线性方程组的直接法Word格式文档下载.docx
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显然,求解n阶对角方程的运算量为
下三角方程组
（2。
4）
按照方程组的顺序，从第一个方程至第
个方程，逐个解出
由方程
，得
将
的值代入到第二个方程
得
将
的值代入到第
个方程
得
计算
需要
次乘法或除法运算,
因此,求解过程中的运算量为
上三角方程组
（2。
5）
与计算下三角方程组的次序相反，从第
个方程至第一个方程,逐个解出
由第
得解的通式
次乘法或除法运算
因此求解过程中的运算量为
消元法的基本思想就是通过对方程组做初等变换，把一般形式的方程组化为等价的具有上述形式的易解方程组.
二、高斯消元法与列主元消元法
高斯消元法
高斯消元法是我们熟悉的古老、简单而有效的解方程组的方法。
下面是中学阶段解二元方程组（高斯消元法）的步骤：
（2.6）
（2.7）
方程（2。
6）乘以－3加到第（2。
7）个方程中得
代入（2。
6）得
其方法相当于对方程组的增广矩阵做行的初等变换:
已是上三角矩阵,而
为原方程组的等价方程组，已化成易解的方程组形式.再用回代方法求解,得到：
这就是高斯消元法解方程组的消元和回代过程.
一般地，可对线性方程组（2。
1）施行以下一系列变换；
（1）对换某两个方程的次序；
（2）对其中某个方程的两边同乘一个不为零的数；
（3）把某一个方程两边同乘一个常数后加到另一个方程的两边。
记变换后的方程组为：
（2。
8）
显然方程组（2。
1）与（2。
8）是等价方程组，或者说它们有相同的解.分别记方程组（2.1）与（2。
8）的增广矩阵为：
可以看出,
实际上是由
按一系列初等换后得到的
（1）对换
某两行元素；
（2）
中的某行乘一个不为零的数；
（3）把
的某一行乘一个常数后加到另一行。
高斯消元法就是通过以上（3）的变换，把
化为等价的上三角形式。
下面我们以
为例演示消元过程。
设方程组：
（2.9）
其增广矩阵为：
（1）若
，则将第一行乘以
加到第二行上；
将第一乘以
加到第三行上；
将第一行乘以
加到第四行上得到
（2.10）
即
其中：
（2）若
则将第二行乘以
加到第三行上；
将第二行乘以
加到第四行上，得到
（2.11）
（3）若
则将第三行乘以
（2。
12）
其中:
已是上三角矩阵,于是得到了与原方程等价的易解形式的方程组：
（2.13）
再对方程组（2。
13）依次回代解出
从式（2.12）可以得到系数矩阵
的行列式的值为
的对角元素的乘积。
即
这也正是在计算机上计算方阵
的行列式的常规方法。
要将上述解方程步骤推广到
阶方程组，只需将对控制量“4”的操作改成对控制量
的操作即可。
元方程组高斯消元法的步骤如下：
对于
约定
有
（2.14）
经过以上消元，我们已得到与
等价的方程组
其中
已是一个上三角矩阵.为简单起见，仍记
的元素为
（2.15）
即已得到原方程组的解。
高斯消元法算法
在算法中略去了变量，矩阵和向量的定义部分.在消元过程中，将
仍放在
元素的位置上。
1．输入：
方程组阶数n，方程组系数矩阵A和常数向量b。
2．FOR
k:
=1TOn—1
//消元过程
｛
FOR
i：
=k+1TOn
{
//
假定
FOR
j：
}
ENDFORJ
｝
//
ENDFORI
}
ENDFORK
3．FORi:
=nTO1
//回代求解
s:
=bi
FOR
j:
=i+1
TO
n
DO
｝
4．输出方程组的解
高斯消元法的运算量
整个消元过程即式（2.14）的乘法和除法的运算量为
回代过程即式（2.15）的乘除运算量为
故高斯消元法的运算量为
（2.16）
高斯消元法的可行性
在上面的消元法中，未知量是按照在方程组中的自然顺序消去的，也叫顺序消元法。
在消元过程中假定对然元素
，消元步骤才能顺利进行,由于顺序消元不改变
的主子式值，故高斯消元法可行的充分必要条件为
的各阶主子式不为零。
但是，实际上只要
方程组
就有解。
故高斯消元法本身具有局限性。
另一方面，即使高斯消元法可行，如果
很小,在运算中用它作为除法的分母
会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散。
这是高斯消元法的另一缺陷。
例2。
1方程组
（2。
17）
18）
的精确解为：
在高斯消元法计算中取5位有效数字。
解:
方程（2。
17）×
（－1）/0.0003+方程（2。
18）得：
，代入方程（2.17）得
由此得到的解完全失真，如果交换两个方程的顺序，得到等价方程组
经高斯消元后有
由此可看到，在有些情况下，调换方程组的次序对方程组的解是有影响的，对消元法中抑制舍入误差的增长是有效的。
如果不调换方程组的次序，取6位有效数字计算方程组的解，得到
取9位有效数字计算方程组的解，得到
由此可见有效数字在数值计算中的作用.
