学年高中数学第三章三角函数31蝗制与任意角311角的概念的推广学案湘教版必修.docx

学年高中数学第三章三角函数31蝗制与任意角311角的概念的推广学案湘教版必修.docx

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学年高中数学第三章三角函数31蝗制与任意角311角的概念的推广学案湘教版必修

3．1.1　角的概念的推广

[学习目标]　1.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.2.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角．

[知识链接]

1．手表慢了5分钟，如何校准？

手表快了半小时，又如何校准？

答　可将分针顺时针方向旋转30°；可将时针逆时针方向旋转180°.

2．在初中角是如何定义的？

答　定义1：

有公共端点的两条射线组成的几何图形叫做角．

定义2：

平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角．

3．初中所学角的范围是什么？

答　角的范围是[0°，360°]．

[预习导引]

1．角的概念

（1）角的定义：

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

（2）角的表示方法：

①常用大写字母A，B，C等表示；②也可以用希腊字母α，β，γ等表示；

③特别是当角作为变量时，常用字母x表示．

（3）角的分类：

一条射线绕着端点以逆时针方向的旋转为正向，所成的角称为正角，用正的角度来表示；顺时针方向旋转所成的角称为负角，用负的角度来表示；不旋转所成的角称为零角，用0°表示．

2．象限角

角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

3．终边相同的角

设α＝∠AOB，则所有以OA为始边，OB为终边的角都是α与整数个周角的和，组成集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.

要点一　任意角概念的辨析

例1　在下列说法中：

①0°～90°的角是第一象限角；

②第二象限角大于第一象限角；

③钝角都是第二象限角；

④小于90°的角都是锐角．

其中错误说法的序号为________

答案　①②④

解析　①0°～90°的角α是指0°≤α＜90°，0°角不属于任何象限，所以①不正确．

②120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以②不正确．

③钝角α的范围是90°＜α＜180°，显然是第二象限角，所以③正确．

④锐角α的范围是0°＜α＜90°，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确．

规律方法　判断说法错误，只需举一个反例即可．解决本题关键在于正确理解各类角的定义．随着角的概念的推广，对角的认识不能再停留在初中阶段，否则判断容易错误．

跟踪演练1　设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有（　　）

A．BCAB．BAC

C．D（A∩C）D．C∩D＝B

答案　D

解析　锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.

角

集合表示

锐角

B＝{α|0°<α<90°}

0°～90°的角

D＝{α|0°≤α<90°}

小于90°的角

A＝{α|α<90°}

第一象限角

C＝{α|k·360°<α

要点二　象限角的判定

例2　在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．

（1）－150°；

（2）650°；（3）－950°15′.

解　

（1）因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．

（2）因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．

（3）因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．

规律方法　本题要求在0°～360°范围内，找出与已知角终边相同的角，并判断其为第几象限角，这是为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值打基础．

跟踪演练2　给出下列四个说法：

①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°是第一象限角，其中正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

答案　D

解析　对于①：

如图1所示，－75°角是第四象限角；

对于②：

如图2所示，225°角是第三象限角；

对于③：

如图3所示，475°角是第二象限角；

对于④：

如图4所示，－315°角是第一象限角．

要点三　终边相同的角的应用

例3　在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．

（1）最大的负角；

（2）最小的正角；（3）360°～720°的角．

解　

（1）与10030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10030°（k∈Z），由－360°

（2）由0°

（3）由360°≤k·360°＋10030°<720°，得－9670°≤k·360°<－9310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.

规律方法　求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．

跟踪演练3　写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β<360°的元素β写出来．

解　由终边相同的角的表示知与角α＝－1910°终边相同的角的集合为：

{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}．

∵－720°≤β<360°，

即－720°≤k·360°－1910°<360°（k∈Z），

∴3≤k<6（k∈Z）．故取k＝4,5,6.

k＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°；

k＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°；

k＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°.

要点四　区域角的表示

例4　写出终边落在阴影部分的角的集合．

解　设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．

①{α|k·360°＋30°≤α

②{α|k·360°＋210°≤α

∴角α的集合应当是集合①与②的并集：

{α|k·360°＋30°≤α

∪{α|k·360°＋210°≤α

＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}

∪{α|（2k＋1）180°＋30°≤α<（2k＋1）180°＋105°，k∈Z}

＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或（2k＋1）·180°＋30°≤α<（2k＋1）180°＋105°，k∈Z}

＝{α|n·180°＋30°≤α

规律方法　解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．本题还要注意实线边界与虚线边界的差异．

跟踪演练4　已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α

（1）A∩B；

（2）A∪B.

解　在直角坐标系中，分别画出集合A，B所包含的区域，结合图形可知，

A∩B＝{θ|30°＋k·360°<θ<45°＋k·360°，k∈Z}，

A∪B＝{γ|k·360°－45<γ

1．－361°的终边落在（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

答案　D

2．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°＜β＜180°}，则A∩B等于（　　）

A．{－36°，54°}B．{－126°，144°}

C．{－126°，－36°，54°，144°}D．{－126°，54°}

答案　C

解析　令－180°＜k·90°－36°＜180°，则－144°＜k·90°＜216°，当k＝－1,0,1,2时，不等式均成立，所对应的角分别为－126°，－36°，54°，144°，故选C.

3．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.

答案　270°

解析　由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°.

4．写出终边落在坐标轴上的角的集合S.

解　终边落在x轴上的角的集合：

S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；

终边落在y轴上的角的集合：

S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}；

∴终边落在坐标轴上的角的集合：

S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{β|β＝2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝（2k＋1）·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}．

1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．

2．关于终边相同角的认识

一般地，若角α始边与x轴非负半轴重合，则所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

注意：

（1）α为任意角；

（2）k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋（－α）；

（3）相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；

（4）k∈Z这一条件不能少．

一、基础达标

1．设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是（　　）

A．A＝BB．B＝C

C．A＝CD．A＝D

答案　D

2．与405°角终边相同的角是（　　）

A．k·360°－45°，k∈ZB．k·180°－45°，k∈Z

C．k·360°＋45°，k∈ZD．k·180°＋45°，k∈Z

答案　C

3.如图，终边落在直线y＝±x上的角α的集合是（　　）

A．{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}

B．{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}

C．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}

D．{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}

答案　D

4．若α是第四象限角，则180°－α是（　　）

A．第一象限角B．第二象限角

C．第三象限角D．第四象限角

答案　C

解析　可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．

5．已知0°＜α＜360°，α的终边与－60°角的终边关于x轴对称，则α＝________.

答案　60°

6．下列说法中，正确的是________（填序号）．

①终边落在第一象限的角为锐角；

②锐角是第一象限的角；

③第二象限的角为钝角；

④小于90°的角一定为锐角；

⑤角α与－α的终边关于x轴对称．

答案　②⑤

解析　终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限的角，