版高中数学人教B版必修三学案第一单元 疑难规律方法第一章 算法初步 Word版含答案Word格式文档下载.docx

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第三步，计算S＝

×

l2的值．

第四步，输出S的值．

例2　下面给出了一个问题的算法：

第一步，输入x.

第二步，若x≥4，则执行第三步，否则执行第四步．

第三步，输出2x－1.

第四步，输出x2－2x＋3.

这个算法解决的问题是什么？

分析　依据题目给出的算法步骤依次执行，分别写出其对应的结果就可以很容易解决此题．

解　这个算法先是输入一个变量x，当x≥4时输出2x－1，当x<

4时输出x2－2x＋3，不难发现这个算法解决的问题是求分段函数f（x）＝

的函数值．

2　典型算法举例

1．解方程（方程组）、不等式的算法

例1　用自然语言描述求一元二次方程x2＋bx＋c＝0的根的算法．

思维切入　对于求方程的根，解方程组这样的数值型的问题，我们都有具体的计算方法，只要我们把平时的计算方法严格地按步骤描述出来即可．因此我们很容易得到下面的算法．

解　用自然语言来描述算法，

S1　计算Δ＝b2－4ac；

S2　如果Δ<

0，则原方程无实数解，否则（Δ≥0）x1＝

，x2＝

.

S3　输出x1，x2或无实数解的信息．

评注　第二步中包含了一个判断Δ＝b2－4ac是否小于零的条件，并根据判断结果进行不同的处理，在算法中称作条件分支结构．

例2　写出解x2－4x＋3<

0的算法．

思维切入　只要把平时的固定解法有条理地写出来，即为解不等式的算法．

解　S1　求出对应方程的根x1＝1，x2＝3；

S2　确定根的大小x1<

x2；

S3　写出解集{x|1<

x<

3}．

2．套用公式求值的算法

例3　已知摄氏温度C与华氏温度F的关系是F＝C×

＋32，写出由摄氏温度求华氏温度的算法．

思维切入　这是一个函数求值问题，给C赋值再代入解析式求F.

解　S1　输入摄氏温度C；

S2　代入F＝C×

＋32；

S3　输出华氏温度F.

评注　平时计算我们只注重第二步，其他步骤往往忽略了，算法却讲究“按部就班”，这类问题的算法一般分为三步：

第一步输入值，第二步套用公式，第三步输出结果．

3．判断性质型问题的算法

例4　试描述判断圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2和直线Ax＋By＋C＝0位置关系的算法．

思维切入　直线与圆的关系有三种：

相离、相切、相交，如果圆心到直线的距离d>

r，则直线与圆相离，d＝r则直线与圆相切，d<

r则直线与圆相交．因此我们可以先求出圆心到直线的距离d，然后再和r比较．

解　S1　输入圆心的坐标、直线方程的系数和半径r；

S2　计算z1＝Ax0＋By0＋C；

S3　计算z2＝A2＋B2；

S4　计算d＝

；

S5　如果d>

r则相离；

如果d＝r则相切；

如果d<

r则相交．

评注　算法要求分解成简单计算，不要直接计算

d＝

4．累加、累乘问题的算法

例5　用自然语言描述求解mul＝1×

2×

3×

4×

5×

6问题的算法．

思维切入　根据算法的特点，我们学过的加、减、乘、除运算法则都是算法，只要按照具体的规则有步骤地描述过程，便有了该题的算法．

解　S1　计算1×

2，得2；

S2　将S1中的运算结果2与3相乘得6；

S3　将S2中的运算结果6与4相乘得24；

S4　将S3中的运算结果24与5相乘得120；

S5　将S4中的运算结果120与6相乘得720.

评注　一眼就看出答案来了，为什么还一步一步地做，太枯燥了，但是相乘的数小、数少还能看出，如果数多了，数大了没有这样的步骤就很难解决这一类问题．

思维拓展　该算法包含一个重复操作的过程是循环结构，我们可将算法改造得更为简练、科学．

解　S1　设i＝1，P＝1；

S2　如果i≤6执行S3，否则执行S5；

S3　计算P×

i并将结果代替P；

S4　将i＋1代替i，转去执行S2；

S5　输出P.