列主元消元法
如果在一列中选取按模最大的元素，将其调到主干方程位置再做消元，则称为列主元消元法.调换方程组的次序是为了使运算中做分母量的绝对值尽量地大，减少舍入误差的影响.
用列主元方法可以克服高斯消元法的额外限制，只要方程组有解,列主元消元法就能畅通无阻地顺利求解，同时又提高了解的精确度。
更具体地，第一步在第一列元素中选出绝对值最大的元素
，交换第一行和第
行的所有元素,再做化简
为零的操作。
对于每个
在做消元前，选出
中绝对值最大的元素
，对
行和
行交换后，再做消元操作,这就是列主元消元法的操作步骤.由于
，可证
中至少有一个元素不为零，从理论上保证了列主元消元法的可行性.列主元消元法与高斯消元法相比，只增加了选列主元和交换两个方程组（即两行元素）的过程。
列主元消元法算法
方程组阶数
，方程组系数矩阵
和常数向量项
2．
//选主元的消元过程
｛//选择
交换第
行和第
行
｝
=nTO1
回代求解
4．输出方程组的解
.
如果对于第
步，从
行至
行和从
列至
列中选取按模最大的
，对第
行交换，对第
列和第v列交换，这就是全主元消元法.在k列和第v列交换时，还要记录下v的序号,以便恢复未知量xk和xv的位置.
3.1。
3高斯－若尔当（Gauss－Jordan）消元法
高斯消元法将系数矩阵化为上三角矩阵,再进行回代求解；
高斯－若尔当消元法是将系数矩阵化为对角矩阵，再进行求解,即对高斯消元法或列主元消元法得到的等价增广矩阵:
用第4行乘
加到第3行上，用第4行乘
加到第2行上，用第4行乘
加到第1行上，得到
用第3行乘
加到第2行上,用第3行乘
加到第1行上，再用第2行乘
（2.19）
为方便起见,仍记式（2。
19）系数矩阵元素为
，常数项元素为
.那么
用初等变换化系数矩阵为对角矩阵的方法称为高斯－若尔当消元法。
从形式上看对角矩阵（2。
15）比上三角矩阵（2.11）更为简单，易于计算
，但是将上三角矩阵（2。
11）化为对角矩阵（2。
15）的工作量略大于上三角矩阵回代的工作量.
高斯—若尔当消元法求逆矩阵
为非奇异矩阵，方程组
的增广矩阵为
如果对
应用高斯-若尔当消元法化为
，则
2用高斯—若尔当消元法求
的逆矩阵
解：
解得:
2
直接三角分解法
仍以
为例,在高斯消元法中,从对方程组进行初等变换的角度观察方程组系数矩阵的演变过程.第一次消元步骤将方程组（2.9）化为方程组（2.10）,相当于用了三个初等矩阵左乘
和
.记
，容易验证，
由
得到
其中
将方程组（2.10）化为方程组（2。
11），相当于用了两个初等矩阵左乘
记
·
同理，将方程组（2.11）化为方程组（2。
12），相当于用一个初等矩阵左乘
有
完成了消元过程,有
亦有所有消元步骤表示为：
左乘一系列下三角初等矩阵。
容易验证,这些下三角矩阵的乘积
仍为下三角矩阵，并有
于是有
或
这里
仍为下三角矩阵,其对角元素为1，称为单位下三角矩阵,而
已是上三角矩阵。
，则有
结果表明若消元过程可行，可以将
分解为单位下三角矩阵
与上三角矩阵
的乘积。
由此派生出解方程组的直接分解法。
由高斯消元法得到启发，对
消元的过程相当于将
分解为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵的过程。
如果直接分解
这时方程
化为
，令
由
解出
；
再由
，解出
这就是直接分解法.
