
a2﹣ab﹣ac+bc=11
(a2﹣ab)﹣(ac﹣bc)=11
a(a﹣b)﹣c(a﹣b)=11
(a﹣b)(a﹣c)=11
∵a>b,
∴a﹣b>0,a,b,c是正整数,
∴a﹣b=1或11,a﹣c=11或1.
11或1
【点睛】本题考查了因式分解的应用,解决本题的关键是掌握分组分解法分解因式.
三.解答题(共6小题,满分52分)
17.(8分)(2019春•雁塔区校级期中)因式分解
(1)9y﹣25x2y
(2)﹣a2bc+2ab2c﹣b3c
【分析】
(1)直接提取公因式y,再利用平方差公式分解因式即可;
(2)直接提取公因式﹣bc,再利用完全平方公式分解因式即可.
=y(9﹣25x2)
=y(3﹣5x)(3+5x);
=﹣bc(a2﹣2ab+b2)
=﹣bc(a﹣b)2.
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,正确应用乘法公式是解题关键.
18.(8分)(2019秋•乳山市期中)
(1)分解因式:
(x+2)(x﹣5)+6;
(2)利用分解因式计算:
(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)+0.5.
(1)先拆括号,按照多项式乘法的法则展开并合并,然后按照十字相乘法进行分解即可;
(2)先在原式前面乘以
(3﹣1),则可以按照平方差公式逐步运算,从而得答案.
(1)原式=x2﹣3x﹣4
=(x﹣4)(x+1).
(2)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)+0.5
.
【点睛】本题考查了因式分解及因式分解在计算中的应用,熟练掌握因式分解的方法并灵活运用,是解题的关键.
19.(8分)(2019秋•路南区期中)如图,将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长都为m的大正方形,两块是边长都为n的小正方形,五块是长为m,宽为n的全等小矩形,且m>n,(以上长度单位:
cm)
(1)观察图形,发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解,请写出因式分解的结果;
(2)若每块小矩形的面积为7cm2,四个正方形的面积和为100cm2,试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和.
(1)根据图中的面积关系,两个大正方形、两个小正方形和5个长方形的面积之和等于大长方形的面积,据此可解;
(2)根据题意可得mn=7cm2,2m2+2n2=100cm2,从而m2+n2=50,进而可求得m+n=8,结合图形可得答案.
(1)观察图形,发现代数式
2m2+5mn+2n2
=(2m+n)(m+2n)
(2)若每块小矩形的面积为7cm2,四个正方形的面积和为100cm2
则mn=7cm2,2m2+2n2=100cm2
∴m2+n2=50
∴(m+n)2=50+7×
2=64
∴m+n=8
∴图中所有裁剪线(虚线部分)长之和为6m+6n=6(m+n)=48(cm)
∴图中所有裁剪线(虚线部分)长之和为48cm.
【点睛】本题考查了因式分解在几何图形问题中的应用,数形结合,并熟练掌握相关计算法则,是解题的关键.
20.(8分)(2019秋•崇川区校级期中)下面是某同学对多项式(x2﹣2x﹣1)(x2﹣2x+3)+4进行因式分解的过程
解:
设x2﹣2x=y
原式=(y﹣1)(y+3)+4(第一步)
=y2+2y+1(第二步)
=(y+1)2(第三步)
=(x2﹣2x+1)2(第四步)
回答下列问题
(1)该同学第二步到第三步运用了
A.提取公因式
B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式
D.两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底 不彻底 (填“彻底”或者“不彻底”)若不彻底.请直接写出因式分解的最后结果.
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2﹣4x)(x2﹣4x﹣10)+25进行因式分解.
(1)根据因式分解的步骤进行解答即可;
(2)根据因式分解的步骤进行解答即可;
(3)设x2﹣4x=y,再根据完全平方公式把原式进行分解即可.
(1)该同学第二步到第三步运用了C;
(2)∵(x2﹣2x+1)2=(x﹣1)4,
∴该同学因式分解的结果不彻底;
(3)设x2﹣4x=y
原式=y(y﹣10)+25
=y2﹣10y+25
=(y﹣5)2
=(x2﹣4x﹣5)2
=(x﹣5)2(x+1)2;
不彻底.
【点睛】本题考查的是因式分解,在解答此类题目时要注意完全平方公式的应用.
21.(10分)(2019秋•新野县期中)已知a﹣b=
,ab=﹣3.
(1)求ab2﹣a2b的值:
(2)求a2+b2的值:
(3)已知a+b=k2﹣2,求非负数k的值.
(1)由提取公因式法分解因式,再代入计算即可;
(2)由完全平方公式即可得出答案;
(3)由完全平方公式求出a+b,再分情况计算即可.
(1)ab2﹣a2b=﹣ab(a﹣b)=﹣(﹣3)×
;
(2)a2+b2=(a﹣b)2+2ab=(
)2+2×
(﹣3)=
(3)∵(a+b)2=(a﹣b)2+4ab=(
)2+4×
,
∴a+b=
当a+b=
时,
∵k>0,
综上所述,非负数k的值为
或
【点睛】本题考查了因式分解的方法以及完全平方公式的应用;
熟练掌握提取公因式法分解因式和完全平方公式是解题的关键.
22.(10分)(2019秋•丰台区校级期中)阅读下列材料
在因式分解中,把多项式中某些部分看作一个整体,用一个新的字母代替(即换元),不仅可以简化要分解的多项式的结构,而且能使式子的特点更加明显,使于观察如何进行因式分解我们把这种因式分解的方法称为“换元法”
下面是小涵同学用换元法对多项式(x2+4x+1)(x2+4x+7)+9进行因式分解的过程.解:
设x2+4x=y
原式=(y+1)(y+7)+9(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2+4x+4)2(第四步)
请根据上述材料回答下列问题:
(1)小涵同学的解法中,第二步到第三步运用了因式分解的 C .
A.提取公因式法B.平方差公式法C.完全平方公式法
(2)老师说,小涵同学因式分解的结果不彻底,请你写出该因式分解的最后结果:
(x﹣2)4 .
(3)请你用换元法对多项式(x2﹣2x)(x2﹣2x+2)+1进行因式分解
(4)当x= 1 时,多项式(x2﹣2x)(x2﹣2x+2)﹣1存在最 小 值(填“大”或“小”).请你求出这个最值
(1)根据完全平方公式进行分解因式;
(2)最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止;
(3)根据材料,用换元法进行分解因式;
(4)先配方,再根据非负数的性质即可求解.
(1)小涵同学的解法中,第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法;
(2)(x2+4x+1)(x2+4x+7)+9,
设x2+4x=y,
原式=(y+1)(y+7)+9
=y2+8y+16
=(y+4)2
=(x2+4x+4)2
=(x+2)4;
(3)设x2﹣2x=y,
原式=y(y+2)+1
=y2+2y+1
=(y+1)2
=(x2﹣2x+1)2
=(x﹣1)4;
(4)(x2﹣2x)(x2﹣2x+2)﹣1
=(x2﹣2x)2+2(x2﹣2x)﹣1
=(x2﹣2x)2+2(x2﹣2x)+1﹣2
=(x2﹣2x+1)2﹣2
=(x﹣1)4﹣2,
故当x=1时,多项式(x2﹣2x)(x2﹣2x+2)﹣1存在最小值,最小值为﹣2.
C;
(x+2)4;
1,小.
【点睛】本题考查了因式分解﹣换元法,公式法,也是阅读材料问题,熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键.