评注　i称作计数变量，每一次循环它的值增加1，由1变到6，P是一个累乘变量，每一次循环得到一个新的结果，然后新的结果代替原值．

3　程序框图画法全知晓

一、画程序框图的基本步骤

第一步，设计算法，因为算法的设计是画程序框图的基础，所以画程序框图前，首先写出相应的算法步骤，并分析算法需要用哪种基本逻辑结构（顺序结构、条件分支结构、循环结构）完成．

第二步，把算法步骤转化为对应的程序框图，在这种转化过程中往往需要考虑很多细节，是一个将算法“细化”的过程．

第三步，将所有步骤的程序框图用流程线连接起来，并加上起、止框，得到整个表示算法的程序框图．

二、画程序框图的规则

1．使用标准的框图符号．

2．框图一般按从上到下、从左到右的方向来画．

3．除判断框外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是唯一具有超过一个退出点的符号．

4．在图形符号内描述的语言要简练清楚．

三、典例分析

1．顺序结构

顺序结构是最简单的算法结构，是任何一个算法都离不

开的结构．若一个算法由若干个依次执行的步骤组成，则在画程序框图时，可直接由顺序结构完成．因为在其他的结构中都会涉及顺序结构，所以关于顺序结构的画法，在此不再单独叙述．

2．条件分支结构

设计程序框图时，若是分段函数或执行时需要先判断才能执行的问题，则需要用到判断框，引入条件分支结构．

例1如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着BCDA的方向由点B向点A运动，设点P运动的路程为x（0<

12），△APB的面积为y，画出y关于x的关系式的程序框图．

分析　先根据题意写出算法，再根据算法画出程序框图．即

第一步，按照题意，y与x的关系满足分段函数：

y＝

第二步，用合适的含条件分支结构的程序框图表示该分段函数．

解　程序框图如图所示．

点评　该题中的分段函数是分三段的函数，需引入两个判断框．至于判断框的内容是没有顺序的，但与下一图形的内容或操作必须相互对应．同时，在画程序框图时，要特别注意图形符号的规范性．

3．循环结构

如果问题中进行了重复的运算，且有相同的规律，就可根据需要引入相关变量，利用这些规律组成一个循环体，用循环结构来解决．

例2某机械厂为增加产值进行了技术革新．据统计2014年的生产总值为500万元，技术革新后预计每年的生产总值比上一年增加5%，求最早要到哪一年生产总值才能超过600万元，试用程序框图表示．

分析　用变量n，a分别表示所经过的年数和生产总值的数量，注意变量的初始值以及递加的值是多少．由题意知第n年后的生产总值为a＝500（1＋0.05）n，此时为（2014＋n）年．由于题中进行了重复的运算，故应引入循环结构．

点评　在本例中，给出了一种循环结构的框图，另一种循环结构（先执行循环体，再判断条件是否成立），同学们可以自行完成．

4　例说条件分支结构

条件分支结构是三种基本逻辑结构之一，可以解决一些含有条件判断的算法问题，如分段函数求值问题、比较大小问题、分类讨论问题和一些实际问题等．下面就其应用略举两例，供同学们学习时参考．

一、分段函数求值问题

例1已知函数y＝

请设计程序框图，要求输入自变量x，输出函数值y.

分析　输入自变量x的值，首先判断x与0的大小关系，再代入相应的表达式求函数值．

解　程序框图如图．

点评　求分段函数的函数值，需先判断再执行步骤，需要引入条件分支结构．注意画程序框图时，判断条件不同，框图中表达式的位置也不同．

二、实际应用问题

例2某电子汇款单笔最高限额为1万元，每笔汇款的资费标准为汇款金额的1%，最低收费为2元，最高收费为50元．试编写一程序框图求出当汇款x（0<

x≤10000）元时，应交纳资费多少元．

分析　由题意分析，当x≤200时，应缴纳资费2元，当x≥5000时，应缴纳资费50元，所以引入条件分支结构，200和5000是两个分段点．

点评　在一些需要判断的实际问题中，一般都会用到条件分支结构，在设计程序框图时，可先根据题意，设计算法，再根据算法画出程序框图.