将方阵
分解为
，当
是单位下三角矩阵，
是上三角矩阵时,称为多利特尔（Doclittle）分解；
当
是下三角矩阵，
是单位上三角矩阵时,称为库朗（Courant）分解。
分解的条件是若方阵
的各阶主子式不为零,则多利特尔分解或库朗分解是可行和惟一的。
一、多利特尔分解
多利特尔分解步骤
若
的各阶主子式不为零,
可分解为
，其中
为单位下三角矩阵，
为上三角矩阵,即
（2.20）
矩阵
共有
个未知元素,按照
的行元素
的列元素的顺序，对每个
列出式（2.16）两边对应的元素关系式，一个关系式解出一个
或
的元素。
下面是计算
的元素的步骤:
（1）计算
的第一行元素
要计算
则列出式（2。
20）等号两边的第1行第1列元素的关系式:
故
一般地，由
的第一行元素的关系式
得到
（2）计算
的第一列元素
，则列出式（2.20）等号两边的第2行第1列元素的关系式：
.一般地，由
的第1列元素的关系式
（3）计算
的第2行元素
（4）计算
的第2列元素
……
若已算出
的前
行,
列的元素，则
（5）计算
行元素
行元素的关系式：
是上三角矩阵，
列标
行标
（2.21）
（6）计算
列元素
列元素的关系式:
∵
是下三角矩阵，∴行标标
（2.22）
一直做到
列,
行为止。
用
直接分解方法求解方程组所需要的计算量仍为
，和用高斯消元法的计算量基本相同。
可以看到在分解中
的每个元素只在式（2.21）或（2。
22）中做而且仅做一次贡献，如果需要节省空间，可将
以及
的元素直接放在矩阵
相应元素的位置上。
用直接分解法解方程
，首先作出分解
令
，解方程组
.由于
是单位下三角矩阵，容易得到
23）
再解方程组
（2.24）
对
进行
分解时，并不涉及常数项
因此，若需要解具有相同系数的一系列线性方程组时,使用直接分解法可以达到事半功倍的效果。
多利特尔直接分解算法
1。
输入:
系数矩阵
和常数项
2。
计算
//计算
｝
完成
分解
3。
解方程组
4.
5.输出方程组的解
例3.2用多利特尔分解求解方程组：
，有
解
即
解
，即
二、追赶法
很多科学计算问题中，常常所要求解的方程组为三对角方程组
（3。
25）
其中
（2.26）
并且满足条件：
称
为对角占优的三对角线矩阵。
其特征是非零元素仅分布在对角线及对角线两侧的位置.在样条插值函数的
关系式中就出现过这类矩阵。
事实上，许多连续问题经离散化后得到的线性方程组，其系数矩阵就是三对角或五对角形式的对角矩阵。
利用矩阵直接分解法,求解具有三对角线系数矩阵的线性方程组十分简单而有效。
现将
分解为下三角矩阵
及单位上三角矩阵
（3。
27）
利用矩阵乘法公式,比较
两边元素,可得到
（3.28）
由些可见将
及
，只需计算
及
两组数，然后解
，计算公式为：
（3.29）
再解
则得
（3。
30）
整个求解过程是先由（3。
28）及（3.29）求
，
，这时
是“追”的过程，再由（3。
24）求出
这时
是往回赶，故求解方程组（3.25）的整个过程称为追赶法。
三、平方根法
对称正定矩阵也是很多物理问题产生的一类矩阵，正定矩阵的各阶主子式大于零.可以证明，若
正定，则存在下三角矩阵
，使
，直接分解
的分解方法，称为平方根法。
由于在平方根法中含有计算平方根的步骤，因此很少采用平方根法的分解形式.对于对称矩阵，常用的是
分解。
作多利特尔分解
（提出
矩阵的对角元素）
对称正定,可得
的对称性和分解的惟一性可证
即
（3。
31）
是对角元素为1的单位下三角矩阵。
对矩阵
作多利特尔或库朗分解,共计算
个矩阵元素；
对称矩阵的
分解，只需计算
个元素,减少了近一半的工作量。
借助于多利特尔或库朗分解计算公式，容易得到
分解计算公式。
有多利特尔分解形式：
在分解可套用多利特尔分解公式，只要计算下三角矩阵
的对角元素
计算中只需保存
的元素,
的
行
列的元素用
表示。
由于对称正定矩阵的各阶主子式大于零，直接调用多利特尔或库朗分解公式可完
分解计算，而不必借助于列主元的分解算法。
（2。
32）
33）
解方程组
可分三步完成：
（1）解方程组
34）
（2）解方程组
（3.35）
（3）解方程
36）
对称矩阵的
分解算法
方程组阶数
，系数矩阵
3．略去解方程组步骤
从矩阵分解角度看,直接分解法与消元法本质上没有多大区别，但实际计算时它们各有所长。
一般来说,如果仅用单字长进行计算,列主元消元法具有运算量较少、精度高的优点，故是常用的方法。
但是,为了提高精度往往采取单字长数双倍内积的办法（即作向量内积计算时，采用双倍加法，最终结果再舍入成单字长数），这时直接分解法能获得较高的精度.
例3.4用
分解求解方程组:
小结
本章介绍了适合解系数矩阵稠密、低阶的线性方程组的直接方法：
Gauss消去法及三角分解法,这两种方法本质上是一样的。
直接法的优点是：
计算量小、精度高，是一种精确地求线性方程组的方法（如果每步计算没有舍入误差）；
缺点是:
程序较复杂，占用内存大，所以它适用于解中小型（
）线性方程组。
在实际应用中Gauss列主元消去法是一种稳定的算法。
当方程组的系数矩阵是三对角阵时，特别是严格对角占优，追赶法是一种既稳定、有快速的方法.
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