5　循环结构的应用

在循环结构中，经常会出现两个变量：

计数变量和累计变量．计数变量往往出现在循环结构中，起到循环计数的作用，这个变量一般出现在执行或终止循环体的条件中；

而累计变量用于输出结果，往往与计数变量同步执行，一般有累加与累乘两种．下面举例说明循环结构的应用．

一、求和或求积问题

例1　设计两个求1＋3＋5＋…＋2015的值的算法的程序框图．

分析　本题是一个累加问题，由于加数较多，采用逐一相加的思路不可取，引入变量，应用循环结构解决：

（1）设一个循环变量为i，初始值为1；

再设一个累加变量为S，初始值为0.

（2）循环体为S＝S＋i，i＝i＋2.（3）终止条件为i>

2015.

解　方法一　程序框图如图1所示，

方法二　程序框图如图2所示．

评注　涉及求多项的和与积的程序框图要用到循环结构和条件分支结构．画图时要注意循环变量的初始值、终值以及循环变量的增量在程序中的作用．本题代表了一类相邻两个数的差为常数的求和问题的解法，在设计程序框图时要注意前后两个加数相差2，此时计数变量不是i＝i＋1，而是i＝i＋2，要根据题意灵活地改变算法中的相应部分．

二、叠加求值

例2　画出求式子

（共9个3）的值的一个程序框图．

分析　本题是一个叠加问题，由于前后重复了多次相同的运算，所以应采用循环结构来设计算法，但利用循环结构实现算法需搞清初始值是什么．本题中初始值可设定为a1＝

，第一次循环得到a2＝

，第二次循环得到a3＝

，…，a9＝

，共循环了8次．

评注　如果算法问题里涉及的运算有许多重复的步骤，且数之间有相同的规律，那么可引入变量，应用循环结构．在循环结构中，要注意根据条件，设计合理的计数变量、累计变量，特别要注意条件的表述要恰当、精确，以免出现多一次循环或少一次循环的情况．

6　三种逻辑结构辨析

算法中有三种逻辑结构，即顺序结构、条件分支结构、循环结构，同学们初学这三种结构，容易混淆．本文将这三种结构进行比较，希望同学们能深刻体会这三种结构的差异与共同点．

一、三种基本逻辑结构

顺序结构

按照语句的先后顺序，从上而下依次执行这些语句，该结构不具备控制流程的作用，是任何一个算法都离不开的基本结构．

条件分支结构

根据某种条件是否满足来选择程序的走向．当条件满足时，运行一个分支，不满足时，运行另一个分支．

循环结构

从某处开始，按照一定的条件，反复执行某一处理步骤的情况．用来处理一些反复进行操作的问题.

二、三种基本逻辑结构的共同特点

1．只有一个入口．

2．只有一个出口，注意一个菱形判断框有两个出口，而一个条件分支结构只有一个出口，不要将菱形框的出口和条件分支结构的出口混为一谈．

3．结构内的每一部分都有机会被执行到，即对每一个框来说都应当有一条从入口到出口的路径通过它，如图1中的A，没有一条从入口到出口的路径通过它，是不符合要求的程序框图．

4．结构内不存在死循环，即无终止的循环，如图2就是一个死循环，在程序框图中是不允许有死循环出现的．

三种基本结构的这些共同特点，也是检查一个程序框图或算法是否正确、合理的方法和试金石．

三、典例剖析

例1　已知点P（x0，y0）和直线l：

Ax＋By＋C＝0，画出求点P（x0，y0）到直线l的距离d的算法的程序框图．

分析　利用点到直线的距离公式可画出其程序框图．

评注　顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构，它是最简单的算法结构，在程序框图中的体现就是用流程线自上而下地连接起来，按顺序执行算法的步骤．

例2　画出解方程ax＋b＝0（a，b为常数）的一个算法的程序框图．

分析　在求解方程时，需要在方程两边同时除以a，这时对a是否为0的情况要加以讨论，当a＝0时，又要对b是否为0分情况讨论．

评注　条件分支结构中要先根据指定条件进行判断，再由判断的结果决定选择执行哪一条路径．

例3　某校高一

（1）班共有60人，市青少年保护中心来抽样检测同学们的身体素质，要求学号被3整除的同学参加体检，已知同学们的学号是从1到60号，请画出一个算法的程序框图，使其能够输出参加体检的同学的学号．

评注　循环结构按照一定的条件，反复执行某一处理步骤．循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件分支结构来判断，在循环结构中都有一个计数变量和一个累加变量，计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果，计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次．

7　算法在生活实际中的应用

数学来源于生活，服务于社会，数学与生活息息相关，数学是有用的，在生活中做一件事情的方法和步骤有多种，生活中的许多问题都可以用算法描述，用程序框图表达．下面请欣赏三例算法问题．

一、第29届奥林匹克运动会的申办

例1　北京成功举办了2008年第29届夏季奥林匹克运动会．你知道在申办奥运会的最后阶段，国际奥委会是如何通过投票决定主办权归属的吗？

对选出的5个申办城市进行表决的操作程序是首先进行第一轮投票，如果有一个城市得票数超过总票数的一半，那么该城市将获得举办权；

如果所有申办城市的得票数都不超过总票数的一半，则将得票数最少的城市淘汰，然后重复上述过程，直到选出一个申办城市为止．请设计一个算法表述上面过程，并画出程序框图．

S1　投票．

S2　统计票数，如果有一个城市得票数超过总票数的一半，那么该城市就获得主办权；

否则淘汰得票数最少的城市，转S1.

S3　宣布主办城市．

程序框图如下：

点评　算法本身就是用计算机解决一些实际问题的方法，一定要充分理解算法的特点．

二、奖金的发放

例2　某科研所决定拿出一定量的资金对科研人员进行奖励，按照科研成果价值的大小决定奖励前10名．第1名得全部奖金的一半多1万元，第2名得剩余的奖金的一半多1万元，第3名再得剩余奖金的一半多1万元，以此类推，到第10名恰得奖金1万元，请设计一个算法的程序求科研所最初拿出多少奖金进行奖励．

解　第10名的奖金额S1＝1万元，第9名和第10名的总奖金额S2＝（1＋1）×

2＝4万元，第8名、第9名和第10名的总奖金额S3＝（4＋1）×

2＝10万元……总奖金额S10＝（S9＋1）×

2，得递推公式S1＝1，Sn＋1＝（Sn＋1）×

2，n＝1,2，…，9.

程序：

　　　　　　　　　　程序框图：

S＝1；

i＝1；

while　i<

10

S＝S＋1*2；

i＝i＋1；

end

S

三、李白酒壶中的酒

例3　李白是我国唐代的一位伟大诗人，平时很喜欢喝酒，有一首打油诗讲了李白买酒的一件趣事，“无事街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒．”问：

李白的酒壶中原来有多少酒？

请用算法解释，画出程序框图．

解　通过逆向思考，李白遇到第三枝花时，壶中有1斗酒，遇到第三个店时，壶中有

斗酒；

遇到第二枝花时，壶中有1＋

＝

斗酒，遇到第二个店时，壶中有

遇到第一枝花时，壶中有1＋

斗酒，遇到第一个店时，壶中有

斗酒．

根据以上分析可得算法步骤如下：

S1　S＝0；

S2　I＝1；

S3　S＝

S4　I＝I＋1；

S5　如果I>

3，则输出S；

否则，转S3.

程序框图如图所示．